\(SABC\) هرم قاعدته المثلّث \(ABC\) المتقايس الضلعين رأسه \(A\) (أي \(AB=AC\)).
لتكن \(E\) و\(F\) منتصفَي الحرفين \([SA]\) و\([BC]\) على التوالي، وليكن \([SF]\) ارتفاع الهرم (أي \((SF)\) عمودي على مستوى القاعدة). ونفترض أنّ \(SA \neq BC\).
1. بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوى \((SAF)\).
2. استنتج أنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
3. عبّر عن \(CF\) و\(EF\) بدلالة \(BC\) و\(SA\)، ثمّ حدّد طبيعة المثلّث \(CEF\).
السؤال 1: بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوى \((SAF)\).
نظرية التعامد: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فإنه عمودي على هذا المستوي.
المثلّث \(ABC\) متقايس الضلعين رأسه \(A\) و\(F\) منتصف \([BC]\)، فالمتوسط \((AF)\) هو أيضا مرتفع، إذن \((BC) \perp (AF)\).
بما أنّ \([SF]\) ارتفاع الهرم فإنّ \((SF) \perp (ABC)\)، و\((BC) \subset (ABC)\)، إذن \((SF) \perp (BC)\).
إذن \((BC)\) عمودي على المستقيمين المتقاطعين \((AF)\) و\((SF)\) من المستوى \((SAF)\).
✓ \((BC) \perp (SAF)\).
⚠️ لا يكفي التعامد مع مستقيم واحد من المستوى؛ يجب مستقيمان متقاطعان، وهما هنا \((AF)\) و\((SF)\) المتقاطعان في \(F\).
السؤال 2: استنتج أنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
النقطة \(E\) تنتمي إلى \([SA]\) و\([SA] \subset (SAF)\)، وكذلك \(F \in (SAF)\)، إذن \((EF) \subset (SAF)\).
حسب السؤال 1: \((BC) \perp (SAF)\)، إذن \((BC) \perp (EF)\). وبما أنّ \(C\) و\(F\) نقطتان من \((BC)\) فإنّ \((CF) \perp (EF)\).
✓ الضلعان \([CF]\) و\([EF]\) متعامدان في \(F\)، إذن المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
⚠️ الزاوية القائمة هي في \(F\) وليست في \(E\)؛ فالضلعان المتعامدان هما \([FE]\) و\([FC]\) و\([CE]\) هو الوتر.
السؤال 3: عبّر عن \(CF\) و\(EF\) بدلالة \(BC\) و\(SA\)، ثمّ حدّد طبيعة المثلّث \(CEF\).
في مثلّث قائم الزاوية، المتوسط المتعلّق بالوتر يساوي نصف طول الوتر؛ إضافة إلى أنّ \(F\) منتصف \([BC]\).
\(F\) منتصف \([BC]\)، إذن \(CF = \dfrac{BC}{2}\).
المثلّث \(SFA\) قائم الزاوية في \(F\) (لأنّ \((SF) \perp (ABC)\) إذن \((SF) \perp (FA)\))، و\(E\) منتصف الوتر \([SA]\)، إذن \(EF = \dfrac{SA}{2}\).
بما أنّ \(SA \neq BC\) فإنّ \(EF \neq CF\)، فالمثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\) دون أن يكون متساوي الساقين.
✓ \(CF = \dfrac{BC}{2}\) و\(EF = \dfrac{SA}{2}\)؛ والمثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\) (فهو لا متقايس الأضلاع ولا متقايس الضلعين رأسه \(E\)).
⚠️ المثلّث القائم لا يمكن أن يكون متقايس الأضلاع، وبفضل الشرط \(SA \neq BC\) لا يكون أيضا قائما متساوي الساقين.