\(SABCD\) هرم منتظم قاعدته المربّع \(ABCD\) وارتفاعه \([SH]\)، بحيث \(AB=4\sqrt{2}\) و\(AS=5\).
1. بيّن أنّ المثلّث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
2. أحسب \(SH\).
3. نعتبر نقطة \(A'\) من القطعة \([AS]\) بحيث \(A'S=2{,}5\)، والمستوي \(Q\) المارّ من \(A'\) والموازي لـ\((ABC)\)، حيث يقطع \([SB]\) في \(B'\) و\([SC]\) في \(C'\) و\([SD]\) في \(D'\) و\([SH]\) في \(H'\).
أ. بيّن أنّ \((SH)\) هو ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\).
ب. بيّن أنّ \((A'H')//(AH)\).
ت. أحسب \(A'H'\) و\(SH'\).
4. بيّن أنّ \((AH)\) يعامد المستوي \((SHD)\) ثمّ استنتج حسابًا لـ\(AD'\).
السؤال 1: بيّن أنّ المثلّث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
بما أنّ الهرم منتظم فإنّ ارتفاعه \([SH]\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABCD)\)، وإذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
لدينا \((SH) \perp (ABCD)\) والمستقيم \((AH) \subset (ABCD)\)، إذن \((SH) \perp (AH)\).
✓ الزاوية \(\widehat{AHS}\) قائمة، فالمثلّث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
⚠️ الزاوية القائمة ليست في \(A\) ولا في \(S\)؛ رأس الزاوية القائمة هو \(H\) قدم الارتفاع لأنّ \((SH)\) عمودي على القاعدة.
السؤال 2: أحسب \(SH\).
النقطة \(H\) مركز المربّع \(ABCD\) أي منتصف القطر \([AC]\)، ونطبّق نظرية فيثاغورس في المثلّث \(ASH\) القائم الزاوية في \(H\).
قطر المربّع: \(AC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8\)، إذن \(AH = \dfrac{AC}{2} = 4\).
\(SH^2 = AS^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\)، إذن \(SH = 3\).
✓ \(SH = 3\).
⚠️ \(AH\) هو نصف القطر وليس نصف الضلع: \(AH = 4\) وليس \(\dfrac{AB}{2} = 2\sqrt{2}\).
السؤال 3: \(A'\in[AS]\) و\(A'S=2{,}5\)، والمستوي \(Q\) المارّ من \(A'\) الموازي لـ\((ABC)\) يقطع \([SB],[SC],[SD],[SH]\) في \(B',C',D',H'\). أ. بيّن أنّ \((SH)\) ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\). ب. بيّن أنّ \((A'H')//(AH)\). ت. أحسب \(A'H'\) و\(SH'\).
أ. إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستوٍ يوازيه. المستوي \(Q\) يوازي القاعدة \((ABC)\) و\((SH) \perp (ABC)\).
إذن \((SH) \perp Q\)، والنقطة \(H' = (SH) \cap Q\) هي مركز المربّع \(A'B'C'D'\)، فالقطعة \([SH']\) محمولة على \((SH)\) وعمودية على قاعدة الهرم \(SA'B'C'D'\).
✓ \((SH)\) هو ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\).
ب. المستوي \(Q\) الموازي للقاعدة يقطع المستوي \((SAH)\) وفق مستقيم يوازي أثره \((AH)\) في القاعدة (نتيجة توازي المستويات).
النقطتان \(A'\) و\(H'\) تنتميان إلى \(Q\) وإلى \((SAH)\)، إذن \((A'H') // (AH)\).
✓ \((A'H') // (AH)\).
ت. مبرهنة طاليس في المثلّث \(SAH\) مع \((A'H') // (AH)\)، ونسبة التصغير \(k = \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{A'H'}{AH} = \dfrac{SH'}{SH} = \dfrac{1}{2}\)، إذن \(A'H' = \dfrac{1}{2}\times AH = \dfrac{1}{2}\times 4 = 2\) و\(SH' = \dfrac{1}{2}\times SH = \dfrac{1}{2}\times 3 = 1{,}5\).
✓ \(A'H' = 2\) و\(SH' = 1{,}5\).
⚠️ نسبة التصغير هي \(\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{1}{2}\) (تُقاس انطلاقا من الرأس \(S\))، ولا نجمع الأطوال بل نضربها في \(\dfrac{1}{2}\).
السؤال 4: بيّن أنّ \((AH)\) يعامد المستوي \((SHD)\) ثمّ استنتج حسابًا لـ\(AD'\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
من جهة \((SH) \perp (ABCD)\) و\((AH) \subset (ABCD)\)، إذن \((AH) \perp (SH)\).
ومن جهة أخرى، قطرا المربّع \([AC]\) و\([BD]\) متعامدان في مركزه \(H\)، والنقطة \(A\) على \((AC)\) والنقطة \(D\) على \((BD)\)، إذن \((AH) \perp (HD)\).
المستقيمان \((SH)\) و\((HD)\) متقاطعان في \(H\) وينتميان إلى المستوي \((SHD)\)، إذن \((AH) \perp (SHD)\).
✓ \((AH) \perp (SHD)\).
استنتاج \(AD'\): بما أنّ \(D' \in [SD] \subset (SHD)\) فإنّ \((AH) \perp (HD')\)، فالمثلّث \(AHD'\) قائم الزاوية في \(H\).
في المثلّث \(SHD\) القائم في \(H\): \(HD = \dfrac{BD}{2} = 4\)، و\((H'D') // (HD)\) بنسبة \(\dfrac{1}{2}\) إذن \(H'D' = 2\)، و\(HH' = SH - SH' = 3 - 1{,}5 = 1{,}5\)؛ ومنه \(HD'^2 = HH'^2 + H'D'^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25\)، أي \(HD' = 2{,}5\).
في المثلّث \(AHD'\) القائم في \(H\): \(AD'^2 = AH^2 + HD'^2 = 4^2 + 2{,}5^2 = 16 + 6{,}25 = 22{,}25\)، إذن \(AD' = \sqrt{22{,}25} = \dfrac{\sqrt{89}}{2} \approx 4{,}72\).
✓ \((AH) \perp (SHD)\) و\(AD' = \dfrac{\sqrt{89}}{2} \approx 4{,}72\).
⚠️ لا يكفي أن يكون \((AH) \perp (SH)\) وحده؛ يلزم العمودية على مستقيمين متقاطعين، ولذلك نستعمل أيضا \((AH) \perp (HD)\) الناتجة عن تعامد قطري المربّع.