نعتبر هرما \(ABCD\) بحيث المثلّثات \(ABC\) و\(ABD\) و\(BCD\) كلّها قائمة الزاوية في \(B\)، ولتكن \(I\) منتصف \([BD]\).
المستقيم المارّ من \(I\) والموازي للمستقيم \((AB)\) يقطع \((AD)\) في \(J\).
المعطيات: \(AB=8\) و\(BD=BC=6\) (وحدة القيس هي الصنتمتر).
1. بيّن أنّ \((IJ)\) مواز للمستوي \((ABC)\).
2. أ) بيّن أنّ \(J\) هي منتصف \([AD]\).
ب) احسب \(AD\) و\(BJ\) معلّلا جوابك.
3. أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((IJD)\).
ب) احسب \(JC\) معلّلا جوابك.
4. هل أنّ \(J\) هي المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\)؟ علّل جوابك.
السؤال 1: بيّن أنّ \((IJ)\) مواز للمستوي \((ABC)\).
إذا كان مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوٍ ولم يكن هو نفسه محتوى في ذلك المستوي، فإنّه يوازي هذا المستوي.
بحكم إنشائه، \((IJ)\) يوازي \((AB)\)، والمستقيم \((AB)\) محتوى في المستوي \((ABC)\).
والنقطتان \(I\) و\(J\) لا تنتميان إلى المستوي \((ABC)\)، إذن \((IJ)\) غير محتوى في \((ABC)\).
✓ إذن \((IJ)\) مواز للمستوي \((ABC)\).
⚠️ لا يكفي أن يوازي \((IJ)\) المستقيم \((AB)\) فقط؛ يجب أيضا التثبّت من أنّ \((IJ)\) غير محتوى في \((ABC)\) وإلّا كان محتوى فيه لا موازيا له.
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \(J\) هي منتصف \([AD]\). ب) احسب \(AD\) و\(BJ\) معلّلا جوابك.
عكس مبرهنة خطّ المنتصفات: في مثلّث، المستقيم المارّ من منتصف ضلع والموازي لضلع ثانٍ يقطع الضلع الثالث في منتصفه. ثمّ نظرية فيثاغورس وخاصية المتوسّط المتعلّق بالوتر.
في المثلّث \(ABD\): \(I\) منتصف \([BD]\) و\((IJ)\) يوازي \((AB)\)، إذن حسب عكس مبرهنة المنتصفات \(J\) منتصف \([AD]\).
المثلّث \(ABD\) قائم الزاوية في \(B\)، فحسب نظرية فيثاغورس: \(AD^2 = AB^2 + BD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\)، إذن \(AD = 10\).
\(J\) منتصف الوتر \([AD]\) في المثلّث القائم \(ABD\)، والمتوسّط المتعلّق بالوتر يساوي نصف الوتر، إذن \(BJ = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\).
✓ \(J\) منتصف \([AD]\)، و\(AD = 10\) و\(BJ = 5\).
⚠️ \(BJ\) ليس ضلعا في زاوية قائمة؛ هو المتوسّط المتعلّق بالوتر \([AD]\) فيساوي نصفه \(= 5\)، ولا يُحسب بجمع أو طرح الأضلاع.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((IJD)\). ب) احسب \(JC\) معلّلا جوابك.
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي؛ ثمّ نظرية فيثاغورس.
المثلّث \(BCD\) قائم في \(B\) إذن \((BC) \perp (BD)\). ولأنّ \((IJ)\) يوازي \((AB)\) و\((AB) \perp (BC)\) (المثلّث \(ABC\) قائم في \(B\))، ينتج \((BC) \perp (IJ)\).
النقطتان \(I\) و\(D\) على \((BD)\)، فالمستقيمان \((BD)\) و\((IJ)\) محتويان في المستوي \((IJD)\) ومتقاطعان في \(I\)، والمستقيم \((BC)\) عمودي عليهما معا، إذن \((BC) \perp (IJD)\).
النقطة \(B\) تنتمي إلى \((BD) \subset (IJD)\) والنقطة \(J \in (IJD)\)، فـ \((BJ) \subset (IJD)\)، ومنه \((BC) \perp (BJ)\)؛ فالمثلّث \(BJC\) قائم في \(B\)، وحسب فيثاغورس: \(JC^2 = BJ^2 + BC^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)، إذن \(JC = \sqrt{61}\).
✓ \((BC) \perp (IJD)\) و\(JC = \sqrt{61}\).
⚠️ عمودية \((BC)\) على \((BD)\) وحدها لا تكفي لاستنتاج العمودية على المستوي؛ لا بدّ من عموديّته على مستقيمين متقاطعين من \((IJD)\).
السؤال 4: هل أنّ \(J\) هي المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\)؟ علّل جوابك.
\(J\) هي المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\) إذا وفقط إذا كان \((CJ) \perp (AD)\). نستعمل خاصية عمودية مستقيم على مستوٍ.
بما أنّ \((BC) \perp (IJD)\) والنقطتان \(J\) و\(D\) في \((IJD)\)، فإنّ المستقيم \((AD)\) (وهو \((JD)\)) محتوى في \((IJD)\)، ومنه \((BC) \perp (AD)\).
لو كانت \(J\) هي المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\) لكان \((CJ) \perp (AD)\)؛ ومع \((BC) \perp (AD)\) يصبح \((AD)\) عموديا على المستوي \((BCJ)\)، فينتج \((AD) \perp (BJ)\).
لكن لو كان \((AD) \perp (BJ)\) لكان \((BJ)\) في آنٍ متوسّطا وارتفاعا من \(B\) في المثلّث \(ABD\)، فيكون هذا المثلّث متساوي الساقين أي \(BA = BD\)، وهذا يناقض \(BA = 8 \neq BD = 6\).
✓ إذن \((CJ)\) ليس عموديا على \((AD)\)، وبالتالي \(J\) ليست المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\).
⚠️ كون \(J\) منتصف \([AD]\) لا يجعلها تلقائيا مسقط \(C\)؛ المسقط العمودي يشترط \((CJ) \perp (AD)\) وهو غير محقّق هنا.