نعتبر متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) حيث \(ABCD\) مربّع و\(BD=3\sqrt{2}\) و\(BH=\sqrt{34}\).
(وحدة القيس هي الصنتمتر)
1. أ) احسب \(AB\).
ب) استنتج أنّ \(BF=4\).
2. عيّن النقطة \(I\) منتصف \([CH]\).
أ) احسب \(CH\) و\(IG\).
ب) بيّن بطريقتين مختلفتين أنّ المثلّث \(BCH\) قائم الزاوية.
السؤال 1: أ) احسب \(AB\). ب) استنتج أنّ \(BF=4\).
أ) القاعدة \(ABCD\) مربّع، فقطره \(BD\) وتر المثلّث \(ABD\) القائم الزاوية في \(A\)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس مع \(AB=AD\).
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2\,AB^2\)، إذن \((3\sqrt{2})^2 = 2\,AB^2\) أي \(18 = 2\,AB^2\)، فيكون \(AB^2 = 9\) و\(AB = 3\).
ب) الحرف \([BF]\) حرف جانبي عمودي على الوجه العلوي \((EFGH)\)، والقطعة \([FH]\) محتواة في هذا الوجه، إذن \((BF) \perp (FH)\) والمثلّث \(BFH\) قائم الزاوية في \(F\).
\(FH\) قطر المربّع \(EFGH\) فهو يساوي \(BD = 3\sqrt{2}\)، إذن \(FH^2 = 18\). وحسب فيثاغورس: \(BH^2 = BF^2 + FH^2\) أي \(34 = BF^2 + 18\)، فيكون \(BF^2 = 16\) و\(BF = 4\).
✓ \(AB = 3\) و\(BF = 4\).
⚠️ \(BH\) قطر فضائي وليس ضلع وجه؛ لا نكتب \(BH = BD\) بل نستعمل مثلّثا قائما يحوي \([BF]\).
السؤال 2: عيّن النقطة \(I\) منتصف \([CH]\). أ) احسب \(CH\) و\(IG\). ب) بيّن بطريقتين أنّ المثلّث \(BCH\) قائم الزاوية.
أ) الحرف \([DH]\) عمودي على القاعدة \((ABCD)\) والقطعة \([DC]\) محتواة فيها، إذن \((DH) \perp (DC)\) والمثلّث \(DCH\) قائم الزاوية في \(D\) (نظرية فيثاغورس).
\(DC = AB = 3\) و\(DH = BF = 4\)، إذن \(CH^2 = DC^2 + DH^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) ومنه \(CH = 5\).
في المثلّث \(CGH\)، الحرف \([CG]\) عمودي على الوجه العلوي و\([GH]\) محتوى فيه، فهو قائم الزاوية في \(G\) ووتره \([CH]\). والمتوسط المتعلّق بالوتر في مثلّث قائم الزاوية يساوي نصف الوتر.
النقطة \(I\) منتصف الوتر \([CH]\)، إذن \(IG = \dfrac{CH}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
ب) الطريقة الأولى — عكس نظرية فيثاغورس: أضلاع المثلّث \(BCH\) هي \(BC = AB = 3\) و\(CH = 5\) و\(BH = \sqrt{34}\).
\(BC^2 + CH^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 = BH^2\)، إذن المثلّث \(BCH\) قائم الزاوية في \(C\).
الطريقة الثانية — التعامد في الفضاء: \((BC) \perp (CD)\) (زاوية المربّع) و\((BC) \perp (CG)\) (حرف جانبي)، و\((CD)\) و\((CG)\) مستقيمان متقاطعان من المستوي \((CDHG)\).
إذن \((BC) \perp (CDHG)\)، وبما أنّ \((CH) \subset (CDHG)\) فإنّ \((BC) \perp (CH)\)، أي المثلّث \(BCH\) قائم الزاوية في \(C\).
✓ \(CH = 5\) و\(IG = 2{,}5\)، والمثلّث \(BCH\) قائم الزاوية في \(C\).
⚠️ الزاوية القائمة في \(BCH\) هي في \(C\) وليست في \(B\)؛ الوتر هو \(BH = \sqrt{34}\) أي أطول الأضلاع.