نعتبر متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) قاعدته المربّع \(ABCD\) ومركزه \(I\)، و\(J\) منتصف \([CE]\) (أنظر الشكل المصاحب)، حيث \(AB=4\sqrt{2}\) و\(AE=8\).
1. أحسب \(EC\) و\(IJ\).
2. بيّن أنّ \((AE)\) عمودي على \((AI)\).
3. لتكن \(M\) منتصف \([DH]\). بيّن أنّ \(IDMJ\) مستطيل.
4. بيّن أنّ \((IJ)\perp(ABD)\).
السؤال 1: أحسب \(EC\) و\(IJ\).
قطر المربّع \(ABCD\): \(AC=AB\sqrt{2}\). والحرف \([AE]\) عمودي على القاعدة، فالمثلّث \(AEC\) قائم الزاوية في \(A\) (نظرية فيثاغورس).
قطر القاعدة: \(AC=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\times\sqrt{2}=8\).
\(EC^2=AE^2+AC^2=8^2+8^2=64+64=128\)، إذن \(EC=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
في المثلّث \(CAE\): \(I\) منتصف \([CA]\) (مركز المربّع) و\(J\) منتصف \([CE]\)، فحسب مبرهنة المنتصفات \((IJ)\parallel(AE)\) و\(IJ=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{8}{2}=4\).
✓ \(EC=8\sqrt{2}\) و\(IJ=4\).
⚠️ قطر المربّع \(AC=AB\sqrt{2}\) وليس \(AC=AB\)؛ ولا تخلط \(EC\) (قطر المجسّم) بالحرف الجانبي \(AE=8\).
السؤال 2: بيّن أنّ \((AE)\) عمودي على \((AI)\).
الحرف الجانبي \([AE]\) عمودي على مستوى القاعدة \((ABCD)\)، وإذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
النقطة \(I\) مركز المربّع \(ABCD\) إذن \(I\in(ABCD)\)، ومنه \((AI)\subset(ABCD)\).
بما أنّ \((AE)\perp(ABCD)\) و\((AI)\subset(ABCD)\) فإنّ \((AE)\perp(AI)\).
✓ \((AE)\perp(AI)\).
⚠️ التعامد ثابت لأنّ \((AI)\) داخل القاعدة؛ لا يصحّ الاستدلال إلّا إذا كان المستقيم الثاني منتميا فعلا لمستوى القاعدة.
السؤال 3: لتكن \(M\) منتصف \([DH]\). بيّن أنّ \(IDMJ\) مستطيل.
نبيّن أوّلا أنّ \(IDMJ\) متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان) ثمّ نبيّن وجود زاوية قائمة.
من السؤال 1: \((JI)\parallel(AE)\) و\(JI=IJ=4\). و\(M\) منتصف \([DH]\) فَ\(DM=\dfrac{DH}{2}=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{8}{2}=4\) مع \((DM)\parallel(DH)\parallel(AE)\).
إذن \((JI)\parallel(DM)\) (كلاهما يوازي \((AE)\)) و\(JI=DM=4\)، فَ\(IDMJ\) متوازي أضلاع.
\((DM)\parallel(AE)\) و\((AE)\perp(ABCD)\) إذن \((DM)\perp(ABCD)\)، وبما أنّ \((DI)\subset(ABCD)\) فإنّ \((DM)\perp(DI)\): زاوية قائمة في \(D\).
✓ \(IDMJ\) متوازي أضلاع له زاوية قائمة، إذن هو مستطيل.
⚠️ رتّب الرؤوس \(I,D,M,J\) بشكل صحيح: الضلعان المتقابلان هما \([DM]\) و\([JI]\)، وليس \([ID]\) و\([DM]\).
السؤال 4: بيّن أنّ \((IJ)\perp(ABD)\).
إذا كان مستقيمان متوازيين وكان أحدهما عموديا على مستوٍ فإنّ الآخر عمودي على هذا المستوي أيضا.
النقاط \(A\) و\(B\) و\(D\) من القاعدة، إذن المستوى \((ABD)\) هو نفسه مستوى القاعدة \((ABCD)\).
من السؤال 1: \((IJ)\parallel(AE)\)، ومن جهة أخرى \((AE)\perp(ABCD)\).
بما أنّ \((IJ)\parallel(AE)\) و\((AE)\perp(ABD)\) فإنّ \((IJ)\perp(ABD)\).
✓ \((IJ)\perp(ABD)\).
⚠️ لا تكفي عمودية \((IJ)\) على مستقيم واحد من القاعدة؛ نستنتج التعامد على المستوى كلّه من التوازي مع الحرف \((AE)\) العمودي على القاعدة.