نعتبر مكعّبا \(ABCDEFGH\)، و\(M\) نقطة من \([AB]\) و\(N\) نقطة من \([CG]\).
1. أ. بيّن أنّ المستوي \((ADE)\) عمودي على المستقيم \((AB)\)، وأنّ المستوي \((BCG)\) عمودي على المستقيم \((AB)\).
ب. ماذا تستنتج بالنسبة إلى المستويين \((ADE)\) و\((BCG)\)؟
2. أثبت أنّ المثلّث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
3. برهن أنّ \((CG)\;/\!/\;(AE)\).
4. بيّن أنّ المستقيمين \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي.
5. المستقيم \((CM)\) يقطع المستقيم \((AD)\) في نقطة \(I\). ارسم هذه النقطة.
6. عيّن نقطة تقاطع المستقيم \((CM)\) والمستوي \((ADE)\).
السؤال 1: أ. بيّن أنّ \((ADE)\perp(AB)\) وأنّ \((BCG)\perp(AB)\). ب. استنتج العلاقة بين \((ADE)\) و\((BCG)\).
«إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي»، و«مستويان عموديان على نفس المستقيم يكونان متوازيين».
في المكعّب: \((AB)\perp(AD)\) و\((AB)\perp(AE)\)، والمستقيمان \((AD)\) و\((AE)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في \((ADE)\)، إذن \((AB)\perp(ADE)\).
كذلك \((AB)\perp(BC)\) و\((AB)\perp(BF)\)، والمستقيمان \((BC)\) و\((BF)\) متقاطعان في \(B\) ومحتويان في \((BCG)\)، إذن \((AB)\perp(BCG)\).
✓ بما أنّ \((ADE)\) و\((BCG)\) عموديان على نفس المستقيم \((AB)\) فإنّهما متوازيان: \((ADE)\;/\!/\;(BCG)\).
⚠️ لا يكفي أن يكون \((AB)\) عموديا على مستقيم واحد من المستوي؛ يجب إثبات عموديّته على مستقيمين متقاطعين منه.
السؤال 2: أثبت أنّ المثلّث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
«إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.»
من السؤال 1: \((AB)\perp(BCG)\). وبما أنّ \(N\in[CG]\subset(BCG)\) و\(B\in(BCG)\) فإنّ \((BN)\subset(BCG)\)، ومنه \((AB)\perp(BN)\).
النقطة \(M\in[AB]\) إذن المستقيم \((BM)\) جزء من \((AB)\)، وبالتالي \((BM)\perp(BN)\).
✓ الزاوية \(\widehat{MBN}\) قائمة، أي المثلّث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
⚠️ العمودية هنا مبرهنة انطلاقا من كون \((AB)\) عموديا على المستوي \((BCG)\) بأكمله، وليست مجرّد قراءة من الشكل.
السؤال 3: برهن أنّ \((CG)\;/\!/\;(AE)\).
«مستقيمان عموديان على نفس المستوي يكونان متوازيين.»
الحرفان \([AE]\) و\([CG]\) جانبيان في المكعّب، فهما عموديان على مستوي القاعدة: \((AE)\perp(ABCD)\) و\((CG)\perp(ABCD)\).
✓ بما أنّ \((AE)\) و\((CG)\) عموديان على نفس المستوي \((ABCD)\) فإنّهما متوازيان: \((CG)\;/\!/\;(AE)\).
⚠️ المستقيمان \((AE)\) و\((CG)\) غير محتويين في وجه واحد من المكعّب، لذلك نستعمل العمودية على القاعدة لا التوازي داخل وجه.
السؤال 4: بيّن أنّ المستقيمين \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي.
«إذا انتمت نقطتان إلى مستوٍ فإنّ المستقيم الذي يشملهما محتوى في هذا المستوي.»
النقطة \(M\in[AB]\) و\([AB]\subset(ABCD)\) إذن \(M\in(ABCD)\). وكذلك \(A\in(ABCD)\) و\(C\in(ABCD)\).
بما أنّ \(A\) و\(M\) و\(C\) تنتمي جميعا إلى المستوي \((ABCD)\)، فإنّ \((AM)\subset(ABCD)\) و\((CM)\subset(ABCD)\).
✓ المستقيمان \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي \((ABCD)\) (مستوي القاعدة).
⚠️ لا تستنتج تقاطعهما مباشرة؛ الحديث عن نقطة تقاطع مستقيمين لا يصحّ إلّا بعد التأكّد من كونهما في نفس المستوي.
السؤال 5: المستقيم \((CM)\) يقطع \((AD)\) في نقطة \(I\). ارسم هذه النقطة.
«مستقيمان من نفس المستوي غير متوازيين يتقاطعان في نقطة وحيدة.»
المستقيمان \((CM)\) و\((AD)\) محتويان في المستوي \((ABCD)\) (لأنّ \(C,M,A,D\) نقط من القاعدة) وهما غير متوازيين.
✓ يتقاطعان في نقطة وحيدة \(I\) نرسمها؛ وهي تقع على امتداد \([AD]\) من جهة \(A\) خارج القطعة.
⚠️ النقطة \(I\) قد تقع خارج القطعة \([AD]\) على امتداد المستقيم \((AD)\)؛ فالسؤال يخصّ المستقيم لا القطعة.
السؤال 6: عيّن نقطة تقاطع المستقيم \((CM)\) والمستوي \((ADE)\).
نقطة تقاطع مستقيم مع مستوٍ هي النقطة المشتركة الوحيدة بينهما.
النقطة \(I\in(AD)\) و\((AD)\subset(ADE)\) إذن \(I\in(ADE)\).
وكذلك \(I\in(CM)\) حسب السؤال 5.
✓ النقطة \(I\) هي نقطة تقاطع المستقيم \((CM)\) والمستوي \((ADE)\).
⚠️ نقطة التقاطع ليست \(A\) بل \(I\)؛ فالمستقيم \((CM)\) يخترق المستوي \((ADE)\) في \(I\) الواقعة على \((AD)\).