\(SABCD\) هو هرم منتظم قاعدته المربع \(ABCD\) وارتفاعه \([SH]\) بحيث \(AB=4\sqrt{2}\) و\(AS=5\).
1. بيّن أن المثلث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
2. احسب \(SH\).
3. نعتبر نقطة \(A'\) من القطعة \([AS]\) بحيث \(A'S=2\) والمستوي \(Q\) المار من \(A'\) والموازي لـ \((ABC)\)، حيث يقطع \([SB]\) في \(B'\) و\([SC]\) في \(C'\) و\([SD]\) في \(D'\) و\([SH]\) في \(H'\).
أ. بيّن أن \((SH)\) هو ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\).
ب. بيّن أن \((A'D')//(AD)\).
ت. احسب \(A'D'\).
4. علمًا أن \(A'B'=A'D'=B'C'=D'C'\)، بيّن أن \(A'B'C'D'\) مربع.
5. احسب حجم الجسم \(ABCDA'B'C'D'\).
السؤال 1: بيّن أن المثلث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
بما أن \([SH]\) ارتفاع الهرم فإن المستقيم \((SH)\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABC)\)، ومن ثمّ فهو عمودي على كل مستقيم من هذا المستوي.
النقطة \(H\) مركز المربع \(ABCD\) والقطعة \([AH]\) محتواة في المستوي \((ABC)\)، إذن \((SH)\perp(AH)\).
✓ المثلث \(ASH\) قائم الزاوية في \(H\).
⚠️ الارتفاع عمودي على مستوي القاعدة بأكمله وليس فقط على ضلع واحد؛ \(H\) هنا مركز المربع (تقاطع القطرين) وليس منتصف ضلع.
السؤال 2: احسب \(SH\).
نظرية فيثاغورس في المثلث \(ASH\) القائم الزاوية في \(H\).
قطر المربع \(AC=AB\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\times\sqrt{2}=8\)، والنقطة \(H\) منتصف القطر إذن \(AH=\dfrac{AC}{2}=4\).
\(SH^2=AS^2-AH^2=5^2-4^2=25-16=9\) إذن \(SH=3\).
✓ \(SH=3\).
⚠️ \(AH\) هو نصف قطر المربع وليس نصف ضلعه؛ استعمل قطر المربع \(8\) لا الضلع \(4\sqrt{2}\).
السؤال 3: (أ) بيّن أن \((SH)\) ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\). (ب) بيّن أن \((A'D')//(AD)\). (ت) احسب \(A'D'\).
(أ) إذا كان مستقيم عموديا على أحد مستويين متوازيين فهو عمودي على الآخر.
\(Q//(ABC)\) و\((SH)\perp(ABC)\) إذن \((SH)\perp Q\). والنقطة \(H'=(SH)\cap Q\) تنتمي إلى قاعدة الهرم \(A'B'C'D'\).
✓ \((SH)\) عمودي على القاعدة \(A'B'C'D'\) في \(H'\)، إذن هو ارتفاع الهرم \(SA'B'C'D'\).
(ب) إذا قطع مستوٍ مستويين متوازيين فإن مستقيمَي التقاطع متوازيان.
المستوي \((SAD)\) يقطع المستوي \((ABC)\) وفق \((AD)\) ويقطع المستوي \(Q\) وفق \((A'D')\)، وبما أن \(Q//(ABC)\) فإن \((A'D')//(AD)\).
✓ \((A'D')//(AD)\).
(ت) الهرم \(SA'B'C'D'\) تصغير للهرم \(SABCD\) نسبته \(k=\dfrac{SA'}{SA}\)، فتتناسب الأطوال.
\(k=\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{2}{5}\) و\(AD=AB=4\sqrt{2}\)، إذن \(A'D'=k\times AD=\dfrac{2}{5}\times 4\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}\).
✓ \(A'D'=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}\).
⚠️ نسبة التصغير تُحسب انطلاقًا من الرأس \(S\): \(k=\dfrac{SA'}{SA}\) وليس \(\dfrac{AA'}{AS}\).
السؤال 4: علمًا أن \(A'B'=A'D'=B'C'=D'C'\)، بيّن أن \(A'B'C'D'\) مربع.
كل معيّن له زاوية قائمة هو مربع.
بما أن \(A'B'=B'C'=C'D'=D'A'\) فإن الرباعي \(A'B'C'D'\) معيّن (أضلاعه الأربعة متقايسة).
بنفس طريقة السؤال 3 لدينا \((A'B')//(AB)\) و\((A'D')//(AD)\). والقاعدة \(ABCD\) مربع إذن \((AB)\perp(AD)\)، ومنه \((A'B')\perp(A'D')\) أي الزاوية في \(A'\) قائمة.
✓ \(A'B'C'D'\) معيّن له زاوية قائمة، إذن هو مربع.
⚠️ تساوي الأضلاع وحده يُعطي معيّنًا فقط؛ لا بدّ من إثبات الزاوية القائمة (بالتوازي مع أضلاع المربع \(ABCD\)) لنستنتج أنه مربع.
السؤال 5: احسب حجم الجسم \(ABCDA'B'C'D'\).
حجم الجسم الناقص \(ABCDA'B'C'D'\) = حجم الهرم الكبير \(SABCD\) − حجم الهرم الصغير \(SA'B'C'D'\)، وحجم الهرم \(=\dfrac{1}{3}\times\) مساحة القاعدة \(\times\) الارتفاع.
\(V(SABCD)=\dfrac{1}{3}\times AB^2\times SH=\dfrac{1}{3}\times(4\sqrt{2})^2\times 3=\dfrac{1}{3}\times 32\times 3=32\).
التصغير نسبته \(k=\dfrac{2}{5}\) والحجوم تُضرب في \(k^3\)، إذن \(V(SA'B'C'D')=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\times 32=\dfrac{8}{125}\times 32=\dfrac{256}{125}\).
\(V(ABCDA'B'C'D')=32-\dfrac{256}{125}=\dfrac{4000-256}{125}=\dfrac{3744}{125}\).
✓ \(V(ABCDA'B'C'D')=\dfrac{3744}{125}\approx 29,95\).
⚠️ الحجوم تتناسب مع مكعّب نسبة التصغير \(k^3\) وليس مع \(k\)؛ ولا تنسَ طرح حجم الهرم الصغير من حجم الهرم الكبير.