\(ABCD\) هرم منتظم (رباعي وجوه منتظم، كل أوجهه مثلثات متساوية الأضلاع طول ضلعها \(a\))، \(M\) منتصف \([CD]\) و\(N\) منتصف \([AD]\).
1. بيّن أن \((MN)//(ABC)\).
2. بيّن أن \(AM=CN\).
3. برهن أن المستوي \((ABM)\) عمودي على المستقيم \((CD)\).
4. عيّن النقطة \(P\) منتصف \([AB]\)، ثم أثبت أن المثلث \(CMP\) قائم الزاوية في \(M\).
5. لتكن \(Q\) منتصف \([BC]\). بيّن أن الرباعي \(MNPQ\) متوازي أضلاع.
السؤال 1: بيّن أن \((MN)//(ABC)\).
نظرية خط الأواسط: المستقيم المارّ بمنتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث.
في المثلث \(ACD\): \(M\) منتصف \([CD]\) و\(N\) منتصف \([AD]\)، إذن \((MN)//(AC)\).
المستقيم \((AC)\) محتوى في المستوي \((ABC)\)، والمستقيم \((MN)\) لا ينتمي إليه.
خاصية: إذا وازى مستقيمٌ مستقيمًا محتوى في مستوٍ فهو يوازي هذا المستوي.
✓ إذن \((MN)//(ABC)\).
⚠️ لا يكفي القول إن \((MN)\) و\((ABC)\) لا يتقاطعان؛ يجب إبراز المستقيم \((AC)\) من المستوي الذي يوازي \((MN)\).
السؤال 2: بيّن أن \(AM=CN\).
الهرم منتظم، إذن كل وجه مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه \(a\)؛ نستعمل نظرية فيثاغورس.
\([AM]\) متوسط من \(A\) في الوجه \(ACD\) والمتوسط في مثلث متساوي الأضلاع هو نفسه الارتفاع، فـ \((AM)\perp(CD)\) و\(CM=\dfrac{a}{2}\).
\(AM^2=AC^2-CM^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}\) إذن \(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
بالمثل \([CN]\) متوسط من \(C\) في نفس الوجه \(ACD\)، فـ \(CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
✓ إذن \(AM=CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
⚠️ لا تخلط بين طول الضلع \(a\) وطول المتوسط \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\): المتوسط أقصر من الضلع.
السؤال 3: برهن أن المستوي \((ABM)\) عمودي على المستقيم \((CD)\).
خاصية: إذا كان مستقيمٌ عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
في الوجه المتساوي الأضلاع \(ACD\): \([AM]\) متوسط وارتفاع (لأن \(M\) منتصف \([CD]\))، إذن \((CD)\perp(AM)\).
في الوجه المتساوي الأضلاع \(BCD\): \([BM]\) متوسط وارتفاع (لأن \(M\) منتصف \([CD]\))، إذن \((CD)\perp(BM)\).
المستقيمان \((AM)\) و\((BM)\) متقاطعان في \(M\) ومحتويان في المستوي \((ABM)\).
✓ إذن \((CD)\perp(ABM)\)، أي المستوي \((ABM)\) عمودي على المستقيم \((CD)\).
⚠️ التعامد مع \((AM)\) وحده لا يكفي؛ يلزم مستقيمان متقاطعان من المستوي.
السؤال 4: عيّن النقطة \(P\) منتصف \([AB]\)، ثم أثبت أن المثلث \(CMP\) قائم الزاوية في \(M\).
نتيجة: إذا كان مستقيمٌ عموديًا على مستوٍ فهو عمودي على كل مستقيم من هذا المستوي.
من السؤال 3: \((CD)\perp(ABM)\). والنقطتان \(M\) و\(P\) تنتميان إلى المستوي \((ABM)\) (لأن \(P\) منتصف \([AB]\))، إذن \((MP)\subset(ABM)\).
القطعة \([MC]\) محمولة على المستقيم \((CD)\) (لأن \(M\in[CD]\))، وبما أن \((CD)\perp(ABM)\) فإن \((CD)\perp(MP)\)، أي \((MC)\perp(MP)\).
✓ إذن الزاوية \(\widehat{PMC}\) قائمة، والمثلث \(CMP\) قائم الزاوية في \(M\).
⚠️ الزاوية القائمة في \(M\) وليست في \(C\) أو \(P\): الرأس القائم هو حيث يلتقي المستقيمان المتعامدان \((MC)\) و\((MP)\).
السؤال 5: لتكن \(Q\) منتصف \([BC]\). بيّن أن الرباعي \(MNPQ\) متوازي أضلاع.
خاصية: إذا كان في رباعي ضلعان متقابلان متوازيين ومتقايسين فهو متوازي أضلاع.
في المثلث \(ACD\) (خط الأواسط): \((MN)//(AC)\) و\(MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}\).
في المثلث \(ABC\): \(P\) منتصف \([AB]\) و\(Q\) منتصف \([BC]\)، إذن \((PQ)//(AC)\) و\(PQ=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}\).
إذن \((MN)//(PQ)\) و\(MN=PQ=\dfrac{a}{2}\)؛ الضلعان المتقابلان \([MN]\) و\([PQ]\) متوازيان ومتقايسان.
✓ إذن الرباعي \(MNPQ\) متوازي أضلاع.
⚠️ انتبه لترتيب الرؤوس: الضلعان المتقابلان هما \([MN]\) و\([PQ]\) وليس \([MN]\) و\([NP]\).