نعتبر متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) حيث \(AB=6\) و\(AD=4\) و\(AE=2\sqrt{3}\).
1. لتكن \(O\) مركز المستطيل \(ABCD\). احسب \(BD\) و\(OD\).
2. لتكن \(I\) منتصف \([AD]\). احسب \(OI\).
3. بيّن أنّ \((HD)\) و\((OD)\) متعامدان ثمّ استنتج أنّ \(OH=5\).
4. احسب \(IH\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(IOH\) قائم الزاوية في \(I\).
السؤال 1: لتكن \(O\) مركز المستطيل \(ABCD\). احسب \(BD\) و\(OD\).
القاعدة \(ABCD\) مستطيل، فالمثلّث \(ABD\) قائم الزاوية في \(A\)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس.
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\)، إذن \(BD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\).
النقطة \(O\) مركز المستطيل أي منتصف القطر \([BD]\)، إذن \(OD = \dfrac{BD}{2} = \sqrt{13}\).
✓ \(BD = 2\sqrt{13}\) و\(OD = \sqrt{13}\).
⚠️ القطر ليس مجموع الضلعين: \(BD \neq AB + AD = 10\)، بل يُحسب بنظرية فيثاغورس.
السؤال 2: لتكن \(I\) منتصف \([AD]\). احسب \(OI\).
مبرهنة منتصفات المثلّث: في المثلّث \(ABD\)، النقطة \(O\) منتصف \([BD]\) والنقطة \(I\) منتصف \([AD]\).
إذن \((OI)\) يوازي \((AB)\) و\(OI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\).
✓ \(OI = 3\).
⚠️ لا تخلط \(OI\) مع نصف القطر \(OD\)؛ هنا نستعمل مبرهنة المنتصفات مع الضلع \([AB]\).
السؤال 3: بيّن أنّ \((HD)\) و\((OD)\) متعامدان ثمّ استنتج أنّ \(OH=5\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي. الحرف \([HD]\) ضلع جانبي عمودي على القاعدة \((ABCD)\).
بما أنّ \((HD) \perp (ABCD)\) و\((OD) \subset (ABCD)\) فإنّ \((HD) \perp (OD)\)، أي المثلّث \(ODH\) قائم الزاوية في \(D\).
\(DH = AE = 2\sqrt{3}\)، وحسب نظرية فيثاغورس: \(OH^2 = OD^2 + DH^2 = (\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 13 + 12 = 25\)، إذن \(OH = 5\).
✓ \((HD) \perp (OD)\) و\(OH = 5\).
⚠️ \((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times 3 = 12\) وليس \(6\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر معا.
السؤال 4: احسب \(IH\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(IOH\) قائم الزاوية في \(I\).
نظرية فيثاغورس ثمّ عكسها. الضلع \([DH]\) عمودي على القاعدة إذن \((DH) \perp (DI)\) والمثلّث \(IDH\) قائم الزاوية في \(D\).
\(ID = \dfrac{AD}{2} = 2\)، وحسب فيثاغورس: \(IH^2 = ID^2 + DH^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16\)، إذن \(IH = 4\).
في المثلّث \(IOH\): \(OI^2 + IH^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = OH^2\).
✓ \(IH = 4\)، وحسب عكس نظرية فيثاغورس فإنّ المثلّث \(IOH\) قائم الزاوية في \(I\).
⚠️ قبل تطبيق عكس فيثاغورس تأكّد أنّ \(OH = 5\) هو أطول ضلع (الوتر) في المثلّث \(IOH\).