نعتبر مكعبا \(ABCDEFGH\)، حيث \(M\) نقطة من \([AB]\) و\(N\) نقطة من \([CG]\).
1. أ. بيّن أن \((ADE)\) عمودي على \((AB)\) وأن \((BCG)\) عمودي على \((AB)\).
ب. ماذا تستنتج بالنسبة إلى المستويين \((ADE)\) و\((BCG)\)؟
2. أثبت أن المثلث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
3. برهن أن \((CG)//(AE)\).
4. بيّن أن المستقيمين \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي.
5. المستقيم \((CM)\) يقطع \((AD)\) في نقطة \(I\). ارسم هذه النقطة.
السؤال 1: أ. بيّن أن \((ADE)\) عمودي على \((AB)\) وأن \((BCG)\) عمودي على \((AB)\). ب. ماذا تستنتج بالنسبة إلى \((ADE)\) و\((BCG)\)؟
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فإنه عمودي على هذا المستوي؛ ومستويان عموديان على نفس المستقيم يكونان متوازيين.
في المربّع \(ABCD\): \((AB)\perp(AD)\)، وفي المربّع \(ABFE\): \((AB)\perp(AE)\). والمستقيمان \((AD)\) و\((AE)\) متقاطعان في \(A\) وينتميان إلى \((ADE)\)، إذن \((AB)\perp(ADE)\).
كذلك \((AB)\perp(BC)\) (المربّع \(ABCD\)) و\((AB)\perp(BF)\) (المربّع \(ABFE\))، والمستقيمان \((BC)\) و\((BF)\) متقاطعان في \(B\) وينتميان إلى \((BCG)\)، إذن \((AB)\perp(BCG)\).
✓ \((AB)\perp(ADE)\) و\((AB)\perp(BCG)\)، وبما أنّ المستويين عموديان على نفس المستقيم \((AB)\) فإنّ \((ADE)//(BCG)\).
⚠️ لا يكفي تعامد \((AB)\) مع مستقيم واحد فقط من المستوي؛ يجب إظهار تعامده مع مستقيمين متقاطعين منه.
السؤال 2: أثبت أن المثلث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كل مستقيم من هذا المستوي يمرّ من أثره.
\(N\in[CG]\) و\([CG]\subset(BCG)\)، ومنه \((BN)\subset(BCG)\). ومن السؤال 1 لدينا \((AB)\perp(BCG)\).
بما أنّ \((AB)\perp(BCG)\) و\((BN)\subset(BCG)\) فإنّ \((AB)\perp(BN)\). والنقطة \(M\in[AB]\) إذن \((BM)\perp(BN)\).
✓ الزاوية \(\widehat{MBN}\) قائمة، إذن المثلث \(MBN\) قائم الزاوية في \(B\).
⚠️ التعامد ناتج عن كون \((AB)\) عموديا على المستوي \((BCG)\) بأكمله، لا عن مجرّد ملاحظة على الرسم.
السؤال 3: برهن أن \((CG)//(AE)\).
مستقيمان يوازيان مستقيما ثالثا يكونان متوازيين فيما بينهما.
في المربّع \(BCGF\) الحرفان المتقابلان يعطيان \((CG)//(BF)\).
وفي المربّع \(ABFE\) الحرفان المتقابلان يعطيان \((BF)//(AE)\).
✓ بما أنّ \((CG)//(BF)\) و\((BF)//(AE)\) فإنّ \((CG)//(AE)\).
⚠️ \((CG)\) و\((AE)\) لا يقعان في نفس الوجه؛ نمرّ عبر الحرف \((BF)\) لإثبات التوازي ولا نكتفي بالنظر إلى الشكل.
السؤال 4: بيّن أن المستقيمين \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي.
مستقيمان متقاطعان يعيّنان مستويا واحدا، وكل نقاطهما تقع في هذا المستوي.
\(M\in[AB]\) إذن النقاط \(A\) و\(M\) و\(B\) تنتمي إلى مستوي القاعدة \((ABCD)\)، والنقطة \(C\) تنتمي أيضا إلى \((ABCD)\).
ومنه \((AM)\) (وهو نفسه \((AB)\)) و\((CM)\) محتويان كلاهما في المستوي \((ABCD)\)، وهما يتقاطعان في النقطة \(M\).
✓ المستقيمان \((CM)\) و\((AM)\) محتويان في نفس المستوي \((ABCD)\).
⚠️ لا نخلط بين وجه المكعب ومستواه؛ فالنقطة \(M\) تقع على الحرف \([AB]\) لكنها تنتمي إلى مستوي القاعدة \((ABCD)\).
السؤال 5: المستقيم \((CM)\) يقطع \((AD)\) في نقطة \(I\). ارسم هذه النقطة.
مستقيمان من نفس المستوي غير متوازيين يتقاطعان في نقطة وحيدة.
من السؤال 4، المستقيمان \((CM)\) و\((AD)\) محتويان في المستوي \((ABCD)\).
وهما غير متوازيين لأنّ \((CM)\) يقطع الحرف \([AB]\) في \(M\) بينما \((AD)\) عمودي على \((AB)\)، إذن لهما نقطة تقاطع.
✓ يتقاطع \((CM)\) مع \((AD)\) في نقطة وحيدة \(I\) تقع على امتداد \([DA]\) من جهة \(A\).
⚠️ النقطة \(I\) لا تقع داخل القطعة \([AD]\) بل على امتدادها؛ يجب مدّ المستقيم \((AD)\) لإيجادها.