\(ABCDEFGH\) متوازي مستطيلات بحيث \(AB=6\,cm\) و\(BC=4\,cm\) و\(AE=4\,cm\).
\(I\) منتصف \([EH]\)، \(J\) منتصف \([EF]\)، \(M\) منتصف \([FG]\) و\(N\) منتصف \([GH]\).
1. بيّن أن \((AJ)\) و\((BF)\) متقاطعان.
2. بيّن أن \((IJ)\,//\,(MN)\).
3. بيّن أن \((IJ)\,//\,(BDF)\).
4. احسب حجم الهرم \(AEIJ\).
5. احسب محيط الرباعي \(IJMN\) معللا جوابك.
6. بيّن أن \((IJ)\) و\((CG)\) ليسا في نفس المستوي.
7. بيّن أن \((AI)\,//\,(BCG)\).
8. بيّن أن \((IJ)\) و\((BCG)\) متقاطعان.
السؤال 1: بيّن أن \((AJ)\) و\((BF)\) متقاطعان.
مستقيمان واقعان في نفس المستوي وغير متوازيين يكونان متقاطعين.
بما أن \(J\) منتصف \([EF]\) فإن \(J\in(ABFE)\)، والنقط \(A\) و\(B\) و\(F\) تنتمي إلى الوجه \((ABFE)\)، إذن المستقيمان \((AJ)\) و\((BF)\) واقعان في المستوي \((ABFE)\).
المستقيم \((BF)\) حرف عمودي على القاعدة بينما \((AJ)\) مائل داخل الوجه، فهما غير متوازيين.
✓ بما أنهما في نفس المستوي \((ABFE)\) وغير متوازيين فإن \((AJ)\) و\((BF)\) متقاطعان.
⚠️ في الفضاء لا يكفي عدم التوازي لاستنتاج التقاطع؛ يجب أولا التأكد أن المستقيمين في نفس المستوي \((ABFE)\).
السؤال 2: بيّن أن \((IJ)\,//\,(MN)\).
نظرية المنتصفين: القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث.
في المثلث \(EHF\): \(I\) منتصف \([EH]\) و\(J\) منتصف \([EF]\)، إذن \((IJ)\,//\,(HF)\).
في المثلث \(GHF\): \(M\) منتصف \([FG]\) و\(N\) منتصف \([GH]\)، إذن \((MN)\,//\,(HF)\).
✓ بما أن \((IJ)\,//\,(HF)\) و\((MN)\,//\,(HF)\) فإن \((IJ)\,//\,(MN)\).
⚠️ لا تستنتج التوازي لمجرد أن \(I,J,M,N\) منتصفات؛ التعليل يمر عبر القطر المشترك \((HF)\).
السؤال 3: بيّن أن \((IJ)\,//\,(BDF)\).
إذا وازى مستقيمٌ مستقيما آخر واقعا في مستوٍ ولم يكن هو نفسه محتوى في هذا المستوي، فإنه يوازيه.
من السؤال السابق \((IJ)\,//\,(HF)\). والرباعي \(HFBD\) متوازي أضلاع لأن \([HF]\) و\([BD]\) قطران متناظران بالنسبة لمركز متوازي المستطيلات، إذن \((HF)\,//\,(BD)\) ومنه \((IJ)\,//\,(BD)\).
المستقيم \((BD)\) محتوى في المستوي \((BDF)\)، والمستقيم \((IJ)\) غير محتوى في \((BDF)\).
✓ إذن \((IJ)\,//\,(BDF)\).
⚠️ لا بد من التحقق أن \((IJ)\) ليس محتوى في \((BDF)\)، وإلا فلا معنى للحديث عن توازي مستقيم ومستوٍ.
السؤال 4: احسب حجم الهرم \(AEIJ\).
حجم الهرم \(=\dfrac{1}{3}\times\) مساحة القاعدة \(\times\) الارتفاع.
القاعدة هي المثلث \(EIJ\) القائم في \(E\) لأنه واقع في الوجه \((EFGH)\): \(EI=\dfrac{EH}{2}=\dfrac{4}{2}=2\) و\(EJ=\dfrac{EF}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)، فمساحته \(=\dfrac{1}{2}\times2\times3=3\).
بما أن \((AE)\perp(EFGH)\) فإن ارتفاع الهرم من الرأس \(A\) هو \(AE=4\).
✓ الحجم \(=\dfrac{1}{3}\times3\times4=4\,cm^{3}\).
⚠️ الارتفاع هو \(AE\) العمودي على مستوي القاعدة \((EFGH)\)، وليس أحد ضلعي المثلث \(EIJ\).
السؤال 5: احسب محيط الرباعي \(IJMN\) معللا جوابك.
القطعة بين منتصفي ضلعين في مثلث تساوي نصف الضلع الثالث، وقطرا المستطيل متقايسان (نظرية فيثاغورس لحساب القطر).
في المستطيل \(EFGH\): \(HF=\sqrt{EF^{2}+FG^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)، وكذلك \(EG=2\sqrt{13}\).
\(IJ=\dfrac{HF}{2}=\sqrt{13}\)، \(MN=\dfrac{HF}{2}=\sqrt{13}\)، \(JM=\dfrac{EG}{2}=\sqrt{13}\)، \(NI=\dfrac{EG}{2}=\sqrt{13}\).
✓ \(IJMN\) معيّن، ومحيطه \(=4\times\sqrt{13}=4\sqrt{13}\,cm\).
⚠️ الرمز \(\sqrt{\ }\) يسقط أحيانا في النص: «\(2\ 13\)» تعني \(2\sqrt{13}\)؛ الأضلاع الأربعة متساوية لأن قطري المستطيل متقايسان.
السؤال 6: بيّن أن \((IJ)\) و\((CG)\) ليسا في نفس المستوي.
مستقيمان يكونان متخالفين (ليسا في نفس المستوي) إذا لم يكونا متوازيين ولم يتقاطعا.
\((CG)\) عمودي على المستوي \((EFGH)\) ويقطعه في النقطة \(G\) فقط، بينما \((IJ)\) محتوى في \((EFGH)\)، إذن \((IJ)\) و\((CG)\) غير متوازيين.
لو كانا في نفس المستوي لتقاطعا في نقطة من \((EFGH)\)، وهي حتما \(G\) (النقطة المشتركة الوحيدة بين \((CG)\) و\((EFGH)\))، لكن \(G\notin(IJ)\).
✓ إذن \((IJ)\) و\((CG)\) ليسا في نفس المستوي (متخالفان).
⚠️ عدم التوازي وحده لا يكفي في الفضاء؛ يجب أيضا إثبات أن المستقيمين لا يتقاطعان.
السؤال 7: بيّن أن \((AI)\,//\,(BCG)\).
إذا كان مستقيمٌ محتوى في مستوٍ يوازي مستويا آخر، فإنه يوازي هذا المستوي الآخر.
المستقيم \((AI)\) محتوى في الوجه \((ADHE)\)، والوجهان المتقابلان \((ADHE)\) و\((BCGF)\) متوازيان في متوازي المستطيلات.
المستوي \((BCG)\) هو الوجه \((BCGF)\)، و\((ADHE)\,//\,(BCGF)\).
✓ إذن \((AI)\,//\,(BCG)\).
⚠️ لا تخلط بين توازي مستقيم ومستوٍ وبين احتواء المستقيم في المستوي؛ فالمستقيم \((AI)\) خارج الوجه \((BCG)\) تماما.
السؤال 8: بيّن أن \((IJ)\) و\((BCG)\) متقاطعان.
مستقيمان في مستوٍ واحد وغير متوازيين يتقاطعان، ونقطة تقاطعهما تنتمي إلى كل مستوٍ يحوي أحدهما.
\((IJ)\) و\((FG)\) واقعان في المستوي \((EFGH)\) وهما غير متوازيين (لأن \((IJ)\,//\,(HF)\) و\((HF)\) يقطع \((FG)\) في \(F\))، إذن يتقاطعان في نقطة نسميها \(L\).
لدينا \(L\in(FG)\) و\((FG)\subset(BCGF)=(BCG)\)، وكذلك \(L\in(IJ)\).
✓ إذن \(L\) نقطة مشتركة بين \((IJ)\) و\((BCG)\)، فهما متقاطعان.
⚠️ تقع نقطة التقاطع على امتداد \([FG]\) خارج القطعة، لكن المستقيمين \((IJ)\) و\((FG)\) يتقاطعان فعلا داخل المستوي \((EFGH)\).