مجموعة الأعداد الحقيقية - درس شامل تفاعلي

1. مراجعة على المجموعات الجزئية لـ ℝ

أ) الكتابة العشرية

تعريف: الكتابة العشرية

كل عدد عشري يمكن كتابته على الشكل:

a = \frac{p}{10^n} \text{ حيث } p \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}

أمثلة:

$$3.25 = \frac{325}{100} = \frac{325}{10^2}$$
$$-0.007 = \frac{-7}{1000} = \frac{-7}{10^3}$$
$$15 = \frac{15}{1} = \frac{15}{10^0}$$

ب) الكتابة العشرية الدورية للأعداد النسبية

خاصية أساسية:

كل عدد نسبي له كتابة عشرية منتهية أو دورية.

مثال 1: كتابة منتهية

$$\frac{3}{4} = 0.75$$ (منتهية)

مثال 2: كتابة دورية

$$\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3}$$ (دورية)

مثال 3: كتابة دورية معقدة

$$\frac{7}{11} = 0.636363... = 0.\overline{63}$$

ج) العمل على الكتابات العشرية اللامنتهية والدورية

تمرين تطبيقي: تحويل كتابة دورية إلى كسر

المثال: حول $$x = 0.2\overline{54} = 0.254545...$$ إلى كسر

1 نضع $$x = 0.254545...$$

2 $$1000x = 254.545454...$$

3 $$10x = 2.545454...$$

4 $$1000x - 10x = 254.54... - 2.54... = 252$$

5 $$990x = 252$$ إذن $$x = \frac{252}{990} = \frac{42}{165} = \frac{14}{55}$$

ℕ الطبيعية
$$\{0, 1, 2, 3, ...\}$$

ℤ الصحيحة
$$\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$$

𝔻 العشرية
كتابة عشرية منتهية

ℚ النسبية
$$\{\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$$

2. تقديم الأعداد الحقيقية

أ) أعداد ذات كتابات عشرية لامنتهية وغير دورية

ملاحظة مهمة:

ليس كل عدد ذو كتابة عشرية لامنتهية هو عدد نسبي!

هناك أعداد لها كتابات عشرية لامنتهية وغير دورية.

أمثلة على أعداد غير نسبية:

$$0.101001000100001...$$ (الأصفار تزيد تدريجياً)
$$0.123456789101112...$$ (الأعداد الطبيعية متتالية)
$$3.141592653589793...$$ (العدد π)
$$2.718281828459045...$$ (العدد e)

ب) تعريف مجموعة ℝ وأجزائها

تعريف: مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ هي مجموعة جميع الأعداد ذات الكتابة العشرية (منتهية أو لامنتهية).

\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

حيث 𝕀 هي مجموعة الأعداد الصماء (غير النسبية).

خاصية التقسيم:

\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \text{ و } \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}

أي أن كل عدد حقيقي هو إما نسبي أو أصم، وليس الاثنين معاً.

المجموعة	الرمز	التعريف	مثال
الطبيعية	ℕ	أعداد العد والصفر	0, 1, 2, 3
الصحيحة	ℤ	الطبيعية والسالبة	-2, -1, 0, 1, 2
العشرية	𝔻	كتابة عشرية منتهية	2.5, -3.75
النسبية	ℚ	على شكل a/b	1/3, 2.5, -7
الصماء	𝕀	غير نسبية	√2, π, e
الحقيقية	ℝ	جميع الأعداد	كل ما سبق

3. تقديم الجذر التربيعي لـ 2

أ) التعريف الهندسي

تعريف هندسي:

√2 هو طول ضلع مربع مساحته 2.

إذا كان للمربع ضلع طوله $$c$$، ومساحته 2، فإن: $$c^2 = 2$$ $$c = \sqrt{2}$$

تفسير هندسي:

يمكن إنشاء √2 باستخدام نظرية فيثاغورس:

في مثلث قائم ضلعاه 1 و 1
الوتر = √(1² + 1²) = √2
إذن √2 موجود هندسياً ويمكن رسمه

ب) الكتابة العشرية والقيم المقربة لـ √2

إيجاد قيم مقربة لـ √2:

1 نبحث عن عددين متتاليين a و a+1 بحيث: $$a^2 < 2 < (a+1)^2$$

2 $$1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$$، إذن $$1 < \sqrt{2} < 2$$

3 نحسب: $$(1.4)^2 = 1.96 < 2$$ و $$(1.5)^2 = 2.25 > 2$$
إذن $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$$

4 نحسب: $$(1.41)^2 = 1.9881 < 2$$ و $$(1.42)^2 = 2.0164 > 2$$
إذن $$1.41 < \sqrt{2} < 1.42$$

5 بالاستمرار: $$\sqrt{2} \approx 1.41421356...$$

ج) برهان أن √2 ليس كسراً (بالخلف)

نظرية:

√2 عدد أصم (غير نسبي)

البرهان بالخلف:

1 الفرض: نفترض أن √2 عدد نسبي

2 إذن يمكن كتابة: $$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$ حيث $$p, q \in \mathbb{Z}^*$$ و $$\gcd(p,q) = 1$$

3 بتربيع الطرفين: $$2 = \frac{p^2}{q^2}$$ إذن $$2q^2 = p^2$$

4 إذن $$p^2$$ زوجي، وبالتالي $$p$$ زوجي. نضع $$p = 2k$$

5 $$2q^2 = (2k)^2 = 4k^2$$ إذن $$q^2 = 2k^2$$

6 إذن $$q^2$$ زوجي، وبالتالي $$q$$ زوجي

7 التناقض: إذا كان $$p$$ و $$q$$ زوجيين، فإن $$\gcd(p,q) \geq 2$$، وهذا يناقض فرضنا

8 النتيجة: إذن √2 ليس عدداً نسبياً، أي √2 ∈ 𝕀

د) وضع √2 على مستقيم مدرج

الإنشاء الهندسي:

نرسم مستقيماً مدرجاً بوحدة طولها 1 سم
من النقطة O (الأصل)، نرسم عمودياً طوله 1 سم
نصل بين نهاية العمود والنقطة التي فاصلتها 1
طول هذا الوصل هو √2
بالبركار، ننقل هذا الطول على المستقيم المدرج
النقطة المحصل عليها فاصلتها √2 ≈ 1.414

4. العمل على جذور تربيعية أخرى

أ) الجذر التربيعي لـ 3

إيجاد حصر لـ √3:

1 $$1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$$ إذن $$1 < \sqrt{3} < 2$$

2 $$(1.7)^2 = 2.89 < 3$$ و $$(1.8)^2 = 3.24 > 3$$
إذن $$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$$

3 $$(1.73)^2 = 2.9929 < 3$$ و $$(1.74)^2 = 3.0276 > 3$$
إذن $$\sqrt{3} \approx 1.732$$

خاصية:

√3 عدد أصم (البرهان مماثل لبرهان √2)

ب) الجذر التربيعي لـ 5

تقدير √5:

$$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$$ إذن $$2 < \sqrt{5} < 3$$
$$(2.2)^2 = 4.84 < 5$$ و $$(2.3)^2 = 5.29 > 5$$
إذن $$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$$
بدقة أكبر: $$\sqrt{5} \approx 2.236$$

ج) خاصيات عامة للجذور التربيعية

خاصيات أساسية:

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$ للأعداد الموجبة
$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ للأعداد الموجبة و $$b \neq 0$$
$$(\sqrt{a})^2 = a$$ للأعداد الموجبة
$$\sqrt{a^2} = |a|$$ لكل عدد حقيقي

أمثلة تطبيقية:

$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$$
$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$
$$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

د) الأعداد الصماء الشهيرة

العدد	القيمة المقربة	الخاصية
√2	1.414	قطر المربع الوحدة
√3	1.732	ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع
√5	2.236	مرتبط بالعدد الذهبي
π	3.14159	نسبة محيط الدائرة لقطرها
e	2.71828	أساس اللوغاريتم الطبيعي

5. تدريج المستقيم بالأعداد الحقيقية

أ) المستقيم العددي والأعداد الحقيقية

مبدأ التطابق:

هناك تطابق تام بين نقاط المستقيم ومجموعة الأعداد الحقيقية ℝ.

كل نقطة على المستقيم تقابل عدداً حقيقياً وحيداً
كل عدد حقيقي يقابل نقطة وحيدة على المستقيم

إنشاء المستقيم المدرج:

نختار نقطة أصل O
نختار وحدة طول (مثل 1 سم)
نضع النقاط: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
نضع الأعداد العشرية: 0.5, 1.3, -2.7, ...
نضع الأعداد الصماء: √2, √3, π, ...

ب) ترتيب الأعداد الحقيقية

تعريف الترتيب:

للعددين الحقيقيين a و b:

$$a < b$$ إذا وفقط إذا كانت النقطة A(a) على يسار النقطة B(b)
$$a = b$$ إذا وفقط إذا كانتا نفس النقطة
$$a > b$$ إذا وفقط إذا كانت النقطة A(a) على يمين النقطة B(b)

أمثلة على الترتيب:

$$-2 < -\sqrt{3} < -1 < 0 < 1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < \sqrt{5} < 3 < \pi < 4$$
$$1.41 < \sqrt{2} < 1.42$$
$$3.14 < \pi < 3.15$$
$$\frac{1}{3} = 0.333... < 0.34$$

ج) الكثافة في ℝ

خاصية الكثافة:

بين أي عددين حقيقيين مختلفين، توجد أعداد حقيقية أخرى.

أي: إذا كان $$a < b$$ فإنه يوجد $$c \in \mathbb{R}$$ بحيث $$a < c < b$$

مثال على الكثافة:

بين 1 و 2، نجد:

الأعداد النسبية: 1.1, 1.5, 1.9, 3/2, 7/4, ...
الأعداد الصماء: √2, √3, ...
وأعداد أخرى لا متناهية!

د) تطبيقات عملية

تمرين شامل: ترتيب ووضع على المستقيم

رتب الأعداد التالية تصاعدياً وضعها على مستقيم مدرج:

$$A = \{-\sqrt{5}, -2, -\frac{3}{2}, 0, \frac{7}{4}, \sqrt{3}, \pi, 3.2\}$$

1 نحسب القيم العشرية المقربة:

$$-\sqrt{5} \approx -2.236$$
$$-\frac{3}{2} = -1.5$$
$$\frac{7}{4} = 1.75$$
$$\sqrt{3} \approx 1.732$$
$$\pi \approx 3.14159$$

2 الترتيب التصاعدي:
$$-\sqrt{5} < -2 < -\frac{3}{2} < 0 < \frac{7}{4} < \sqrt{3} < \pi < 3.2$$

هـ) خلاصة الدرس

الأفكار الأساسية:

ℝ = ℚ ∪ 𝕀 حيث ℚ ∩ 𝕀 = ∅
كل عدد نسبي له كتابة عشرية منتهية أو دورية
الأعداد الصماء لها كتابات عشرية لامنتهية وغير دورية
√2, √3, √5, π, e هي أمثلة مهمة على الأعداد الصماء
المستقيم العددي يمثل جميع الأعداد الحقيقية
ℝ مرتبة وكثيفة

الشمول بين المجموعات:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}