مجموعة الأعداد الحقيقية - درس شامل تفاعلي

I. تذكير بمجموعات الأعداد أساسيات

                    الهدف الرئيسي: معرفة مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ وخصائصها الأساسية والتعامل مع تصنيف الأعداد
                

ℕ الأعداد الطبيعية
$$\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; ...\}$$

ℤ الأعداد الصحيحة
$$\mathbb{Z} = \{...; -2; -1; 0; 1; 2; ...\}$$

𝔻 الأعداد العشرية
$$a = \frac{p}{10^n}, p \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$$

ℚ الأعداد النسبية
$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\right\}$$

𝕀 الأعداد الصماء
الأعداد غير النسبية مثل $$\sqrt{2}, \pi, e$$

ℝ الأعداد الحقيقية
$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

مخطط شمول المجموعات العددية:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

حيث ℝ = ℚ ∪ 𝕀 و ℚ ∩ 𝕀 = ∅

II. تصنيف الأعداد - نظام تفاعلي تطبيق

الطبق الرئيسي: تحديد التقاطعات

تمرين 1

لتكن المجموعة A التالية:

$$A = \{-2\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{7}; 9; \sqrt{1+\frac{48}{27}}; -\frac{16}{4}; -\sqrt{0.81}; 0; 7.365; -\frac{\pi}{2}\}$$

1

تبسيط عناصر المجموعة A

$$-\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{7} = -\frac{\sqrt{9+16}}{7} = -\frac{\sqrt{25}}{7} = -\frac{5}{7}$$

$$\sqrt{1+\frac{48}{27}} = \sqrt{\frac{27+48}{27}} = \sqrt{\frac{75}{27}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$$

$$-\frac{16}{4} = -4 \quad \text{و} \quad -\sqrt{0.81} = -0.9$$

إذن الصيغة المبسطة للمجموعة A:

A = \{-2\sqrt{2}; -\frac{5}{7}; 9; \frac{5}{3}; -4; -0.9; 0; 7.365; -\frac{\pi}{2}\}

2

تحديد التقاطعات

المجموعة	العناصر	التفسير
$$A \cap \mathbb{N}$$	$$\{0, 9\}$$	الأعداد الطبيعية فقط
$$A \cap \mathbb{Z}$$	$$\{-4, 0, 9\}$$	الأعداد الصحيحة
$$A \cap \mathbb{D}$$	$$\{-4, -0.9, 0, 7.365, 9\}$$	الأعداد العشرية المنتهية
$$A \cap \mathbb{Q}$$	$$\{-4, -\frac{5}{7}, -0.9, 0, \frac{5}{3}, 7.365, 9\}$$	الأعداد النسبية
$$A \cap \mathbb{I}$$	$$\{-2\sqrt{2}, -\frac{\pi}{2}\}$$	الأعداد الصماء

III. الكتابة العشرية الدورية وتحديد موقع الأرقام متقدم

تعريف: الكتابة العشرية الدورية

الكتابة العشرية الدورية هي كتابة لعدد نسبي (كسر) حيث تتكرر مجموعة من الأرقام بانتظام إلى ما لا نهاية بعد الفاصلة العشرية.

مثال بسيط: العدد 1/3 = 0.333333... حيث الرقم 3 يتكرر إلى ما لا نهاية.

مكونات الكتابة العشرية الدورية

12.456789789789...

الجزء الصحيح: الأرقام قبل الفاصلة العشرية (12)

الجزء غير الدوري: الأرقام بعد الفاصلة وقبل بداية التكرار (456)

الدور (الجزء الدوري): الأرقام التي تتكرر (789)

دليل شامل لتحديد موقع الرقم في الكتابة العشرية الدورية

تمرين 2

1

تحديد مكونات العدد

حدد طول الجزء غير الدوري وطول الدور في الكتابة العشرية.

مثال: في العدد 2.5679679679...
• طول الجزء غير الدوري = 1 (الرقم 5)
• طول الدور = 3 (الأرقام 679)

2

تحديد موقع الرقم المطلوب

إذا كان الموضع المطلوب n أقل من أو يساوي طول الجزء غير الدوري، فالرقم موجود في الجزء غير الدوري.

وإلا فالرقم موجود في الجزء الدوري.

3

تطبيق الطريقة البسيطة

إذا كان الموضع في الجزء الدوري:

1) احسب: عدد المواضع في الجزء الدوري = الموضع المطلوب - طول الجزء غير الدوري 2) اقسم هذا العدد على طول الدور 3) خذ باقي القسمة لتجد موضع الرقم في الدور

💡 مثال تطبيقي: العدد بجزء غير دوري

A = 3.25416416416...

الجزء غير الدوري: 25 (طول = 2)
الدور: 416 (طول = 3)

السؤال: ما هو الرقم في الموضع 8 يمين الفاصلة؟

الخطوة 1: تحديد الموقع
طول الجزء غير الدوري = 2
الموضع المطلوب = 8
8 > 2، إذن الرقم في الجزء الدوري

الخطوة 2: حساب المواضع في الجزء الدوري
عدد المواضع في الجزء الدوري = 8 - 2 = 6

الخطوة 3: القسمة على طول الدور
6 ÷ 3 = 2 (حاصل القسمة) مع باقي 0
هذا يعني دورتين كاملتين، والرقم في بداية الدورة الثالثة

النتيجة:
باقي القسمة = 0 → الرقم الأول في الدور
الدور = "416"
الرقم الأول = 4

📝 الطريقة الثانية - استخدام الجدول

يمكنك أيضاً استخدام جدول لتسهيل الحل:

مثال: للعدد 2.5679679... والموضع 10

خطوة 1: الموضع 10 > طول الجزء غير الدوري (1)، إذن في الجزء الدوري

خطوة 2: عدد المواضع في الجزء الدوري = 10 - 1 = 9

خطوة 3: بناء جدول الدور:

الموضع في الدور	0	1	2
الرقم	6	7	9

خطوة 4: 9 ÷ 3 = 3 مع باقي 0
إذن الرقم هو الرقم في الموضع 0 = 6

✅ أمثلة متقدمة ومعقدة

المثال الأول: عدد بدون جزء غير دوري

B = 0.142857142857142857...

لا يوجد جزء غير دوري (طول = 0)
الدور: 142857 (طول = 6)

السؤال: ما هو الرقم في الموضع 100 يمين الفاصلة؟

100 ÷ 6 = 16 مع باقي 4
الدور = "142857"
الأرقام: 1(0), 4(1), 2(2), 8(3), 5(4), 7(5)
الرقم في الموضع 4 = 5

المثال الثاني: مسألة الرقم 2025

C = 7.89456123123123...

السؤال: ما هو الرقم في الموضع 2025؟

تحليل:
• طول الجزء غير الدوري = 5
• طول الدور = 3
• 2025 > 5، إذن في الجزء الدوري

الحساب:
عدد المواضع في الجزء الدوري = 2025 - 5 = 2020
2020 ÷ 3 = 673 مع باقي 1
إذن الرقم هو الثاني في الدور = 2

IV. تمارين متقدمة ومراجعة شاملة تقويم

تمرين شامل: المجموعات العددية والمستقيم المدرج

تمرين 3

نعتبر المجموعة A حيث:

A = \left\{ -2\sqrt{2} ; -\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{7} ; 9 ; \sqrt{1+\frac{48}{27}} ; -\frac{16}{4} ; -\sqrt{0.81} ; 0 ; 7.365 ; -\frac{\pi}{2} \right\}

حدد المجموعات التالية: $A \cap \mathbb{R}$ ; $A \cap \mathbb{Q}^*_+$ ; $A \cap \mathbb{Z}$ ; $A \cap \mathbb{ID}$ ; $A \cap \mathbb{I}$
نعتبر المستقيم العددي المدرج بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 2cm$.
1. عين النقاط $M(-3,2)$ و $P\left(\sqrt{\frac{81}{16}}\right)$ و $Q(-2\sqrt{2})$ و $S(-2+\sqrt{5})$ و $N(2)$.
2. أوجد فاصلة النقطة J منتصف القطعة [MP].
3. احسب $MQ$ ثم $NS$ مع تليل الجواب.
4. حدد فاصلتي النقطتين M و Q في المعين $(O,N)$ بدون تعليل.

💡 مؤشر

الخطوة الأولى: تبسيط الأعداد. قبل تحديد انتماء كل عدد، يجب تبسيط الأعداد المعقدة في المجموعة A. هل يمكنك حساب قيمة $\sqrt{3^2+4^2}$ أو $\sqrt{1+\frac{48}{27}}$؟

تذكير بتعريف المجموعات:

$\mathbb{Z}$: الأعداد الصحيحة (بدون فاصلة).
$\mathbb{Q}$: الأعداد الكسرية (يمكن كتابتها على شكل a/b).
$\mathbb{ID}$: الأعداد العشرية (عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة).
$\mathbb{I}$ أو $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$: الأعداد الصماء (لا يمكن كتابتها على شكل a/b، مثل $\sqrt{2}$ و $\pi$).

بالنسبة للمستقيم العددي: تذكر صيغة حساب فاصلة منتصف قطعة وصيغة المسافة بين نقطتين.

📝 الطريقة

1) تبسيط عناصر المجموعة A:

$$-\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{7} = -\frac{\sqrt{9+16}}{7} = -\frac{\sqrt{25}}{7} = -\frac{5}{7}$$

$$\sqrt{1+\frac{48}{27}} = \sqrt{\frac{27+48}{27}} = \sqrt{\frac{75}{27}} = \sqrt{\frac{25 \times 3}{9 \times 3}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$$

$$-\frac{16}{4} = -4 \quad \text{و} \quad -\sqrt{0.81} = -0.9$$

إذن، الصيغة المبسطة للمجموعة A هي:

A = \left\{ -2\sqrt{2} ; -\frac{5}{7} ; 9 ; \frac{5}{3} ; -4 ; -0.9 ; 0 ; 7.365 ; -\frac{\pi}{2} \right\}

الآن، قم بتصنيف كل عنصر من هذه المجموعة المبسطة لتحديد التقاطعات المطلوبة.

2) المستقيم المدرج:

فاصلة J منتصف [MP]: نطبق القاعدة: $x_J = \frac{x_M + x_P}{2}$. يجب أولاً تبسيط فاصلة P.
حساب المسافات: نطبق القاعدة: $Distance(A,B) = |x_B - x_A|$.
- $MQ = |x_Q - x_M| = |-2\sqrt{2} - (-3.2)|$
- $NS = |x_S - x_N| = |(-2+\sqrt{5}) - 2|$

✅ الحل الكامل

1) تحديد المجموعات:

بعد التبسيط، المجموعة A هي: $A = \{ -2\sqrt{2} ; -\frac{5}{7} ; 9 ; \frac{5}{3} ; -4 ; -0.9 ; 0 ; 7.365 ; -\frac{\pi}{2} \}$.

المجموعة	العناصر
$A \cap \mathbb{R}$	$A$ (كل عناصر A هي أعداد حقيقية)
$A \cap \mathbb{Q}^*_+$	$\{ 9, \frac{5}{3}, 7.365 \}$ (الأعداد الكسرية الموجبة تماما)
$A \cap \mathbb{Z}$	$\{ 9, -4, 0 \}$ (الأعداد الصحيحة)
$A \cap \mathbb{ID}$	$\{ 9, -4, -0.9, 0, 7.365 \}$ (الأعداد العشرية)
$A \cap \mathbb{I}$	$\{ -2\sqrt{2}, -\frac{\pi}{2} \}$ (الأعداد الصماء)

2) المستقيم المدرج:

أ) تعيين النقاط: يتم وضع النقاط على المستقيم العددي حسب فواصلها.

ب) فاصلة النقطة J:

فاصلة P هي $\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4} = 2.25$.

x_J = \frac{x_M + x_P}{2} = \frac{-3.2 + 2.25}{2} = \frac{-0.95}{2} = -0.475

ج) حساب المسافات:

$$MQ = |x_Q - x_M| = |-2\sqrt{2} - (-3.2)| = |3.2 - 2\sqrt{2}| = 3.2 - 2\sqrt{2} \approx 0.37$$
التليل: لأن $3.2 > 2\sqrt{2} \approx 2.828$

$$NS = |x_S - x_N| = |(-2+\sqrt{5}) - 2| = |-4 + \sqrt{5}| = 4 - \sqrt{5} \approx 1.76$$
التليل: لأن $4 > \sqrt{5} \approx 2.236$

د) الفواصل في المعين $(O,N)$:

في المعين $(O,N)$، وحدة القياس هي $ON=2$. إذن الفاصلة الجديدة لأي نقطة X هي $x'_{X} = \frac{x_X}{2}$.

فاصلة M في $(O,N)$ هي: $\frac{-3.2}{2} = -1.6$
فاصلة Q في $(O,N)$ هي: $\frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1.41$

تحدي الكتابة العشرية المعقدة

تمرين 4

نعتبر العدد: $D = 2.718281828..$ حيث النمط $18$ و $28$ يتناوبان

والعدد: $E = 3.14159265358979..$ (الرقم $\pi$)

أسئلة التحدي:

هل العدد D له كتابة عشرية دورية؟ علل إجابتك.
ما هو الرقم في الموضع 50 للعدد D؟
صنف العددين D و E حسب المجموعات العددية.
أثبت أن $D + E$ عدد غير نسبي.

إرشادات الحل:

للسؤال 1: العدد D له نمط معقد، لكن هل هو دوري حقاً؟

للسؤال 2: إذا كان النمط "1828" يتكرر، استخدم طريقة تحديد الموضع.

للسؤال 4: استخدم البرهان بالخلف - افترض أن D + E نسبي وأوصل إلى تناقض.

V. خلاصة وملخص شامل تذكير

                    النقاط الأساسية المحورية
                    الشمول: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
التقسيم: $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$ و $$\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$$
الكتابة العشرية: نسبي ⟺ منتهية أو دورية
تحديد موقع الرقم: استخدم طول الجزء غير الدوري وطول الدور مع باقي القسمة

                

استراتيجيات الحل

للتصنيف: ابدأ بفحص طبيعة الكتابة العشرية
للتحويل: استخدم طريقة الضرب والطرح للكتابات الدورية
للترتيب: حول إلى نفس الشكل ثم قارن
لتحديد موقع الرقم: حدد الجزء غير الدوري والدور، ثم استخدم باقي القسمة
للبرهان: استخدم البرهان بالخلف للإثبات

للمراجعة والتحضير

تأكد من إتقان:

تصنيف الأعداد حسب المجموعات
التحويل بين الأشكال المختلفة
عمليات المجموعات والرموز
تحديد موقع الأرقام في الكتابة الدورية
البراهين الأساسية

استعد للموضوع التالي: الترتيب في ℝ والقيمة المطلقة

اختبار ذاتي نهائي

حول إلى كسر: $$0.2\overline{54}$$
رتب: $$\sqrt{7}, 2.6, \frac{8}{3}$$
أوجد الرقم في الموضع 100 للعدد: $$5.23\overline{789}$$
برهن أن $$\sqrt{5}$$ غير نسبي
هل $$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$ نسبي؟ علل