📚 الكتابة العشرية الدورية

للأعداد النسبية - دليل شامل للفهم والإتقان

🎯
المقدمة والأهداف

ما هو العدد النسبي؟

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على شكل كسر $$\frac{a}{b}$$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b \neq 0$.

نقطة مهمة!

كل عدد نسبي له كتابة عشرية إما منتهية (محدودة)، أو دورية (غير محدودة دورية).

🎯 الهدف الأول

التمييز بين الأعداد العشرية والأعداد ذات الكتابة الدورية

🎯 الهدف الثاني

إتقان تحديد الدورة وموقعها

🎯 الهدف الثالث

إيجاد أي رقم في موقع محدد

1️⃣
الحالة الأولى: الأعداد العشرية (الدورة = 0)

التعريف

العدد العشري هو عدد نسبي كتابته العشرية منتهية (تنتهي).

هذه الأعداد تقابل الكسور التي مقامها، بعد التبسيط، يحتوي فقط على العاملين 2 و/أو 5.

أمثلة على الأعداد العشرية

$$\frac{3}{4} = 0,75$$
قسمة 3 على 4:
3,000 ÷ 4
= 0,750
الباقي = 0 ← كتابة منتهية
$$\frac{7}{20} = 0,35$$
قسمة 7 على 20:
7,000 ÷ 20
= 0,350
الباقي = 0 ← كتابة منتهية

🔍 كيف نتعرف على العدد العشري؟

الكسر $$\frac{a}{b}$$ (في أبسط صورة) يعطي عددًا عشريًا إذا وفقط إذا:

$$b = 2^m \times 5^n$$ حيث $m$ و $n$ عددان طبيعيان

تحليل المقام

الكسر المقام التحليل النوع الكتابة العشرية
$$\frac{1}{2}$$ 2 $$2^1$$ عشري 0,5
$$\frac{3}{8}$$ 8 $$2^3$$ عشري 0,375
$$\frac{7}{25}$$ 25 $$5^2$$ عشري 0,28
$$\frac{9}{40}$$ 40 $$2^3 \times 5$$ عشري 0,225

2️⃣
الحالة الثانية: الكسور غير العشرية (الدورة ≠ 0)

التعريف

الكسر غير العشري هو كسر كتابته العشرية غير محدودة دورية.

هذا يعني أنه ابتداءً من رتبة معينة، تتكرر مجموعة من الأرقام إلى ما لا نهاية.

📍 الحالة الفرعية 2أ: دورة مباشرة بعد الفاصلة

المثال الأول: $$\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3}$$
قسمة 1 على 3:
1,000... ÷ 3
1 ÷ 3 = 0 باقي 1
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,3
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,33
الباقي 1 يتكرر ← الدورة = 3

المثال الثاني: $$\frac{2}{7}$$

$$\frac{2}{7} = 0,285714285714... = 0,\overline{285714}$$
قسمة 2 على 7:
2 ÷ 7 = 0 باقي 2
20 ÷ 7 = 2 باقي 6 ← 0,2
60 ÷ 7 = 8 باقي 4 ← 0,28
40 ÷ 7 = 5 باقي 5 ← 0,285
50 ÷ 7 = 7 باقي 1 ← 0,2857
10 ÷ 7 = 1 باقي 3 ← 0,28571
30 ÷ 7 = 4 باقي 2 ← 0,285714
الباقي 2 يظهر مجددًا ← الدورة = 285714

📍 الحالة الفرعية 2ب: دورة بعد بعض الأرقام

المثال الأول: $$\frac{5}{6}$$

$$\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 8 : الجزء غير الدوري (رقم واحد)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثاني: $$\frac{7}{12}$$

$$\frac{7}{12} = 0,58333... = 0,58\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 58 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثالث: $$\frac{41}{30}$$

$$\frac{41}{30} = 1,36666... = 1,36\overline{6}$$

التحليل:

  • 1 : الجزء الصحيح
  • 36 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 6 : الدورة (رقم واحد)

🔧
طرق التحديد

الطريقة الأولى: كيفية تحديد الدورة؟

1
إجراء القسمة الإقليدية

قسمة البسط على المقام مع تسجيل جميع البواقي المتتالية.

2
رصد تكرار البواقي

بمجرد ظهور باقٍ مجددًا، تبدأ الدورة.

3
تحديد الدورة

الدورة تتكون من الأرقام المحصل عليها بين ظهوري نفس الباقي.

مثال مفصل: $$\frac{1}{7}$$

القسمة: 1 ÷ 7
باقي 1 ← 10 ÷ 7 = 1، باقي 3 ← حاصل القسمة: 0,1
باقي 3 ← 30 ÷ 7 = 4، باقي 2 ← حاصل القسمة: 0,14
باقي 2 ← 20 ÷ 7 = 2، باقي 6 ← حاصل القسمة: 0,142
باقي 6 ← 60 ÷ 7 = 8، باقي 4 ← حاصل القسمة: 0,1428
باقي 4 ← 40 ÷ 7 = 5، باقي 5 ← حاصل القسمة: 0,14285
باقي 5 ← 50 ÷ 7 = 7، باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,142857
الباقي 1 يظهر مجددًا ← نهاية الدورة
$$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

الدورة = 142857 (الطول = 6)

الطريقة الثانية: من الكتابة العشرية إلى الكسر

🔢 الطريقة الجبرية (الضرب والطرح)

للدورة المباشرة: $$0,\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوة مناسبة للعدد 10

للدورة بعد جزء غير دوري: $$0,d_1d_2...\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,d_1d_2...\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوتين مختلفتين للعدد 10

مثال 1: $$0,\overline{7}$$

نضع: $x = 0,\overline{7} = 0,777...$
نضرب في 10: $10x = 7,777...$
نطرح: $10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$$x = \frac{7}{9}$$

التحقق: $$\frac{7}{9} = 0,777...$$

مثال 2: $$0,2\overline{5}$$

نضع: $x = 0,2\overline{5} = 0,2555...$
نضرب في 10: $10x = 2,555...$
نضرب في 100: $100x = 25,555...$
نطرح: $100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$$x = \frac{23}{90}$$

التحقق: $$\frac{23}{90} = 0,2555...$$

مثال معقد: $$1,23\overline{456}$$

الحل خطوة بخطوة:
الخطوة 1: فصل الجزء الصحيح
$$1,23\overline{456} = 1 + 0,23\overline{456}$$
الخطوة 2: نضع $x = 0,23\overline{456} = 0,23456456...$
الجزء غير الدوري: 23 (رقمان)
الدورة: 456 (3 أرقام)
الخطوة 3: الضرب
$100x = 23,456456...$ (ضرب في $10^2$)
$100000x = 23456,456456...$ (ضرب في $10^{2+3}$)
الخطوة 4: الطرح
$100000x - 100x = 23456 - 23 = 23433$
$99900x = 23433$
$$x = \frac{23433}{99900} = \frac{2603}{11100}$$ (بعد التبسيط)
النتيجة النهائية:
$$1,23\overline{456} = 1 + \frac{2603}{11100} = \frac{13703}{11100}$$

الطريقة الثالثة: إيجاد الرقم ذي الرتبة n

🎯 خوارزمية الحل

1
تحديد المكونات
  • طول الجزء غير الدوري: $p$
  • طول الدورة: $T$
  • الموقع المطلوب: $n$
2
الحالة الأولى: إذا كان $n \leq p$

الرقم في الجزء غير الدوري

← الرقم = الرقم رقم $n$ من الجزء غير الدوري

3
الحالة الثانية: إذا كان $n > p$

الرقم في الجزء الدوري

← حساب: $r = (n - p - 1) \bmod T$

← الرقم = الرقم رقم $(r+1)$ من الدورة

مثال 1: $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 100 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 8 (الطول $p = 1$)
• الدورة: 3 (الطول $T = 1$)
• الموقع المطلوب: $n = 100$
الحل:
$n = 100 > p = 1$
$r = (100 - 1 - 1) \bmod 1 = 98 \bmod 1 = 0$
الرقم = الرقم الأول من الدورة = 3

مثال 2: $$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 2025 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: لا يوجد ($p = 0$)
• الدورة: 142857 (الطول $T = 6$)
• الموقع المطلوب: $n = 2025$
الحل:
$n = 2025 > p = 0$
$r = (2025 - 0 - 1) \bmod 6 = 2024 \bmod 6 = 2$
الرقم = الرقم الثالث من الدورة = 2

مثال معقد: $$2,56\overline{789}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 3658 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 56 (الطول $p = 2$)
• الدورة: 789 (الطول $T = 3$)
• الموقع المطلوب: $n = 3658$
الحل:
$n = 3658 > p = 2$
$r = (3658 - 2 - 1) \bmod 3 = 3655 \bmod 3 = 1$
الرقم = الرقم الثاني من الدورة = 8

التحقق:

الموقع 3658 = رقمان غير دوريان + 3656 موقعًا في الدورة

3656 ÷ 3 = 1218 دورة كاملة + باقي 2

← الموقع الثاني في الدورة = الرقم 8

🏋️
تمارين تدريجية

🟢 المستوى السهل

تمرين 1

حدد الكتابة العشرية للكسر $$\frac{1}{3}$$

🔍 الحل

$$\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$$

القسمة: 1 ÷ 3 تعطي دائمًا باقي 1

تمرين 2

ما هو الرقم العاشر في $$\frac{2}{3} = 0,\overline{6}$$ ؟

🔍 الحل

الدورة = 6 (الطول 1)

الرقم العاشر = 6

🟡 المستوى المتوسط

تمرين 3

أوجد الكسر المقابل للكتابة $$0,\overline{27}$$

🔍 الحل

نضع $x = 0,\overline{27} = 0,272727...$

$100x = 27,272727...$

$100x - x = 27$

$99x = 27$

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

تمرين 4

ما هو الرقم رقم 50 في $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$ ؟

🔍 الحل

$p = 1$، $T = 1$، $n = 50$

$50 > 1$ إذن في الدورة

الرقم رقم 50 = 3

🔴 المستوى الصعب

تمرين 5

في كتابة $$\frac{78}{21} = 3,\overline{714285}$$، ما هو الرقم رقم 5843 بعد الفاصلة؟

🔍 الحل
التحليل:
• $p = 0$ (لا يوجد جزء غير دوري)
• $T = 6$ (الدورة: 714285)
• $n = 5843$
الحساب:
$r = (5843 - 0 - 1) \bmod 6 = 5842 \bmod 6$
$5842 = 6 \times 973 + 4$
إذن $r = 4$
الجواب:
الرقم الخامس من الدورة 714285 = 8
📝 ملخص النقاط الأساسية

✅ نقاط يجب تذكرها

  • • كل عدد نسبي له كتابة عشرية محدودة أو دورية
  • • الأعداد العشرية لها مقام من الشكل $2^m \times 5^n$
  • • الدورة تتحدد بتكرار البواقي في القسمة
  • • لإيجاد الرقم رقم $n$، استخدم القسمة على طول الدورة

💡 نصائح عملية

  • • بسط الكسر دائمًا قبل البدء
  • • سجل جميع البواقي لرصد الدورة
  • • استخدم طريقة الضرب والطرح للتحويل
  • • تحقق من حساباتك بأمثلة بسيطة
, '

📚 الكتابة العشرية الدورية

للأعداد النسبية - دليل شامل للفهم والإتقان

🎯
المقدمة والأهداف

ما هو العدد النسبي؟

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على شكل كسر $$\frac{a}{b}$$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b \neq 0$.

نقطة مهمة!

كل عدد نسبي له كتابة عشرية إما منتهية (محدودة)، أو دورية (غير محدودة دورية).

🎯 الهدف الأول

التمييز بين الأعداد العشرية والأعداد ذات الكتابة الدورية

🎯 الهدف الثاني

إتقان تحديد الدورة وموقعها

🎯 الهدف الثالث

إيجاد أي رقم في موقع محدد

1️⃣
الحالة الأولى: الأعداد العشرية (الدورة = 0)

التعريف

العدد العشري هو عدد نسبي كتابته العشرية منتهية (تنتهي).

هذه الأعداد تقابل الكسور التي مقامها، بعد التبسيط، يحتوي فقط على العاملين 2 و/أو 5.

أمثلة على الأعداد العشرية

$$\frac{3}{4} = 0,75$$
قسمة 3 على 4:
3,000 ÷ 4
= 0,750
الباقي = 0 ← كتابة منتهية
$$\frac{7}{20} = 0,35$$
قسمة 7 على 20:
7,000 ÷ 20
= 0,350
الباقي = 0 ← كتابة منتهية

🔍 كيف نتعرف على العدد العشري؟

الكسر $$\frac{a}{b}$$ (في أبسط صورة) يعطي عددًا عشريًا إذا وفقط إذا:

$$b = 2^m \times 5^n$$ حيث $m$ و $n$ عددان طبيعيان

تحليل المقام

الكسر المقام التحليل النوع الكتابة العشرية
$$\frac{1}{2}$$ 2 $$2^1$$ عشري 0,5
$$\frac{3}{8}$$ 8 $$2^3$$ عشري 0,375
$$\frac{7}{25}$$ 25 $$5^2$$ عشري 0,28
$$\frac{9}{40}$$ 40 $$2^3 \times 5$$ عشري 0,225

2️⃣
الحالة الثانية: الكسور غير العشرية (الدورة ≠ 0)

التعريف

الكسر غير العشري هو كسر كتابته العشرية غير محدودة دورية.

هذا يعني أنه ابتداءً من رتبة معينة، تتكرر مجموعة من الأرقام إلى ما لا نهاية.

📍 الحالة الفرعية 2أ: دورة مباشرة بعد الفاصلة

المثال الأول: $$\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3}$$
قسمة 1 على 3:
1,000... ÷ 3
1 ÷ 3 = 0 باقي 1
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,3
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,33
الباقي 1 يتكرر ← الدورة = 3

المثال الثاني: $$\frac{2}{7}$$

$$\frac{2}{7} = 0,285714285714... = 0,\overline{285714}$$
قسمة 2 على 7:
2 ÷ 7 = 0 باقي 2
20 ÷ 7 = 2 باقي 6 ← 0,2
60 ÷ 7 = 8 باقي 4 ← 0,28
40 ÷ 7 = 5 باقي 5 ← 0,285
50 ÷ 7 = 7 باقي 1 ← 0,2857
10 ÷ 7 = 1 باقي 3 ← 0,28571
30 ÷ 7 = 4 باقي 2 ← 0,285714
الباقي 2 يظهر مجددًا ← الدورة = 285714

📍 الحالة الفرعية 2ب: دورة بعد بعض الأرقام

المثال الأول: $$\frac{5}{6}$$

$$\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 8 : الجزء غير الدوري (رقم واحد)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثاني: $$\frac{7}{12}$$

$$\frac{7}{12} = 0,58333... = 0,58\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 58 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثالث: $$\frac{41}{30}$$

$$\frac{41}{30} = 1,36666... = 1,36\overline{6}$$

التحليل:

  • 1 : الجزء الصحيح
  • 36 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 6 : الدورة (رقم واحد)

🔧
طرق التحديد

الطريقة الأولى: كيفية تحديد الدورة؟

1
إجراء القسمة الإقليدية

قسمة البسط على المقام مع تسجيل جميع البواقي المتتالية.

2
رصد تكرار البواقي

بمجرد ظهور باقٍ مجددًا، تبدأ الدورة.

3
تحديد الدورة

الدورة تتكون من الأرقام المحصل عليها بين ظهوري نفس الباقي.

مثال مفصل: $$\frac{1}{7}$$

القسمة: 1 ÷ 7
باقي 1 ← 10 ÷ 7 = 1، باقي 3 ← حاصل القسمة: 0,1
باقي 3 ← 30 ÷ 7 = 4، باقي 2 ← حاصل القسمة: 0,14
باقي 2 ← 20 ÷ 7 = 2، باقي 6 ← حاصل القسمة: 0,142
باقي 6 ← 60 ÷ 7 = 8، باقي 4 ← حاصل القسمة: 0,1428
باقي 4 ← 40 ÷ 7 = 5، باقي 5 ← حاصل القسمة: 0,14285
باقي 5 ← 50 ÷ 7 = 7، باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,142857
الباقي 1 يظهر مجددًا ← نهاية الدورة
$$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

الدورة = 142857 (الطول = 6)

الطريقة الثانية: من الكتابة العشرية إلى الكسر

🔢 الطريقة الجبرية (الضرب والطرح)

للدورة المباشرة: $$0,\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوة مناسبة للعدد 10

للدورة بعد جزء غير دوري: $$0,d_1d_2...\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,d_1d_2...\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوتين مختلفتين للعدد 10

مثال 1: $$0,\overline{7}$$

نضع: $x = 0,\overline{7} = 0,777...$
نضرب في 10: $10x = 7,777...$
نطرح: $10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$$x = \frac{7}{9}$$

التحقق: $$\frac{7}{9} = 0,777...$$

مثال 2: $$0,2\overline{5}$$

نضع: $x = 0,2\overline{5} = 0,2555...$
نضرب في 10: $10x = 2,555...$
نضرب في 100: $100x = 25,555...$
نطرح: $100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$$x = \frac{23}{90}$$

التحقق: $$\frac{23}{90} = 0,2555...$$

مثال معقد: $$1,23\overline{456}$$

الحل خطوة بخطوة:
الخطوة 1: فصل الجزء الصحيح
$$1,23\overline{456} = 1 + 0,23\overline{456}$$
الخطوة 2: نضع $x = 0,23\overline{456} = 0,23456456...$
الجزء غير الدوري: 23 (رقمان)
الدورة: 456 (3 أرقام)
الخطوة 3: الضرب
$100x = 23,456456...$ (ضرب في $10^2$)
$100000x = 23456,456456...$ (ضرب في $10^{2+3}$)
الخطوة 4: الطرح
$100000x - 100x = 23456 - 23 = 23433$
$99900x = 23433$
$$x = \frac{23433}{99900} = \frac{2603}{11100}$$ (بعد التبسيط)
النتيجة النهائية:
$$1,23\overline{456} = 1 + \frac{2603}{11100} = \frac{13703}{11100}$$

الطريقة الثالثة: إيجاد الرقم ذي الرتبة n

🎯 خوارزمية الحل

1
تحديد المكونات
  • طول الجزء غير الدوري: $p$
  • طول الدورة: $T$
  • الموقع المطلوب: $n$
2
الحالة الأولى: إذا كان $n \leq p$

الرقم في الجزء غير الدوري

← الرقم = الرقم رقم $n$ من الجزء غير الدوري

3
الحالة الثانية: إذا كان $n > p$

الرقم في الجزء الدوري

← حساب: $r = (n - p - 1) \bmod T$

← الرقم = الرقم رقم $(r+1)$ من الدورة

مثال 1: $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 100 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 8 (الطول $p = 1$)
• الدورة: 3 (الطول $T = 1$)
• الموقع المطلوب: $n = 100$
الحل:
$n = 100 > p = 1$
$r = (100 - 1 - 1) \bmod 1 = 98 \bmod 1 = 0$
الرقم = الرقم الأول من الدورة = 3

مثال 2: $$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 2025 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: لا يوجد ($p = 0$)
• الدورة: 142857 (الطول $T = 6$)
• الموقع المطلوب: $n = 2025$
الحل:
$n = 2025 > p = 0$
$r = (2025 - 0 - 1) \bmod 6 = 2024 \bmod 6 = 2$
الرقم = الرقم الثالث من الدورة = 2

مثال معقد: $$2,56\overline{789}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 3658 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 56 (الطول $p = 2$)
• الدورة: 789 (الطول $T = 3$)
• الموقع المطلوب: $n = 3658$
الحل:
$n = 3658 > p = 2$
$r = (3658 - 2 - 1) \bmod 3 = 3655 \bmod 3 = 1$
الرقم = الرقم الثاني من الدورة = 8

التحقق:

الموقع 3658 = رقمان غير دوريان + 3656 موقعًا في الدورة

3656 ÷ 3 = 1218 دورة كاملة + باقي 2

← الموقع الثاني في الدورة = الرقم 8

🏋️
تمارين تدريجية

🟢 المستوى السهل

تمرين 1

حدد الكتابة العشرية للكسر $$\frac{1}{3}$$

🔍 الحل

$$\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$$

القسمة: 1 ÷ 3 تعطي دائمًا باقي 1

تمرين 2

ما هو الرقم العاشر في $$\frac{2}{3} = 0,\overline{6}$$ ؟

🔍 الحل

الدورة = 6 (الطول 1)

الرقم العاشر = 6

🟡 المستوى المتوسط

تمرين 3

أوجد الكسر المقابل للكتابة $$0,\overline{27}$$

🔍 الحل

نضع $x = 0,\overline{27} = 0,272727...$

$100x = 27,272727...$

$100x - x = 27$

$99x = 27$

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

تمرين 4

ما هو الرقم رقم 50 في $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$ ؟

🔍 الحل

$p = 1$، $T = 1$، $n = 50$

$50 > 1$ إذن في الدورة

الرقم رقم 50 = 3

🔴 المستوى الصعب

تمرين 5

في كتابة $$\frac{78}{21} = 3,\overline{714285}$$، ما هو الرقم رقم 5843 بعد الفاصلة؟

🔍 الحل
التحليل:
• $p = 0$ (لا يوجد جزء غير دوري)
• $T = 6$ (الدورة: 714285)
• $n = 5843$
الحساب:
$r = (5843 - 0 - 1) \bmod 6 = 5842 \bmod 6$
$5842 = 6 \times 973 + 4$
إذن $r = 4$
الجواب:
الرقم الخامس من الدورة 714285 = 8
📝 ملخص النقاط الأساسية

✅ نقاط يجب تذكرها

  • • كل عدد نسبي له كتابة عشرية محدودة أو دورية
  • • الأعداد العشرية لها مقام من الشكل $2^m \times 5^n$
  • • الدورة تتحدد بتكرار البواقي في القسمة
  • • لإيجاد الرقم رقم $n$، استخدم القسمة على طول الدورة

💡 نصائح عملية

  • • بسط الكسر دائمًا قبل البدء
  • • سجل جميع البواقي لرصد الدورة
  • • استخدم طريقة الضرب والطرح للتحويل
  • • تحقق من حساباتك بأمثلة بسيطة
], ['\\(', '\\)']], displayMath: [['$', '$'], ['\\[', '\\]']], processEscapes: true, processEnvironments: true, tags: 'ams' }, chtml: { scale: 1.1, displayAlign: 'center', direction: 'ltr', fontCache: 'local' }, startup: { ready: () => { MathJax.startup.defaultReady(); console.log('MathJax loaded successfully'); } } };

📚 الكتابة العشرية الدورية

للأعداد النسبية - دليل شامل للفهم والإتقان

🎯
المقدمة والأهداف

ما هو العدد النسبي؟

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على شكل كسر $$\frac{a}{b}$$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b \neq 0$.

نقطة مهمة!

كل عدد نسبي له كتابة عشرية إما منتهية (محدودة)، أو دورية (غير محدودة دورية).

🎯 الهدف الأول

التمييز بين الأعداد العشرية والأعداد ذات الكتابة الدورية

🎯 الهدف الثاني

إتقان تحديد الدورة وموقعها

🎯 الهدف الثالث

إيجاد أي رقم في موقع محدد

1️⃣
الحالة الأولى: الأعداد العشرية (الدورة = 0)

التعريف

العدد العشري هو عدد نسبي كتابته العشرية منتهية (تنتهي).

هذه الأعداد تقابل الكسور التي مقامها، بعد التبسيط، يحتوي فقط على العاملين 2 و/أو 5.

أمثلة على الأعداد العشرية

$$\frac{3}{4} = 0,75$$
قسمة 3 على 4:
3,000 ÷ 4
= 0,750
الباقي = 0 ← كتابة منتهية
$$\frac{7}{20} = 0,35$$
قسمة 7 على 20:
7,000 ÷ 20
= 0,350
الباقي = 0 ← كتابة منتهية

🔍 كيف نتعرف على العدد العشري؟

الكسر $$\frac{a}{b}$$ (في أبسط صورة) يعطي عددًا عشريًا إذا وفقط إذا:

$$b = 2^m \times 5^n$$ حيث $m$ و $n$ عددان طبيعيان

تحليل المقام

الكسر المقام التحليل النوع الكتابة العشرية
$$\frac{1}{2}$$ 2 $$2^1$$ عشري 0,5
$$\frac{3}{8}$$ 8 $$2^3$$ عشري 0,375
$$\frac{7}{25}$$ 25 $$5^2$$ عشري 0,28
$$\frac{9}{40}$$ 40 $$2^3 \times 5$$ عشري 0,225

2️⃣
الحالة الثانية: الكسور غير العشرية (الدورة ≠ 0)

التعريف

الكسر غير العشري هو كسر كتابته العشرية غير محدودة دورية.

هذا يعني أنه ابتداءً من رتبة معينة، تتكرر مجموعة من الأرقام إلى ما لا نهاية.

📍 الحالة الفرعية 2أ: دورة مباشرة بعد الفاصلة

المثال الأول: $$\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3}$$
قسمة 1 على 3:
1,000... ÷ 3
1 ÷ 3 = 0 باقي 1
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,3
10 ÷ 3 = 3 باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,33
الباقي 1 يتكرر ← الدورة = 3

المثال الثاني: $$\frac{2}{7}$$

$$\frac{2}{7} = 0,285714285714... = 0,\overline{285714}$$
قسمة 2 على 7:
2 ÷ 7 = 0 باقي 2
20 ÷ 7 = 2 باقي 6 ← 0,2
60 ÷ 7 = 8 باقي 4 ← 0,28
40 ÷ 7 = 5 باقي 5 ← 0,285
50 ÷ 7 = 7 باقي 1 ← 0,2857
10 ÷ 7 = 1 باقي 3 ← 0,28571
30 ÷ 7 = 4 باقي 2 ← 0,285714
الباقي 2 يظهر مجددًا ← الدورة = 285714

📍 الحالة الفرعية 2ب: دورة بعد بعض الأرقام

المثال الأول: $$\frac{5}{6}$$

$$\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 8 : الجزء غير الدوري (رقم واحد)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثاني: $$\frac{7}{12}$$

$$\frac{7}{12} = 0,58333... = 0,58\overline{3}$$

التحليل:

  • 0 : الجزء الصحيح
  • 58 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 3 : الدورة (رقم واحد)

المثال الثالث: $$\frac{41}{30}$$

$$\frac{41}{30} = 1,36666... = 1,36\overline{6}$$

التحليل:

  • 1 : الجزء الصحيح
  • 36 : الجزء غير الدوري (رقمان)
  • 6 : الدورة (رقم واحد)

🔧
طرق التحديد

الطريقة الأولى: كيفية تحديد الدورة؟

1
إجراء القسمة الإقليدية

قسمة البسط على المقام مع تسجيل جميع البواقي المتتالية.

2
رصد تكرار البواقي

بمجرد ظهور باقٍ مجددًا، تبدأ الدورة.

3
تحديد الدورة

الدورة تتكون من الأرقام المحصل عليها بين ظهوري نفس الباقي.

مثال مفصل: $$\frac{1}{7}$$

القسمة: 1 ÷ 7
باقي 1 ← 10 ÷ 7 = 1، باقي 3 ← حاصل القسمة: 0,1
باقي 3 ← 30 ÷ 7 = 4، باقي 2 ← حاصل القسمة: 0,14
باقي 2 ← 20 ÷ 7 = 2، باقي 6 ← حاصل القسمة: 0,142
باقي 6 ← 60 ÷ 7 = 8، باقي 4 ← حاصل القسمة: 0,1428
باقي 4 ← 40 ÷ 7 = 5، باقي 5 ← حاصل القسمة: 0,14285
باقي 5 ← 50 ÷ 7 = 7، باقي 1 ← حاصل القسمة: 0,142857
الباقي 1 يظهر مجددًا ← نهاية الدورة
$$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

الدورة = 142857 (الطول = 6)

الطريقة الثانية: من الكتابة العشرية إلى الكسر

🔢 الطريقة الجبرية (الضرب والطرح)

للدورة المباشرة: $$0,\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوة مناسبة للعدد 10

للدورة بعد جزء غير دوري: $$0,d_1d_2...\overline{abc...}$$

نضع $x = 0,d_1d_2...\overline{abc...}$ ثم نضرب في قوتين مختلفتين للعدد 10

مثال 1: $$0,\overline{7}$$

نضع: $x = 0,\overline{7} = 0,777...$
نضرب في 10: $10x = 7,777...$
نطرح: $10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$$x = \frac{7}{9}$$

التحقق: $$\frac{7}{9} = 0,777...$$

مثال 2: $$0,2\overline{5}$$

نضع: $x = 0,2\overline{5} = 0,2555...$
نضرب في 10: $10x = 2,555...$
نضرب في 100: $100x = 25,555...$
نطرح: $100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$$x = \frac{23}{90}$$

التحقق: $$\frac{23}{90} = 0,2555...$$

مثال معقد: $$1,23\overline{456}$$

الحل خطوة بخطوة:
الخطوة 1: فصل الجزء الصحيح
$$1,23\overline{456} = 1 + 0,23\overline{456}$$
الخطوة 2: نضع $x = 0,23\overline{456} = 0,23456456...$
الجزء غير الدوري: 23 (رقمان)
الدورة: 456 (3 أرقام)
الخطوة 3: الضرب
$100x = 23,456456...$ (ضرب في $10^2$)
$100000x = 23456,456456...$ (ضرب في $10^{2+3}$)
الخطوة 4: الطرح
$100000x - 100x = 23456 - 23 = 23433$
$99900x = 23433$
$$x = \frac{23433}{99900} = \frac{2603}{11100}$$ (بعد التبسيط)
النتيجة النهائية:
$$1,23\overline{456} = 1 + \frac{2603}{11100} = \frac{13703}{11100}$$

الطريقة الثالثة: إيجاد الرقم ذي الرتبة n

🎯 خوارزمية الحل

1
تحديد المكونات
  • طول الجزء غير الدوري: $p$
  • طول الدورة: $T$
  • الموقع المطلوب: $n$
2
الحالة الأولى: إذا كان $n \leq p$

الرقم في الجزء غير الدوري

← الرقم = الرقم رقم $n$ من الجزء غير الدوري

3
الحالة الثانية: إذا كان $n > p$

الرقم في الجزء الدوري

← حساب: $r = (n - p - 1) \bmod T$

← الرقم = الرقم رقم $(r+1)$ من الدورة

مثال 1: $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 100 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 8 (الطول $p = 1$)
• الدورة: 3 (الطول $T = 1$)
• الموقع المطلوب: $n = 100$
الحل:
$n = 100 > p = 1$
$r = (100 - 1 - 1) \bmod 1 = 98 \bmod 1 = 0$
الرقم = الرقم الأول من الدورة = 3

مثال 2: $$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 2025 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: لا يوجد ($p = 0$)
• الدورة: 142857 (الطول $T = 6$)
• الموقع المطلوب: $n = 2025$
الحل:
$n = 2025 > p = 0$
$r = (2025 - 0 - 1) \bmod 6 = 2024 \bmod 6 = 2$
الرقم = الرقم الثالث من الدورة = 2

مثال معقد: $$2,56\overline{789}$$

السؤال: ما هو الرقم رقم 3658 بعد الفاصلة؟

التحليل:
• الجزء غير الدوري: 56 (الطول $p = 2$)
• الدورة: 789 (الطول $T = 3$)
• الموقع المطلوب: $n = 3658$
الحل:
$n = 3658 > p = 2$
$r = (3658 - 2 - 1) \bmod 3 = 3655 \bmod 3 = 1$
الرقم = الرقم الثاني من الدورة = 8

التحقق:

الموقع 3658 = رقمان غير دوريان + 3656 موقعًا في الدورة

3656 ÷ 3 = 1218 دورة كاملة + باقي 2

← الموقع الثاني في الدورة = الرقم 8

🏋️
تمارين تدريجية

🟢 المستوى السهل

تمرين 1

حدد الكتابة العشرية للكسر $$\frac{1}{3}$$

🔍 الحل

$$\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$$

القسمة: 1 ÷ 3 تعطي دائمًا باقي 1

تمرين 2

ما هو الرقم العاشر في $$\frac{2}{3} = 0,\overline{6}$$ ؟

🔍 الحل

الدورة = 6 (الطول 1)

الرقم العاشر = 6

🟡 المستوى المتوسط

تمرين 3

أوجد الكسر المقابل للكتابة $$0,\overline{27}$$

🔍 الحل

نضع $x = 0,\overline{27} = 0,272727...$

$100x = 27,272727...$

$100x - x = 27$

$99x = 27$

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

تمرين 4

ما هو الرقم رقم 50 في $$\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}$$ ؟

🔍 الحل

$p = 1$، $T = 1$، $n = 50$

$50 > 1$ إذن في الدورة

الرقم رقم 50 = 3

🔴 المستوى الصعب

تمرين 5

في كتابة $$\frac{78}{21} = 3,\overline{714285}$$، ما هو الرقم رقم 5843 بعد الفاصلة؟

🔍 الحل
التحليل:
• $p = 0$ (لا يوجد جزء غير دوري)
• $T = 6$ (الدورة: 714285)
• $n = 5843$
الحساب:
$r = (5843 - 0 - 1) \bmod 6 = 5842 \bmod 6$
$5842 = 6 \times 973 + 4$
إذن $r = 4$
الجواب:
الرقم الخامس من الدورة 714285 = 8
📝 ملخص النقاط الأساسية

✅ نقاط يجب تذكرها

  • • كل عدد نسبي له كتابة عشرية محدودة أو دورية
  • • الأعداد العشرية لها مقام من الشكل $2^m \times 5^n$
  • • الدورة تتحدد بتكرار البواقي في القسمة
  • • لإيجاد الرقم رقم $n$، استخدم القسمة على طول الدورة

💡 نصائح عملية

  • • بسط الكسر دائمًا قبل البدء
  • • سجل جميع البواقي لرصد الدورة
  • • استخدم طريقة الضرب والطرح للتحويل
  • • تحقق من حساباتك بأمثلة بسيطة