البرهان بالخلف (طريقة الإثبات بالتناقض)

ما هو البرهان بالخلف؟

التعريف: البرهان بالخلف هو طريقة رياضية للإثبات حيث نفترض أن القضية المراد إثباتها خاطئة، ثم نبرهن أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض منطقي. وبما أن التناقض مستحيل، فإن افتراضنا خاطئ، وبالتالي القضية الأصلية صحيحة.

خطوات البرهان بالخلف

نفترض أن القضية المراد إثباتها خاطئة (نفي القضية)
نستخدم المنطق الرياضي والقواعد المعروفة
نصل إلى تناقض منطقي
نستنتج أن افتراضنا خاطئ، وبالتالي القضية الأصلية صحيحة

مثال: إثبات أن √2 عدد غير نسبي

المطلوب إثبات: √2 عدد غير نسبي

الافتراض: نفترض أن √2 عدد نسبي، أي يمكن كتابته على الشكل √2 = a/b حيث a و b عددان صحيحان أوليان فيما بينهما (أي قاسمهما المشترك الأكبر = 1)
بتربيع الطرفين: 2 = a²/b²
إذن: 2b² = a²
هذا يعني أن a² عدد زوجي (لأنه مضاعف للعدد 2)
وبما أن مربع العدد الفردي فردي ومربع العدد الزوجي زوجي، فإن a عدد زوجي
بما أن a زوجي، يمكن كتابته على الشكل a = 2k حيث k عدد صحيح
بالتعويض: 2b² = (2k)² = 4k²
إذن: b² = 2k²
هذا يعني أن b² عدد زوجي، وبالتالي b عدد زوجي أيضاً
التناقض: وصلنا إلى أن كلاً من a و b زوجيان، مما يعني أن قاسمهما المشترك الأكبر ≥ 2، وهذا يناقض افتراضنا أنهما أوليان فيما بينهما
الاستنتاج: افتراضنا خاطئ، إذن √2 عدد غير نسبي

تمارين للتدريب

التمرين الأول: أثبت أن لا يوجد أكبر عدد أولي

المطلوب: أثبت أنه لا يمكن أن يوجد أكبر عدد أولي (أي أن الأعداد الأولية لا نهائية)

الافتراض: نفترض أن هناك أكبر عدد أولي، ولنسمه p
إذن جميع الأعداد الأولية هي: 2, 3, 5, 7, ..., p
لنكون العدد N = (2 × 3 × 5 × 7 × ... × p) + 1
أي حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية زائد 1
العدد N أكبر من p، وعند قسمة N على أي عدد أولي من القائمة نحصل على باقي = 1
إذن N لا يقبل القسمة على أي عدد أولي معروف
هذا يعني أن N إما أولي بحد ذاته، أو له عوامل أولية غير موجودة في قائمتنا
التناقض: في كلا الحالتين، وجدنا عدداً أولياً أكبر من p، مما يناقض افتراضنا
الاستنتاج: لا يوجد أكبر عدد أولي، أي الأعداد الأولية لا نهائية

التمرين الثاني: أثبت أن √3 عدد غير نسبي

المطلوب: استخدم نفس طريقة إثبات أن √2 غير نسبي

الافتراض: نفترض أن √3 عدد نسبي، أي √3 = a/b حيث a و b أوليان فيما بينهما
بتربيع الطرفين: 3 = a²/b²
إذن: 3b² = a²
هذا يعني أن a² مضاعف للعدد 3، إذن a مضاعف للعدد 3
لنكتب a = 3k
بالتعويض: 3b² = (3k)² = 9k²
إذن: b² = 3k²
هذا يعني أن b² مضاعف للعدد 3، إذن b مضاعف للعدد 3
التناقض: كلاً من a و b مضاعفان للعدد 3، فقاسمهما المشترك ≥ 3، وهذا يناقض كونهما أوليين فيما بينهما
الاستنتاج: √3 عدد غير نسبي

التمرين الثالث: أثبت أنه لا يوجد أصغر عدد حقيقي موجب

المطلوب: أثبت أنه مهما أخذنا عدداً حقيقياً موجباً، يمكن إيجاد عدد حقيقي موجب أصغر منه

الافتراض: نفترض أن هناك أصغر عدد حقيقي موجب، ولنسمه a
بما أن a > 0، فإن a/2 > 0 أيضاً
لكن a/2 < a (لأن القسمة على 2 تجعل العدد أصغر)
إذن a/2 عدد حقيقي موجب وهو أصغر من a
التناقض: وجدنا عدداً حقيقياً موجباً أصغر من a، مما يناقض افتراضنا أن a هو الأصغر
الاستنتاج: لا يوجد أصغر عدد حقيقي موجب

التمرين الرابع: أثبت أن مجموع عدد نسبي وعدد غير نسبي هو عدد غير نسبي

المطلوب: إذا كان r عدداً نسبياً و s عدداً غير نسبي، أثبت أن r + s عدد غير نسبي

الافتراض: نفترض أن r + s عدد نسبي
بما أن r نسبي و r + s نسبي (حسب الافتراض)، فإن الفرق بينهما نسبي أيضاً
(لأن الفرق بين عددين نسبيين هو عدد نسبي)
s = (r + s) - r
إذن s هو فرق بين عددين نسبيين
هذا يعني أن s عدد نسبي
التناقض: وصلنا إلى أن s نسبي، وهذا يناقض المعطى أن s غير نسبي
الاستنتاج: افتراضنا خاطئ، إذن r + s عدد غير نسبي

التمرين الخامس: أثبت أنه لا يمكن أن يكون √6 عدداً نسبياً

المطلوب: استخدم طريقة البرهان بالخلف لإثبات أن √6 عدد غير نسبي

الافتراض: نفترض أن √6 عدد نسبي، أي √6 = a/b حيث a و b أوليان فيما بينهما
بتربيع الطرفين: 6 = a²/b²
إذن: 6b² = a²
بما أن 6 = 2 × 3، فإن a² = 2 × 3 × b²
إذن a² مضاعف لكل من 2 و 3
هذا يعني أن a مضاعف لكل من 2 و 3، أي a مضاعف للعدد 6
لنكتب a = 6k
بالتعويض: 6b² = (6k)² = 36k²
إذن: b² = 6k²
هذا يعني أن b² مضاعف للعدد 6، إذن b مضاعف للعدد 6
التناقض: كلاً من a و b مضاعفان للعدد 6، فقاسمهما المشترك ≥ 6، وهذا يناقض كونهما أوليين فيما بينهما
الاستنتاج: √6 عدد غير نسبي

خلاصة

البرهان بالخلف طريقة قوية جداً في الرياضيات. المفتاح هو إيجاد التناقض المنطقي الذي يُبطل الافتراض. تذكر دائماً: