تمارين في التعداد والاحتمالات

تطبيقات على تكوين الأعداد وسحب الأقراص
تكوين الأعداد
تمرين 1
  • 1) ما هو كم مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ذات 5 أرقام؟
  • 2) ما هو كم مجموعة الأعداد ذات 5 أرقام مختلفة؟
  • 3) ما هو كم مجموعة الأعداد ذات 3 أرقام مختلفة التي يمكننا كتابتها بواسطة الأرقام $\{1, 2, 3, 4\}$؟
  • 4) ما هو كم مجموعة الأعداد الزوجية ذات 3 أرقام مختلفة التي يمكننا كتابتها بواسطة الأرقام $\{0, 1, 2, 3, 4\}$؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم مبدأ شجرة الاختيارات. انتبه دائمًا إلى الشروط: الرقم الأول (على اليسار) لا يمكن أن يكون 0. عندما تكون الأرقام "مختلفة"، فإن عدد الخيارات يقل في كل خطوة.

📝 الطريقة

1. 5 أرقام: المنزلة الأولى (9 خيارات)، وبقية المنازل (10 خيارات لكل منها).

2. 5 أرقام مختلفة: المنزلة الأولى (9 خيارات)، الثانية (9 خيارات)، الثالثة (8)، وهكذا.

3. 3 أرقام مختلفة من $\{1,2,3,4\}$: المنزلة الأولى (4 خيارات)، الثانية (3)، الثالثة (2).

4. زوجي و3 أرقام مختلفة من $\{0,1,2,3,4\}$: قسم الحل إلى حالتين: الحالة التي يكون فيها رقم الآحاد 0، والحالة التي يكون فيها رقم الآحاد زوجيًا وليس 0.

✅ الحل الكامل

1) عدد من 5 أرقام: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$ عدد.

2) 5 أرقام مختلفة: $9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216$ عدد.

3) 3 أرقام مختلفة من $\{1,2,3,4\}$: $4 \times 3 \times 2 = 24$ عدد.

4) زوجي و3 أرقام مختلفة من $\{0,1,2,3,4\}$:

  • الحالة 1 (الآحاد = 0): الآحاد (خيار واحد)، المئات (4 خيارات)، العشرات (3 خيارات). العدد = $4 \times 3 \times 1 = 12$.
  • الحالة 2 (الآحاد $\in \{2,4\}$): الآحاد (خياران)، المئات (3 خيارات، ليس 0 وليس رقم الآحاد)، العشرات (3 خيارات). العدد = $3 \times 3 \times 2 = 18$.

المجموع الكلي: $12 + 18 = 30$ عدد.

سحب الأقراص
تمرين 2

كيس فيه 7 أقراص: 3 حمراء ($R_1, R_2, R_3$) و 4 صفراء ($J_1, J_2, J_3, J_4$). نسحب قرصين على التوالي وبدون إرجاع.

  • 1) أحسب عدد إمكانيات السحب.
  • 2) أحسب عدد إمكانيات سحب قرصين أحمرين.
  • 3) أحسب عدد إمكانيات سحب قرصين أصفرين.
  • 4) استنتج عدد إمكانيات سحب قرصين مختلفي اللون.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

بما أن السحب "على التوالي وبدون إرجاع"، فإن الترتيب مهم. هذا يعني أننا نستخدم الترتيبات (Arrangements)، والتي تُحسب بمبدأ الجداء حيث يقل عدد الخيارات في كل سحبة.

📝 الطريقة

1. إجمالي الإمكانيات: السحبة الأولى (7 خيارات)، السحبة الثانية (6 خيارات).

2. سحب قرصين أحمرين: السحبة الأولى (3 خيارات حمراء)، السحبة الثانية (2 حمراء متبقية).

3. سحب قرصين أصفرين: السحبة الأولى (4 خيارات صفراء)، السحبة الثانية (3 صفراء متبقية).

4. سحب قرصين مختلفي اللون: هي كل الإمكانيات مطروحًا منها إمكانيات سحب قرصين من نفس اللون (أحمرين أو أصفرين).

✅ الحل الكامل

1) عدد إمكانيات السحب (الإجمالي):

$$ 7 \times 6 = 42 \text{ إمكانية} $$

2) عدد إمكانيات سحب قرصين أحمرين:

$$ 3 \times 2 = 6 \text{ إمكانيات} $$

3) عدد إمكانيات سحب قرصين أصفرين:

$$ 4 \times 3 = 12 \text{ إمكانيات} $$

4) عدد إمكانيات سحب قرصين مختلفي اللون:

إما أن نطرح الحالات المتشابهة من الإجمالي، أو نحسبها مباشرة (أحمر ثم أصفر، أو أصفر ثم أحمر):

$$ (3 \times 4) + (4 \times 3) = 12 + 12 = 24 \text{ إمكانية} $$

أو بالطريقة الأخرى:

$$ 42 - (6 + 12) = 42 - 18 = 24 \text{ إمكانية} $$