تمارين في المجموعات والتعداد

تطبيقات على نظرية المجموعات ومبادئ التعداد
نظرية المجموعات
تمرين 1

لتكن A مجموعة مضاعفات العدد 2 الأصغر من 30.

لتكن B مجموعة مضاعفات العدد 3 الأصغر من 30.

1) أكتب عناصر المجموعتين A و B.

2) أتمم: كم(A) = ... ، كم(B) = ...

3) استنتج: كم($A \cup B$) = ... ، كم($A \cap B$) = ...

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإيجاد الاتحاد ($A \cup B$)، اكتب كل عناصر المجموعة A، ثم أضف إليها عناصر المجموعة B التي لم يتم كتابتها بعد (لتجنب التكرار). التقاطع ($A \cap B$) هو مجموعة العناصر المشتركة فقط.

📝 الطريقة

1. كتابة A و B: قم بسرد جميع مضاعفات 2، ثم جميع مضاعفات 3، التي تكون أصغر من 30.

2. كم(A) و كم(B): قم بعدّ العناصر في كل قائمة.

3. إيجاد $A \cap B$: ابحث عن الأرقام التي تظهر في كلتا القائمتين A و B. هذه هي المضاعفات المشتركة (مضاعفات 6).

4. إيجاد $A \cup B$: ابدأ بكتابة كل عناصر A. بعد ذلك، مر على عناصر B وأضف فقط تلك التي ليست موجودة بالفعل في قائمتك. أخيرًا، قم بعدّ إجمالي العناصر.

✅ الحل الكامل

1) عناصر A و B:

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28\}$

$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27\}$

2) عدد عناصر A و B:

كم(A) = 14

كم(B) = 9

3) الاتحاد والتقاطع:

$A \cap B$ (العناصر المشتركة): $\{6, 12, 18, 24\}$.

$$ \text{كم}(A \cap B) = 4 $$

$A \cup B$ (كل العناصر بدون تكرار):

$\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28\}$

بِعدّ هذه العناصر، نجد:

$$ \text{كم}(A \cup B) = 19 $$
تكوين أعداد بشروط
تمرين 2

باستعمال الأرقام $\{0, 1, 2, 5, 6\}$:

1) لتكن A مجموعة الأعداد الزوجية المكونة من رقمين مختلفين حيث رقم عشراتها 2. أوجد كم(A).

2) لتكن B مجموعة الأعداد المكونة من 3 أرقام. أوجد كم(B).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم شجرة الاختيارات. ابدأ بالمنزلة التي عليها أكبر عدد من الشروط. للأعداد الزوجية، الشرط الأهم هو على رقم الآحاد. للأعداد المكونة من 3 أرقام، الشرط الأهم هو على رقم المئات (لا يمكن أن يكون 0).

📝 الطريقة

1) المجموعة A:

  • رقم العشرات: ثابت وهو 2 (خيار واحد).
  • رقم الآحاد: يجب أن يكون زوجيًا ومختلفًا عن 2. الأرقام الزوجية المتاحة هي $\{0, 2, 6\}$. بما أنه يجب أن يكون مختلفًا عن 2، فالخيارات هي $\{0, 6\}$ (خياران).

2) المجموعة B:

  • رقم المئات: لا يمكن أن يكون 0. الخيارات المتاحة هي $\{1, 2, 5, 6\}$ (4 خيارات).
  • رقم العشرات: يمكن أن يكون أي رقم من المجموعة (5 خيارات).
  • رقم الآحاد: يمكن أن يكون أي رقم من المجموعة (5 خيارات).

✅ الحل الكامل

1) حساب كم(A):

العدد على الشكل "2X". X يجب أن يكون زوجيًا من $\{0, 6\}$.

الأعداد الممكنة هي 20 و 26. إذن:

$$ \text{كم}(A) = 2 $$

2) حساب كم(B):

عدد الخيارات للمئات: 4 (لا يمكن أن يكون 0).

عدد الخيارات للعشرات: 5.

عدد الخيارات للآحاد: 5.

العدد الإجمالي للطرق هو:

$$ 4 \times 5 \times 5 = 100 $$

إذن، كم(B) = 100.