تمارين إضافية في التعداد

توزيع المسافرين

تمرين 1

سيارة أجرة بها 8 مقاعد باعتبار السائق.

بكم من طريقة يمكن تعبئة السيارة بالمسافرين؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المقعد الأول (السائق) لديه خيار واحد فقط: السائق. بالنسبة للمقاعد المتبقية، كل مقعد يمثل خيارًا مستقلاً. فكر في كل مسافر سيصعد إلى السيارة: كم عدد المقاعد المتاحة له؟

📝 الطريقة

هذا التمرين يمكن تفسيره بطرق مختلفة، ولكن التفسير الأكثر منطقية هو حساب عدد الطرق الممكنة لملء المقاعد الـ 7 المتبقية (بعد شغل السائق لمقعده).

المسافر الأول لديه 7 مقاعد للاختيار.
المسافر الثاني لديه 6 مقاعد متبقية.
... وهكذا حتى المسافر السابع.

العملية هي ترتيب 7 مسافرين (مفترضين) في 7 مقاعد. هذا هو حساب عدد التباديل (Permutations).

✅ الحل الكامل

باعتبار أن السائق يشغل مقعدًا واحدًا، يتبقى 7 مقاعد للمسافرين.

عدد طرق ترتيب 7 مسافرين في 7 مقاعد هو عدد التباديل لمجموعة من 7 عناصر، ويُحسب كالتالي:

$$ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \text{ طريقة} $$

إذن، يمكن تعبئة السيارة بـ 5040 طريقة مختلفة.

التسجيل في الأنشطة الرياضية

تمرين 2

نادي رياضة به 3 أنشطة: جمباز، وتنس، وكرة قدم.

بكم من طريقة يمكن تسجيل 3 مشاركين في النادي؟ (ملاحظة: كل مشارك يختار رياضة واحدة).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في كل مشارك على حدة. المشارك الأول أمامه عدد معين من الخيارات (الأنشطة). هل اختيار المشارك الأول يؤثر على عدد الخيارات المتاحة للمشارك الثاني؟

📝 الطريقة

نستخدم مخطط شجرة الاختيارات لكل مشارك:

المشارك الأول: لديه 3 خيارات (جمباز، تنس، أو كرة قدم).
المشارك الثاني: لديه أيضاً 3 خيارات، لأن اختياره مستقل عن الأول.
المشارك الثالث: لديه أيضاً 3 خيارات لنفس السبب.

نطبق مبدأ الجداء بضرب عدد الخيارات المتاحة لكل مشارك.

✅ الحل الكامل

كل مشارك من المشاركين الثلاثة لديه 3 اختيارات ممكنة للنشاط الذي سيسجل فيه.

باستخدام مبدأ الجداء، فإن العدد الإجمالي لطرق التسجيل هو:

$$ 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \text{ طريقة} $$

إذن، يمكن تسجيل المشاركين الثلاثة بـ 27 طريقة مختلفة.