تمارين متقدمة في التعداد

تطبيقات على مبدأ الجداء، الترتيبات، والتوفيقات
اختيار الحافلات والسائقين
تمرين 1

يوجد 3 حافلات، 3 سائقين، و 3 تلاميذ.

أ) بكم من طريقة يمكن ركوب التلاميذ في الحافلات؟

ب) بكم من طريقة يمكن اختيار الحافلات للسائقين؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في كل تلميذ (أو سائق) كقرار مستقل. كم عدد الخيارات المتاحة لكل شخص؟ استخدم مبدأ الجداء لدمج هذه الخيارات.

📝 الطريقة

أ) ركوب التلاميذ:

  • التلميذ الأول لديه 3 خيارات (3 حافلات).
  • التلميذ الثاني لديه أيضاً 3 خيارات (يمكنه ركوب أي حافلة).
  • التلميذ الثالث لديه أيضاً 3 خيارات.

ب) اختيار الحافلات للسائقين:

  • السائق الأول لديه 3 خيارات (3 حافلات).
  • بما أن السائق الأول أخذ حافلة، يتبقى للسائق الثاني خياران فقط.
  • يتبقى للسائق الثالث حافلة واحدة فقط.

✅ الحل الكامل

أ) ركوب التلاميذ:

$$ 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \text{ طريقة} $$

ب) اختيار الحافلات للسائقين (ترتيبات):

$$ 3 \times 2 \times 1 = 3! = 6 \text{ طرق} $$
اختيار رئيس ونائب
تمرين 2

قسم به 25 تلميذاً. بكم من طريقة يمكن اختيار رئيس قسم ونائبه؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هل الترتيب مهم هنا؟ بمعنى، هل اختيار (أحمد كرئيس، فاطمة كنائب) هو نفسه اختيار (فاطمة كرئيس، أحمد كنائب)؟ بما أن الترتيب مهم، فهذه "ترتيبات" (Arrangements).

📝 الطريقة

نستخدم مخطط شجرة الاختيارات:

  • لاختيار الرئيس: لدينا 25 خياراً.
  • لاختيار النائب: بعد اختيار الرئيس، يتبقى 24 تلميذاً، إذن لدينا 24 خياراً للنائب.

باستخدام مبدأ الجداء، نضرب عدد الخيارات في كل خطوة.

✅ الحل الكامل

عدد طرق اختيار الرئيس هو 25.

لكل رئيس تم اختياره، عدد طرق اختيار النائب هو 24.

إذن، العدد الإجمالي للطرق هو:

$$ 25 \times 24 = 600 \text{ طريقة} $$
تكوين لجنة مختلطة
تمرين 3

نريد تكوين لجنة من شخصين من بين 3 رجال وامرأتين.

أ) بكم من طريقة يمكن تكوين هذه اللجنة؟

ب) جد عدد إمكانيات الحصول على لجنة تتكون من جنسين مختلفين.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في لجنة، هل ترتيب الأعضاء مهم؟ (لجنة بها أحمد وفاطمة هي نفسها لجنة بها فاطمة وأحمد). بما أن الترتيب غير مهم، فهذه "توفيقات" (Combinations).

📝 الطريقة

أ) تكوين اللجنة بشكل عام:

  • لدينا 5 أشخاص في المجموع ($3+2$).
  • نحتاج لاختيار 2 منهم.
  • بما أن الترتيب غير مهم، نستخدم صيغة التوفيقات: $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

ب) لجنة من جنسين مختلفين:

  • هذا يعني أننا يجب أن نختار رجلاً واحداً و امرأة واحدة.
  • عدد طرق اختيار رجل واحد من بين 3.
  • عدد طرق اختيار امرأة واحدة من بين 2.
  • استخدم مبدأ الجداء لدمج الخيارين.

✅ الحل الكامل

أ) عدد الطرق الممكنة لتكوين اللجنة:

لدينا 5 أشخاص ونريد اختيار 2 منهم دون اعتبار الترتيب.

$$ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ طرق} $$

ب) عدد اللجان المختلطة (رجل وامرأة):

عدد طرق اختيار رجل واحد من 3 هو $C_3^1=3$.

عدد طرق اختيار امرأة واحدة من 2 هو $C_2^1=2$.

العدد الإجمالي للطرق هو:

$$ C_3^1 \times C_2^1 = 3 \times 2 = 6 \text{ طرق} $$