تمارين الرياضيات - القسمة وأسس - تمارين رياضية تفاعلية

قوى العدد 3 والقسمة على 8

تمرين 1

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:

$A = 3^{2016} - 3^{2014}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الخطوة الأولى: ابحث عن العامل المشترك

كلا الحدين يحتوي على قوى للعدد 3
اخرج العامل المشترك الأكبر
تذكر: $a^n - a^m = a^m(a^{n-m} - 1)$ عندما $n > m$

سؤال: ما هو $3^2 - 1$؟

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نستخرج العامل المشترك الأكبر:

A = 3^{2016} - 3^{2014} = 3^{2014}(3^2 - 1)

الخطوة 2: نحسب القيمة داخل الأقواس:

$$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$$

الخطوة 3: الشكل النهائي:

A = 3^{2014} \times 8

✅ الحل الكامل

البرهان:

A = 3^{2016} - 3^{2014} = 3^{2014}(3^2 - 1) = 3^{2014} \times 8

بما أن $A = 8 \times 3^{2014}$، فإن العدد $A$ يقبل القسمة على 8

قوى العدد 5 والقسمة على 8

تمرين 2

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:

$B = 5^{48} + 3 \times 5^{47}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابحث عن العامل المشترك:

الحد الأول: $5^{48}$ والحد الثاني: $3 \times 5^{47}$
ما هو أكبر عامل مشترك؟
بعد الإخراج، ما المجموع داخل الأقواس؟

هدف: الوصول إلى شكل $\text{عامل} \times 8$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نستخرج العامل المشترك:

B = 5^{48} + 3 \times 5^{47} = 5^{47}(5 + 3)

الخطوة 2: نحسب:

$$5 + 3 = 8$$

✅ الحل الكامل

البرهان:

B = 5^{48} + 3 \times 5^{47} = 5^{47}(5 + 3) = 5^{47} \times 8

بما أن $B = 8 \times 5^{47}$، فإن العدد $B$ يقبل القسمة على 8

قوة للعدد 2

تمرين 3

بيّن أن العدد التالي قوة للعدد 2:

$C = 10 \times 2^{49} - 2^{52}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكرة رئيسية:

أعد كتابة $2^{52}$ على شكل $2^{49} \times 2^3$
الحد الأول: $10 \times 2^{49}$
الحد الثاني: $2^3 \times 2^{49} = 8 \times 2^{49}$
اخرج العامل المشترك $2^{49}$

سؤال: ما هو $10 - 8$؟

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نعيد كتابة $2^{52}$:

2^{52} = 2^{49} \times 2^3 = 2^{49} \times 8

الخطوة 2: نعوض في التعبير:

C = 10 \times 2^{49} - 8 \times 2^{49}

الخطوة 3: نخرج العامل المشترك:

C = 2^{49}(10 - 8) = 2^{49} \times 2 = 2^{50}

✅ الحل الكامل

البرهان:

C = 10 \times 2^{49} - 2^{52} = 2^{49}(10 - 2^3) = 2^{49}(10 - 8) = 2^{50}

إذن $C = 2^{50}$ وهي قوة صحيحة للعدد 2

قوى العدد 10 والقسمة على 14

تمرين 4

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 14:

$D = 10^{53} + 4 \times 10^{52}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خطة الحل:

لاحظ أن $10^{53} = 10^{52} \times 10$
اخرج العامل المشترك $10^{52}$
احسب المجموع داخل الأقواس

سؤال: كم يساوي $10 + 4$؟

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

D = 10^{53} + 4 \times 10^{52} = 10^{52}(10 + 4)

الخطوة 2: نحسب:

$$10 + 4 = 14$$

✅ الحل الكامل

البرهان:

D = 10^{53} + 4 \times 10^{52} = 10^{52}(10 + 4) = 10^{52} \times 14

بما أن $D = 14 \times 10^{52}$، فإن العدد $D$ يقبل القسمة على 14

مجموع قوى العدد 2 والقسمة على 7

تمرين 5

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 7:

$E = 2^{29} + 2^{30} + 2^{31}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استراتيجية الحل:

كل الحدود تحتوي على قوى للعدد 2
اخرج العامل المشترك الأصغر وهو $2^{29}$
اكتب الحدود الأخرى كمضاعفات لهذا العامل

تذكر: $1 + 2 + 4 = ?$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

E = 2^{29} + 2^{30} + 2^{31} = 2^{29}(1 + 2 + 2^2)

الخطوة 2: نحسب:

$$1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$$

✅ الحل الكامل

البرهان:

E = 2^{29} + 2^{30} + 2^{31} = 2^{29}(1 + 2 + 4) = 2^{29} \times 7

بما أن $E = 7 \times 2^{29}$، فإن العدد $E$ يقبل القسمة على 7

قوى العدد 5 والقسمة على 7

تمرين 6

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 7:

$F = 5^{24} - 4 \times 5^{22}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خطة التحليل:

اخرج العامل المشترك $5^{22}$
احسب $(5^2 - 4)$
حلل النتيجة إلى عوامل أولية

سؤال: ما هو $25 - 4$ وما تحليله؟

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

F = 5^{24} - 4 \times 5^{22} = 5^{22}(5^2 - 4)

الخطوة 2: نحسب:

$$5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$$

الخطوة 3: نحلل العدد 21:

21 = 3 \times 7

✅ الحل الكامل

البرهان:

F = 5^{24} - 4 \times 5^{22} = 5^{22}(25 - 4) = 5^{22} \times 21 = 5^{22} \times 3 \times 7

بما أن $F = 7 \times 3 \times 5^{22}$، فإن العدد $F$ يحتوي على العامل 7 وبالتالي يقبل القسمة على 7

مجموع قوى العدد 2 والقسمة على 28

تمرين 7

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 28:

$G = 2^{523} + 2^{524} + 2^{525}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نمط مألوف:

هذا النمط مشابه للتمرين 5
اخرج العامل المشترك $2^{523}$
تذكر أن $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$
نحتاج إثبات القسمة على كل من 4 و 7

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

G = 2^{523} + 2^{524} + 2^{525} = 2^{523}(1 + 2 + 4) = 2^{523} \times 7

الخطوة 2: نحلل العدد 28:

28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7

الخطوة 3: نعيد كتابة G:

G = 2^{523} \times 7 = 2^2 \times 2^{521} \times 7 = 4 \times 7 \times 2^{521} = 28 \times 2^{521}

✅ الحل الكامل

البرهان:

G = 2^{523} + 2^{524} + 2^{525} = 2^{523} \times 7

= 2^2 \times 2^{521} \times 7 = 28 \times 2^{521}

بما أن $G = 28 \times 2^{521}$، فإن العدد $G$ يقبل القسمة على 28

الرقمان الأخيران

تمرين 8

بيّن أن رقمي آحاد وعشرات العدد التالي هما 00:

$H = 5^{73} - 5^{71}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للرقمين الأخيرين:

نحتاج إثبات أن العدد يقبل القسمة على 100
$100 = 4 \times 25 = 2^2 \times 5^2$
اخرج العامل المشترك $5^{71}$ أولاً
بما أن $71 \geq 2$، فإن $5^{71}$ يحتوي على العامل $5^2$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

H = 5^{73} - 5^{71} = 5^{71}(5^2 - 1) = 5^{71} \times 24

الخطوة 2: نحلل العدد 24:

24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3

الخطوة 3: نعيد ترتيب العوامل:

H = 5^{71} \times 2^3 \times 3 = 2^3 \times 3 \times 5^{71}

الخطوة 4: نستخدم $5^{71} = 5^2 \times 5^{69}$:

H = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 5^{69} = (2^3 \times 3 \times 5^2) \times 5^{69}

= (8 \times 3 \times 25) \times 5^{69} = 600 \times 5^{69}

✅ الحل الكامل

البرهان:

H = 5^{73} - 5^{71} = 5^{71} \times 24 = 5^{71} \times 2^3 \times 3

= 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 5^{69} = 600 \times 5^{69}

بما أن $600 = 6 \times 100$، فإن $H$ يقبل القسمة على 100

عندما يقبل العدد القسمة على 100، فإن رقمي الآحاد والعشرات يكونان 00

قوى العدد 3 والقسمة على 90

تمرين 9

بيّن أن العدد التالي يقبل القسمة على 90:

$I = 3^{50} + 3^{48}$

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تحليل العدد 90:

$90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 10$
نحتاج إثبات القسمة على $3^2$ وعلى 10
اخرج العامل المشترك $3^{48}$
احسب $(3^2 + 1)$

سؤال: ما هو $9 + 1$؟

📝 الطريقة خطوة بخطوة

الخطوة 1: نخرج العامل المشترك:

I = 3^{50} + 3^{48} = 3^{48}(3^2 + 1) = 3^{48} \times 10

الخطوة 2: نحلل العدد 90:

90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 10

الخطوة 3: نعيد كتابة I:

I = 3^{48} \times 10 = 3^2 \times 3^{46} \times 10 = 90 \times 3^{46}

✅ الحل الكامل

البرهان:

I = 3^{50} + 3^{48} = 3^{48}(3^2 + 1) = 3^{48} \times 10

= 3^2 \times 3^{46} \times 10 = 90 \times 3^{46}

بما أن $I = 90 \times 3^{46}$، فإن العدد $I$ يقبل القسمة على 90