التمرين عدد 1
أ) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 2 و 3 في نفس الوقت
8748 | 4897 | 9814 | 8642 | 5796 | 7652 | 4811 | 7990 | 5785
ب) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 3
7533 | 8646 | 9339
ج) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 3 في نفس الوقت
5786 | 5934 | 3276 | 5734 | 6770 | 8660
د) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 5 و 3 في نفس الوقت
7552 | 6005 | 8600 | 6390 | 9905 | 8653 | 5820 | 6444
ه) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت
5232 | 4736 | 8216
و) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 8
4518 | 98734 | 4538 | 5733
التصحيح المفصل للتمرين الأول
أ) الأعداد القابلة للقسمة على 2 و 3 (أي على 6):
• العدد قابل للقسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجي
• العدد قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3
الحلول:
- 8748: زوجي (8) ومجموع أرقامه = 8+7+4+8 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8642: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 8+6+4+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
- 5796: زوجي (6) ومجموع أرقامه = 5+7+9+6 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7652: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 7+6+5+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
• العدد قابل للقسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجي
• العدد قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3
الحلول:
- 8748: زوجي (8) ومجموع أرقامه = 8+7+4+8 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8642: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 8+6+4+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
- 5796: زوجي (6) ومجموع أرقامه = 5+7+9+6 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7652: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 7+6+5+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
ب) الأعداد القابلة للقسمة على 3:
- 7533: مجموع الأرقام = 7+5+3+3 = 18 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8646: مجموع الأرقام = 8+6+4+6 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 9339: مجموع الأرقام = 9+3+3+9 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7533: مجموع الأرقام = 7+5+3+3 = 18 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8646: مجموع الأرقام = 8+6+4+6 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 9339: مجموع الأرقام = 9+3+3+9 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
ج) الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 3:
• العدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 4
- 5934: 34 ÷ 4 = 8.5 ✗
- 3276: 76 ÷ 4 = 19 ✓ ومجموع الأرقام = 18 ✓
الجواب: 3276
• العدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 4
- 5934: 34 ÷ 4 = 8.5 ✗
- 3276: 76 ÷ 4 = 19 ✓ ومجموع الأرقام = 18 ✓
الجواب: 3276
التمرين عدد 2
(1) حدد x و y ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 5 في كل حالة:
4x7y; 36x5y; 2x4y; 32x5y
(2) حدد x و y ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 9 و 5 في كل حالة:
24x7y | 234xy | 10x2y | 34xy | 36x5y | 2x4y | 32x5y | 10x2y
(3) حدد x و y ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 25:
24x7y; 36x5y; 2x4y; 32x5y; 10x2y
التصحيح المفصل للتمرين الثاني
(1) للقسمة على 3 و 5:
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
4x7y:
- إذا y = 0: 4+x+7+0 = 11+x يجب أن يقبل القسمة على 3
نجرب: 11+1=12 (قابل للقسمة على 3)، 11+4=15 (قابل للقسمة على 3)، 11+7=18 (قابل للقسمة على 3)
إذن x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 5: 4+x+7+5 = 16+x يجب أن يقبل القسمة على 3
نجرب: 16+2=18 (قابل للقسمة على 3)، 16+5=21 (قابل للقسمة على 3)، 16+8=24 (قابل للقسمة على 3)
إذن x ∈ {2, 5, 8}
الحلول: (x,y) ∈ {(1,0), (4,0), (7,0), (2,5), (5,5), (8,5)}
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
4x7y:
- إذا y = 0: 4+x+7+0 = 11+x يجب أن يقبل القسمة على 3
نجرب: 11+1=12 (قابل للقسمة على 3)، 11+4=15 (قابل للقسمة على 3)، 11+7=18 (قابل للقسمة على 3)
إذن x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 5: 4+x+7+5 = 16+x يجب أن يقبل القسمة على 3
نجرب: 16+2=18 (قابل للقسمة على 3)، 16+5=21 (قابل للقسمة على 3)، 16+8=24 (قابل للقسمة على 3)
إذن x ∈ {2, 5, 8}
الحلول: (x,y) ∈ {(1,0), (4,0), (7,0), (2,5), (5,5), (8,5)}
(2) للقسمة على 9 و 5:
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
24x7y:
- إذا y = 0: 2+4+x+7+0 = 13+x يجب أن يقبل القسمة على 9
نجرب: 13+5=18 (قابل للقسمة على 9)
إذن x = 5
- إذا y = 5: 2+4+x+7+5 = 18+x يجب أن يقبل القسمة على 9
نجرب: 18+0=18 (قابل للقسمة على 9)، 18+9=27 (قابل للقسمة على 9)
إذن x ∈ {0, 9}
الحلول: (x,y) ∈ {(5,0), (0,5), (9,5)}
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
24x7y:
- إذا y = 0: 2+4+x+7+0 = 13+x يجب أن يقبل القسمة على 9
نجرب: 13+5=18 (قابل للقسمة على 9)
إذن x = 5
- إذا y = 5: 2+4+x+7+5 = 18+x يجب أن يقبل القسمة على 9
نجرب: 18+0=18 (قابل للقسمة على 9)، 18+9=27 (قابل للقسمة على 9)
إذن x ∈ {0, 9}
الحلول: (x,y) ∈ {(5,0), (0,5), (9,5)}
(3) للقسمة على 3 و 25:
• للقسمة على 25: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 25
• الأعداد القابلة للقسمة على 25: 00, 25, 50, 75
24x7y: العدد المكون من الآحاد والعشرات هو 7y
- 7y يجب أن يكون من {00, 25, 50, 75}
- لا يوجد حل لأن 7y لا يمكن أن يساوي أي من هذه القيم
(70 و 75 فقط ممكنين، لكن 70 ÷ 25 = 2.8 والباقي 20، و 75 ÷ 25 = 3 والباقي 0)
• للقسمة على 25: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 25
• الأعداد القابلة للقسمة على 25: 00, 25, 50, 75
24x7y: العدد المكون من الآحاد والعشرات هو 7y
- 7y يجب أن يكون من {00, 25, 50, 75}
- لا يوجد حل لأن 7y لا يمكن أن يساوي أي من هذه القيم
(70 و 75 فقط ممكنين، لكن 70 ÷ 25 = 2.8 والباقي 20، و 75 ÷ 25 = 3 والباقي 0)
التمرين عدد 3
اذكر من بين الأعداد التالية تلك التي تقبل القسمة على 8:
110017065400، 78456، 4098721، 32085
التصحيح المفصل للتمرين الثالث
قاعدة القسمة على 8:
العدد قابل للقسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام قابل للقسمة على 8
العدد قابل للقسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام قابل للقسمة على 8
فحص الأعداد:
1) 110017065400:
آخر 3 أرقام: 400
400 ÷ 8 = 50 ✓ (قابل للقسمة على 8)
2) 78456:
آخر 3 أرقام: 456
456 ÷ 8 = 57 ✓ (قابل للقسمة على 8)
3) 4098721:
آخر 3 أرقام: 721
721 ÷ 8 = 90 والباقي 1 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
4) 32085:
آخر 3 أرقام: 085 = 85
85 ÷ 8 = 10 والباقي 5 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
1) 110017065400:
آخر 3 أرقام: 400
400 ÷ 8 = 50 ✓ (قابل للقسمة على 8)
2) 78456:
آخر 3 أرقام: 456
456 ÷ 8 = 57 ✓ (قابل للقسمة على 8)
3) 4098721:
آخر 3 أرقام: 721
721 ÷ 8 = 90 والباقي 1 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
4) 32085:
آخر 3 أرقام: 085 = 85
85 ÷ 8 = 10 والباقي 5 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
الإجابة النهائية:
الأعداد القابلة للقسمة على 8 هي: 110017065400 و 78456
الأعداد القابلة للقسمة على 8 هي: 110017065400 و 78456
التمرين عدد 4 - التمارين النظرية
(1) بين أن العدد 2¹⁸-2¹⁵ قابل للقسمة على 7
(2) بين أن العدد 2¹⁸+2¹⁶ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت
(3) بين أن العدد 3⁴+3⁴+3⁴+3⁴ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت
(4) بين أن العدد 5¹⁰³-2×25⁵⁰ قابل للقسمة على 3
التصحيح المفصل للتمرين الرابع
(1) إثبات أن 2¹⁸-2¹⁵ قابل للقسمة على 7:
2¹⁸-2¹⁵ = 2¹⁵(2³-1) = 2¹⁵ × 7
بما أن العبارة تحتوي على العامل 7، فإن العدد قابل للقسمة على 7. ✓
2¹⁸-2¹⁵ = 2¹⁵(2³-1) = 2¹⁵ × 7
بما أن العبارة تحتوي على العامل 7، فإن العدد قابل للقسمة على 7. ✓
(2) إثبات أن 2¹⁸+2¹⁶ قابل للقسمة على 4 و 5:
2¹⁸+2¹⁶ = 2¹⁶(2²+1) = 2¹⁶ × 5
للقسمة على 4:
2¹⁶ = (2²)⁸ = 4⁸، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 5:
العبارة تحتوي على العامل 5، إذن العدد قابل للقسمة على 5. ✓
2¹⁸+2¹⁶ = 2¹⁶(2²+1) = 2¹⁶ × 5
للقسمة على 4:
2¹⁶ = (2²)⁸ = 4⁸، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 5:
العبارة تحتوي على العامل 5، إذن العدد قابل للقسمة على 5. ✓
(3) إثبات أن 4 × 3⁴ قابل للقسمة على 9 و 4:
3⁴+3⁴+3⁴+3⁴ = 4 × 3⁴
للقسمة على 4:
العبارة تحتوي على العامل 4، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 9:
3⁴ = 81 = 9 × 9
إذن 4 × 3⁴ = 4 × 9 × 9، العدد قابل للقسمة على 9. ✓
3⁴+3⁴+3⁴+3⁴ = 4 × 3⁴
للقسمة على 4:
العبارة تحتوي على العامل 4، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 9:
3⁴ = 81 = 9 × 9
إذن 4 × 3⁴ = 4 × 9 × 9، العدد قابل للقسمة على 9. ✓
(4) إثبات أن 5¹⁰³-2×25⁵⁰ قابل للقسمة على 3:
نعلم أن 25 = 5²، إذن 25⁵⁰ = (5²)⁵⁰ = 5¹⁰⁰
5¹⁰³-2×5¹⁰⁰ = 5¹⁰⁰(5³-2) = 5¹⁰⁰(125-2) = 5¹⁰⁰ × 123
نفحص إذا كان 123 قابل للقسمة على 3:
مجموع أرقام 123 = 1+2+3 = 6، و 6 قابل للقسمة على 3
إذن 123 قابل للقسمة على 3، والعدد الأصلي قابل للقسمة على 3. ✓
نعلم أن 25 = 5²، إذن 25⁵⁰ = (5²)⁵⁰ = 5¹⁰⁰
5¹⁰³-2×5¹⁰⁰ = 5¹⁰⁰(5³-2) = 5¹⁰⁰(125-2) = 5¹⁰⁰ × 123
نفحص إذا كان 123 قابل للقسمة على 3:
مجموع أرقام 123 = 1+2+3 = 6، و 6 قابل للقسمة على 3
إذن 123 قابل للقسمة على 3، والعدد الأصلي قابل للقسمة على 3. ✓
التمرين عدد 5
(1) حدد x و y ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 4 في كل حالة:
2x40y | 32x5y6 | 10xy24 | 3x24y
(2) حدد y و x ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 8 و 9 في كل حالة:
24x7y0 | 36x5y6 | 10x42y | 34xy
(3) حدد x و y ليكي يصبح العدد قابل للقسمة على 25 و 8 مع ذكر جميع الحلول:
24x7y0 | 3665xy | 10x42y | 34xy
التصحيح المفصل للتمرين الخامس
(1) للقسمة على 3 و 4:
• للقسمة على 4: آخر رقمين قابل للقسمة على 4
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
2x40y:
- للقسمة على 4: 0y يجب أن يقبل القسمة على 4
نجرب: 00, 04, 08 قابلة للقسمة على 4
إذن y ∈ {0, 4, 8}
- للقسمة على 3: 2+x+4+0+y = 6+x+y يجب أن يقبل القسمة على 3
بما أن 6 قابل للقسمة على 3، نحتاج x+y قابل للقسمة على 3
الحلول:
- إذا y = 0: x ∈ {0, 3, 6, 9}
- إذا y = 4: x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 8: x ∈ {1, 4, 7}
• للقسمة على 4: آخر رقمين قابل للقسمة على 4
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
2x40y:
- للقسمة على 4: 0y يجب أن يقبل القسمة على 4
نجرب: 00, 04, 08 قابلة للقسمة على 4
إذن y ∈ {0, 4, 8}
- للقسمة على 3: 2+x+4+0+y = 6+x+y يجب أن يقبل القسمة على 3
بما أن 6 قابل للقسمة على 3، نحتاج x+y قابل للقسمة على 3
الحلول:
- إذا y = 0: x ∈ {0, 3, 6, 9}
- إذا y = 4: x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 8: x ∈ {1, 4, 7}
جداول التحليل والقسمة
أتمم تعمير الجدول التالي بحساب باقي القسمة لكل عدد:
| العدد | باقي ÷ 2 | باقي ÷ 3 | باقي ÷ 4 | باقي ÷ 5 | باقي ÷ 8 | باقي ÷ 9 | باقي ÷ 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 875684 | 0 | 2 | 0 | 4 | 4 | 2 | 9 |
| 9865475 | 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 3 | 0 |
| 85026478 | 0 | 0 | 2 | 3 | 6 | 0 | 3 |
طريقة حساب البواقي
طرق حساب البواقي:
• باقي القسمة على 2: رقم الآحاد إذا كان زوجي فالباقي 0، وإلا فالباقي 1
• باقي القسمة على 3: باقي قسمة مجموع الأرقام على 3
• باقي القسمة على 4: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 4
• باقي القسمة على 5: رقم الآحاد إذا كان 0 أو 5 فالباقي 0، وإلا فالباقي هو رقم الآحاد
• باقي القسمة على 8: باقي قسمة العدد المكون من آخر 3 أرقام على 8
• باقي القسمة على 9: باقي قسمة مجموع الأرقام على 9
• باقي القسمة على 25: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 25
• باقي القسمة على 2: رقم الآحاد إذا كان زوجي فالباقي 0، وإلا فالباقي 1
• باقي القسمة على 3: باقي قسمة مجموع الأرقام على 3
• باقي القسمة على 4: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 4
• باقي القسمة على 5: رقم الآحاد إذا كان 0 أو 5 فالباقي 0، وإلا فالباقي هو رقم الآحاد
• باقي القسمة على 8: باقي قسمة العدد المكون من آخر 3 أرقام على 8
• باقي القسمة على 9: باقي قسمة مجموع الأرقام على 9
• باقي القسمة على 25: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 25
مثال: حساب بواقي 875684:
• باقي ÷ 2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → الباقي = 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 8+7+5+6+8+4 = 38، 38 ÷ 3 = 12 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 4 → الباقي = 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 684، 684 ÷ 8 = 85 باقي 4
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 38، 38 ÷ 9 = 4 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 25 = 3 باقي 9
• باقي ÷ 2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → الباقي = 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 8+7+5+6+8+4 = 38، 38 ÷ 3 = 12 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 4 → الباقي = 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 684، 684 ÷ 8 = 85 باقي 4
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 38، 38 ÷ 9 = 4 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 25 = 3 باقي 9