ليكن \(a\) و \(b\) عددان صحيحان طبيعيان فرديان.
للسؤال الأول:
للسؤال الثاني:
السؤال الأول - تحليل \((a+3b)^2\):
بما أن \(a\) و \(b\) فرديان، فيمكن كتابتهما:
\(a = 2m+1\) و \(b = 2n+1\) حيث \(m, n\) أعداد صحيحة طبيعية
نحسب \(a + 3b\):
\(a + 3b = (2m+1) + 3(2n+1) = 2m + 1 + 6n + 3 = 2m + 6n + 4 = 2(m + 3n + 2)\)
إذن \(a + 3b\) زوجي. ليكن \(a + 3b = 2k\) حيث \(k = m + 3n + 2\)
\((a+3b)^2 = (2k)^2 = 4k^2\)
للقابلية للقسمة على 24:
نحتاج لتحليل أكثر دقة حسب قيم \(a\) و \(b\) modulo 6...
السؤال الثاني - تحليل الشرط:
نريد أن يكون \((n+1)^2 + b^2\) مضاعف لـ 4
بما أن \(b\) فردي: \(b^2 \equiv 1 \pmod{4}\)
إذن نحتاج: \((n+1)^2 \equiv 3 \pmod{4}\)
السؤال الأول:
مثال مضاد: \(a = 1, b = 1\) (كلاهما فردي)
\(a + 3b = 1 + 3(1) = 4\)
\((a+3b)^2 = 4^2 = 16\)
16 لا يقبل القسمة على 24.
تحليل عام:
إذا كان \(a = 2m+1\) و \(b = 2n+1\), فإن:
\((a+3b)^2 = 4(m + 3n + 2)^2\)
لكي يقبل القسمة على 24 = 8 × 3، نحتاج شروط إضافية على \(a\) و \(b\).
السؤال الثاني:
نريد: \((n+1)^2 + b^2\) مضاعف لـ 4
بما أن \(b\) فردي، يمكن كتابته \(b = 2s + 1\) لعدد صحيح \(s\)
\(b^2 = (2s+1)^2 = 4s^2 + 4s + 1 = 4(s^2 + s) + 1\)
إذن عند قسمة \(b^2\) على 4، نحصل على باقي يساوي 1
لكي يكون \((n+1)^2 + b^2\) مضاعف لـ 4، وبما أن باقي قسمة \(b^2\) على 4 يساوي 1،
يجب أن يكون باقي قسمة \((n+1)^2\) على 4 يساوي 3 (لأن 1 + 3 = 4)
لكن: لننظر لبواقي قسمة مربعات الأعداد الصحيحة على 4:
الاستنتاج: مربعات الأعداد الصحيحة تعطي فقط باقي 0 أو 1 عند القسمة على 4، وليس 3.
إذن لا توجد حلول للسؤال الثاني.