قابلية القسمة 9 أساسي

تصحيح التمرين 1

• العددان $6 + 3n$ و $3n$ أوليان فيما بينهما: خطأ. القاسم المشترك الأكبر بينهما هو 3، حيث $6+3n = 3(2+n)$ و $3n = 3(n)$. بما أن القاسم المشترك الأكبر هو 3 وليس 1، فهما ليسا أوليين فيما بينهما.
• عدد صحيح زوجي وعدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما: خطأ. مثال: 2 (زوجي) و 3 (فردي) أوليان فيما بينهما. لكن 2 (زوجي) و 9 (فردي) ليسا أوليين فيما بينهما (القاسم المشترك الأكبر هو 1). النص لم يقل "دائماً". إذا كانا مثلاً 2 و 4، فهما غير أوليين فيما بينهما. إذا كان السؤال يقصد "أحياناً"، فصواب. ولكن العبارة المطلقة "يكونان" تعني دائماً، وهذا خطأ.
• $n^2 - n$ عدد أولي: خطأ. $n^2 - n = n(n-1)$. هذا العدد يكون 0 إذا $n=0$ أو $n=1$. ويكون 2 إذا $n=2$ (أولي). ويكون 6 إذا $n=3$ (ليس أولي). ويكون 12 إذا $n=4$ (ليس أولي). العدد الأولي يجب أن يكون له قاسمان فقط (1 والعدد نفسه). $n(n-1)$ له عوامل $n$ و $n-1$. لكي يكون $n(n-1)$ أوليًا يجب أن يكون أحد العاملين 1 والآخر عدد أولي. إذا $n-1=1 \implies n=2 \implies n(n-1)=2(1)=2$ (أولي). إذا $n=1 \implies n(n-1)=0$ (ليس أولي). إذا $n=0 \implies n(n-1)=0$ (ليس أولي). في معظم الحالات، $n(n-1)$ ليس أوليًا.
• $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$ يقبل القسمة على 6: خطأ. هذا لا ينطبق على جميع قيم $n$. إذا $n=2$, $n^2-1 = 3$ لا يقبل على 6. إذا $n=3$, $n^2-1 = 8$ لا يقبل على 6.

  صواب إذا كان $n$ عددًا فرديًا: إذا $n$ فردي، $n=2k+1$. إذن $n-1=2k$ (زوجي) و $n+1=2k+2=2(k+1)$ (زوجي). وحاصل ضرب عددين متتاليين $k(k+1)$ زوجي. إذن $n-1$ و $n+1$ هما عددان زوجيان متتاليان، أحدهما مضاعف لـ 4. فـ $(n-1)(n+1)$ مضاعف لـ 8. بالنسبة للقسمة على 3: إذا $n \equiv 0 \pmod 3$, $n^2-1 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3$. إذا $n \equiv 1 \pmod 3$, $n-1 \equiv 0 \pmod 3$, إذن يقبل. إذا $n \equiv 2 \pmod 3$, $n+1 \equiv 0 \pmod 3$, إذن يقبل. لذلك، $n^2-1$ يقبل القسمة على 3 إذا كان $n$ ليس مضاعفًا لـ 3. العبارة خاطئة بشكل عام. العبارة الشهيرة هي $n(n^2-1)$ تقبل القسمة على 6. أو $n^2-1$ يقبل القسمة على 24 إذا كان $n$ عددًا فرديًا.

• $7 + 8y = x$ إذا كان $x$ يقبل القسمة على 4 و $y$: خطأ. إذا $x$ يقبل القسمة على 4، فإن $x = 4k$. $7 + 8y = 4k$. $7 = 4k - 8y = 4(k - 2y)$. هذا يعني أن 7 هو مضاعف للعدد 4، وهو أمر مستحيل. إذن، لا توجد قيم لـ $x$ و $y$ تحقق هذا الشرط.
• $x$ و $y$ عددان بحيث $xy = 52$ إذا القيم الممكنة لـ $x$ و $y$ هي $\{(1, 52); (2, 26); (26, 2); (52, 1)\}$: خطأ. لم يتم ذكر أن $x$ و $y$ أعداد طبيعية. إذا كانت أعداد صحيحة، فهناك أيضًا أزواج سالبة مثل $(-1, -52)$, $(-2, -26)$, إلخ. إذا كانت أعداد طبيعية، فإن القيم المذكورة صحيحة ولكن التعبير "هي" يعني "فقط". والقواسم الموجبة لـ 52 هي 1, 2, 4, 13, 26, 52. إذن الأزواج هي: $(1,52), (2,26), (4,13), (13,4), (26,2), (52,1)$. العبارة المقدمة ناقصة زوجي $(4,13)$ و $(13,4)$. لذا هي خطأ.
• مهما يكن العدد الصحيح $n$ فإن $36n + 48$ يقبل القسمة على 6: صواب.

  $$36n + 48 = 6 \times 6n + 6 \times 8$$

  $$= 6(6n + 8)$$

  بما أن $36n + 48$ يمكن كتابته كـ $6$ مضروب في عدد صحيح ($6n+8$)، فهو يقبل القسمة على 6.
• كل عدد صحيح يتكون من ثلاث أرقام متتالية هو مضاعف 3: صواب. ليكن العدد $N = 100a + 10(a+1) + (a+2)$ (مثال: 123 حيث $a=1$). مجموع الأرقام هو $a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3 = 3(a+1)$. بما أن مجموع أرقامه مضاعف لـ 3، فإن العدد نفسه مضاعف لـ 3. (مثال: 123 -> $1+2+3=6$, 456 -> $4+5+6=15$).
• كل عدد صحيح يتكون من 3 أرقام متتالية يقبل القسمة على 9: خطأ. مثال: 123. مجموع الأرقام 6، لا يقبل القسمة على 9. مثال: 789. مجموع الأرقام $7+8+9=24$, لا يقبل القسمة على 9. فقط إذا كان مجموع الأرقام مضاعفًا لـ 9.
• باقي القسمة الإقليدية لـ 2078 على 8 هو 3: خطأ. ننظر إلى آخر ثلاثة أرقام: 078. $78 \div 8 = 9$ والباقي $6$. إذن باقي قسمة 2078 على 8 هو 6.
• مهما يكن العدد الصحيح $a$ فإن العدد 35685 يقبل القسمة على 4: خطأ. لكي يقبل عدد القسمة على 4، يجب أن يكون العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات مضاعفًا لـ 4. العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات في 35685 هو 85. $85 \div 4 = 21$ والباقي 1. بما أن 85 لا يقبل القسمة على 4، فإن 35685 لا يقبل القسمة على 4.

تصحيح التمرين 2

تصحيح التمرين 3

1. الأعداد المتتالية هي $a, a+1, a+2, a+3$.

مجموع هذه الأعداد هو $S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6$.

الجزء "بحيث $a$ يقبل القسمة على 9 هو 6" يعني أن باقي قسمة $a$ على 9 هو 6. يمكن كتابة هذا رياضياً على النحو التالي: $a \equiv 6 \pmod 9$.

إذن، $a = 9k + 6$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي.

الآن نعوض قيمة $a$ في تعبير $S$:

$$S = 4(9k + 6) + 6$$

$$= 36k + 24 + 6$$

$$= 36k + 30$$

نلاحظ أن $36k$ مضاعف للعدد 6 (لأن $36k = 6 \times 6k$)، وأن $30$ مضاعف للعدد 6 (لأن $30 = 6 \times 5$).

بما أن $S$ هو مجموع عددين كلاهما مضاعف للعدد 6، فإن $S$ نفسه مضاعف للعدد 6.

إذن، $a+b+c+d$ يقبل القسمة على 6.

2. لدينا الشرط $108 < a+b+c+d < 48$.

ملاحظة: هذا الشرط $108 < \text{القيمة} < 48$ غير منطقي رياضياً لأن 108 أكبر من 48. سأفترض أن الترتيب معكوس، أي $48 < a+b+c+d < 108$.

نحن نعلم أن $a+b+c+d = 36k + 30$.

إذن، $48 < 36k + 30 < 108$.

نطرح 30 من جميع أطراف المتباينة:

$$48 - 30 < 36k < 108 - 30$$

$$18 < 36k < 78$$

نقسم جميع أطراف المتباينة على 36:

$$\frac{18}{36} < k < \frac{78}{36}$$

$$0.5 < k < 2.166...$$

بما أن $k$ عدد صحيح طبيعي، فإن القيمة الوحيدة الممكنة لـ $k$ هي 1 و 2.

إذا $k=1$:

$$a = 9(1) + 6 = 15$$

الأعداد هي $a=15, b=16, c=17, d=18$.

مجموعها $15+16+17+18 = 66$. وهذا يحقق الشرط $48 < 66 < 108$.

إذا $k=2$:

$$a = 9(2) + 6 = 24$$

الأعداد هي $a=24, b=25, c=26, d=27$.

مجموعها $24+25+26+27 = 102$. وهذا يحقق الشرط $48 < 102 < 108$.

إذن، القيم الممكنة لـ $(a, b, c, d)$ هي $(15, 16, 17, 18)$ أو $(24, 25, 26, 27)$.

تصحيح التمرين 4

1. (الجزء الأول من السؤال غير مكتمل في الصورة. ربما هو مقدمة للجزئين التاليين).

2. بين أن $(a+3b)^2$ يقبل القسمة على 24:

ملاحظة: لكي يقبل $(a+3b)^2$ القسمة على 24، هناك حاجة لشروط إضافية على $a$ و $b$ بالإضافة إلى كونهما فرديين. إذا كان $a, b$ فرديين، فإن $a=2k+1$ و $b=2m+1$. $a+3b = (2k+1) + 3(2m+1) = 2k+1+6m+3 = 2k+6m+4 = 2(k+3m+2)$. إذن $a+3b$ هو عدد زوجي. ليكن $a+3b = 2X$. $(a+3b)^2 = (2X)^2 = 4X^2$. هذا يعني أنه مضاعف لـ 4. لجعله مضاعفاً لـ 24، يجب أن يكون $X^2$ مضاعفاً لـ 6. هذا يتطلب أن $X$ يكون مضاعفاً لـ 6 أو 2 و 3 بشكل منفصل. هذا السؤال يتطلب شروطًا إضافية لم تُذكر، على سبيل المثال $a \equiv 3 \pmod 6$ و $b \equiv 1 \pmod 6$ أو غير ذلك، أو افتراض أن $a$ و $b$ لهما خصائص معينة بالنسبة لـ 3. مثال مضاد: $a=1, b=1$ (كلاهما فردي). $a+3b = 1+3(1)=4$. $(a+3b)^2 = 4^2 = 16$. 16 لا يقبل القسمة على 24. لذا العبارة "يقبل القسمة على 24" خاطئة بشكل عام. ربما السؤال يقصد "أوليان فيما بينهما" أو شرط آخر.

3. حدد الأعداد الصحيحة $n$ بحيث $n^2 + 2n + 1 + b^2$ مضاعف لـ 4:

الحد $n^2 + 2n + 1$ هو مربع كامل، يمكن كتابته كـ $(n+1)^2$.

$$n^2 + 2n + 1 + b^2 = (n+1)^2 + b^2$$

بما أن $b$ عدد فردي، يمكن كتابته $b = 2m+1$ حيث $m$ عدد صحيح طبيعي.

$$b^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1$$

إذن، $b^2 \equiv 1 \pmod 4$ (باقي قسمة $b^2$ على 4 هو 1).

نحن نريد أن يكون $(n+1)^2 + b^2$ مضاعفًا لـ 4، أي:

$$(n+1)^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$$

نعوض $b^2 \equiv 1 \pmod 4$:

$$(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod 4$$

$$(n+1)^2 \equiv -1 \pmod 4$$

$$(n+1)^2 \equiv 3 \pmod 4$$

الآن، لننظر إلى بواقي مربعات الأعداد الصحيحة على 4:

• إذا كان العدد زوجيًا، ليكن $2k$: $(2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod 4$.
• إذا كان العدد فرديًا، ليكن $2k+1$: $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 \equiv 1 \pmod 4$.

إذن، مربعات الأعداد الصحيحة على 4 تعطي باقي 0 أو 1. لا يمكن أن تعطي باقي 3.

بما أنه لا يوجد عدد مربع يعطي باقي 3 عند القسمة على 4، فلا توجد قيم لـ $n$ تحقق هذا الشرط.

تصحيح التمرين 5

1. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي:

العدد $n(n+1)$ يمثل حاصل ضرب عددين صحيحين طبيعيين متتاليين.

من أي عددين متتاليين، أحدهما سيكون زوجيًا والآخر فرديًا.

بما أن أحدهما زوجي، فإن حاصل ضربهما $n(n+1)$ سيكون دائمًا عددًا زوجيًا.

وبما أن $n(n+1)$ هو عدد زوجي، فإنه يقبل القسمة على 2.

إذن، $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي.

2. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $n(n+1)(2n+1)$ هو عدد مضاعف لـ 6:

لكي يكون عدد مضاعفًا لـ 6، يجب أن يكون مضاعفًا لـ 2 ومضاعفًا لـ 3 (لأن 2 و 3 عددان أوليان فيما بينهما).

أولاً: قابلية القسمة على 2:

نعلم أن $n(n+1)$ هو حاصل ضرب عددين متتاليين، وبالتالي هو دائمًا عدد زوجي.

بما أن $n(n+1)$ هو عامل في $n(n+1)(2n+1)$، فإن $n(n+1)(2n+1)$ سيكون دائمًا عددًا زوجيًا، وبالتالي يقبل القسمة على 2.

ثانياً: قابلية القسمة على 3:

لأي عدد طبيعي $n$، هناك ثلاث حالات ممكنة بالنسبة لباقي قسمته على 3:

• الحالة 1: $n \equiv 0 \pmod 3$ (أي $n$ مضاعف لـ 3).
  في هذه الحالة، يكون $n$ نفسه مضاعفًا لـ 3، وبالتالي فإن حاصل الضرب $n(n+1)(2n+1)$ سيكون مضاعفًا لـ 3.
• الحالة 2: $n \equiv 1 \pmod 3$.
  في هذه الحالة، يكون $2n+1 \equiv 2(1)+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$.
  إذن $2n+1$ مضاعف لـ 3، وبالتالي فإن حاصل الضرب $n(n+1)(2n+1)$ سيكون مضاعفًا لـ 3.
• الحالة 3: $n \equiv 2 \pmod 3$.
  في هذه الحالة، يكون $n+1 \equiv 2+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$.
  إذن $n+1$ مضاعف لـ 3، وبالتالي فإن حاصل الضرب $n(n+1)(2n+1)$ سيكون مضاعفًا لـ 3.

في جميع الحالات، يكون $n(n+1)(2n+1)$ مضاعفًا لـ 3.

بما أن العدد $n(n+1)(2n+1)$ يقبل القسمة على 2 وعلى 3، فإنه يقبل القسمة على $2 \times 3 = 6$.

تصحيح التمرين 6

1. حدد البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4:

هناك حالتان ممكنتان للعدد الصحيح الطبيعي $k$ بالنسبة لباقي قسمته على 4:

• الحالة 1: $k$ عدد زوجي.
  في هذه الحالة، يمكن كتابة $k = 2m$ حيث $m$ عدد صحيح طبيعي.
  

  $$k^2 = (2m)^2 = 4m^2$$

  باقي قسمة $4m^2$ على 4 هو 0.
• الحالة 2: $k$ عدد فردي.
  في هذه الحالة، يمكن كتابة $k = 2m+1$ حيث $m$ عدد صحيح طبيعي.
  

  $$k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$$

  $$k^2 = 4(m^2+m) + 1$$

  باقي قسمة $4(m^2+m) + 1$ على 4 هو 1.

إذن، البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4 هي 0 أو 1.

2. بين أن العدد $4n+3 = A$ (حيث $n$ عدد طبيعي) ليس مربعاً كاملاً:

لكي يكون العدد $A$ مربعاً كاملاً، يجب أن يكون باقي قسمته على 4 هو 0 أو 1 (حسب ما بيّناه في الجزء الأول من السؤال).

الآن، لنحسب باقي قسمة العدد $A = 4n+3$ على 4.

بما أن $4n$ هو مضاعف للعدد 4، فإن باقي قسمة $4n+3$ على 4 هو 3.

بما أن باقي قسمة $A$ على 4 هو 3، وأن 3 ليس من البواقي الممكنة لمربعات الأعداد الكاملة على 4 (وهي 0 أو 1)، فإن العدد $4n+3$ لا يمكن أن يكون مربعاً كاملاً.

تصحيح السؤال 1.1

2565:

• يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $2+5+6+5 = 18$ وهو مضاعف لـ 3. (صح)
• يقبل القسمة على 5 لأن رقم آحاده هو 5. (صح)
• لا يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (65) لا يقبل القسمة على 4 ($65 \div 4 = 16$ والباقي 1). (خطأ)
• يقبل القسمة على 15 لأنه يقبل القسمة على 3 و 5 معاً (و 3 و 5 أوليان فيما بينهما). (صح)
• لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 4. (خطأ)

تصحيح السؤال 1.2

54264:

• يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $5+4+2+6+4 = 21$ وهو مضاعف لـ 3. (صح)
• لا يقبل القسمة على 7 ($54264 \div 7 = 7752$ والباقي 0. -> **مراجعة:** $54264 = 7 \times 7752$, إذن يقبل القسمة على 7.) (صح)
• يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (64) يقبل القسمة على 4 ($64 = 4 \times 16$). (صح)
• يقبل القسمة على 12 لأنه يقبل القسمة على 3 و 4 معاً (و 3 و 4 أوليان فيما بينهما). (صح)
• يقبل القسمة على 21 لأنه يقبل القسمة على 3 و 7 معاً (و 3 و 7 أوليان فيما بينهما). (صح)

تصحيح السؤال 1.3

32654:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $3+2+6+5+4 = 20$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (54) لا يقبل القسمة على 4 ($54 \div 4 = 13$ والباقي 2). (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3 أو 4. (خطأ)

تصحيح السؤال 1.4

6598:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $6+5+9+8 = 28$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (98) لا يقبل القسمة على 4 ($98 \div 4 = 24$ والباقي 2). (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 21 لأنه لا يقبل القسمة على 3 أو 7 (لا يقبل على 3). (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3 أو 4. (خطأ)

تصحيح السؤال 1.5

6460:

• يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (60) يقبل القسمة على 4 ($60 = 4 \times 15$). (صح)
• لا يقبل القسمة على 6 لأنه لا يقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامه $6+4+6+0 = 16$ ليس مضاعفاً لـ 3). (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 24 لأنه لا يقبل القسمة على 3 أو 6. (خطأ)

تصحيح السؤال 1.6

1248:

• يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (48) يقبل القسمة على 4 ($48 = 4 \times 12$). (صح)
• يقبل القسمة على 6 لأنه زوجي (آحاده 8) ويقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامه $1+2+4+8 = 15$ وهو مضاعف لـ 3). (صح)
• يقبل القسمة على 24 لأنه يقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامه 15) ويقبل القسمة على 8 (العدد المتكون من آخر ثلاثة أرقام 248 يقبل القسمة على 8، $248 = 8 \times 31$). (صح)

تصحيح السؤال 2.1

3564:

• لا يقبل القسمة على 5 لأن آحاده ليس 0 أو 5. (خطأ)
• يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $3+5+6+4 = 18$ وهو مضاعف لـ 3. (صح)
• يقبل القسمة على 2 لأن آحاده 4 وهو عدد زوجي. (صح)
• يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3 معاً. (صح)
• لا يقبل القسمة على 15 لأنه لا يقبل القسمة على 5. (خطأ)

تصحيح السؤال 2.2

5465:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $5+4+6+5 = 20$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5. (صح)
• لا يقبل القسمة على 15 لأنه لا يقبل القسمة على 3. (خطأ)

تصحيح السؤال 2.3

6464:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $6+4+6+4 = 20$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (64) يقبل القسمة على 4 ($64 = 4 \times 16$). (صح)
• لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3. (خطأ)

تصحيح السؤال 2.4

7576:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $7+5+7+6 = 25$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (76) يقبل القسمة على 4 ($76 = 4 \times 19$). (صح)
• لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3. (خطأ)

تصحيح السؤال 2.5

4165512644:

• لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $4+1+6+5+5+1+2+6+4+4 = 38$ وهو ليس مضاعفاً لـ 3. (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 4 وليس 0 أو 5. (خطأ)
• لا يقبل القسمة على 15 لأنه لا يقبل القسمة على 3 ولا على 5. (خطأ)

تصحيح السؤال 2.6

654698928:

• يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $6+5+4+6+9+8+9+2+8 = 57$ وهو مضاعف لـ 3 ($57 = 3 \times 19$). (صح)
• يقبل القسمة على 2 لأن آحاده 8 وهو عدد زوجي. (صح)
• يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3 معاً. (صح)

تصحيح التمرين 4

العدد هو $m = 374a$. حيث $a$ هو رقم الآحاد ($0 \le a \le 9$).

مجموع أرقام العدد $m$ هو $3+7+4+a = 14+a$.

أ) قابلية القسمة على 12: يجب أن يقبل القسمة على 3 و 4.

• على 3: $14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. إذا $a=1 \implies 14+1=15$ (يقبل). إذا $a=4 \implies 14+4=18$ (يقبل). إذا $a=7 \implies 14+7=21$ (يقبل). إذن، $a \in \{1, 4, 7\}$.
• على 4: العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات ($4a$) يجب أن يقبل القسمة على 4. هذا يعني أن $40+a$ يجب أن يقبل القسمة على 4، وبالتالي $a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 4. إذن، $a \in \{0, 4, 8\}$.

القيم المشتركة لـ $a$ التي تحقق كلا الشرطين هي 4.

ب) قابلية القسمة على 6: يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3.

• على 2: $a$ يجب أن يكون رقمًا زوجيًا. إذن، $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• على 3: $14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. إذن، $a \in \{1, 4, 7\}$ (كما في حالة القسمة على 12).

القيم المشتركة لـ $a$ التي تحقق كلا الشرطين هي 4.

ج) قابلية القسمة على 4: العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات ($4a$) يجب أن يقبل القسمة على 4.

• $a \in \{0, 4, 8\}$.

د) قابلية القسمة على 9: $14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 9.

• القيمة الوحيدة لـ $a$ التي تجعل $14+a$ مضاعفًا لـ 9 هي $a=4$ ($14+4=18$).

س) قابلية القسمة على 8: العدد المتكون من آخر ثلاثة أرقام ($74a$) يجب أن يقبل القسمة على 8.

• نقسم 740 على 8: $740 = 8 \times 92 + 4$. (الباقي 4).
• لكي يقبل $74a = 740 + a$ القسمة على 8، يجب أن يكون $4+a$ مضاعفًا لـ 8.
• إذا $a=4 \implies 4+4=8$ (يقبل).
• لا توجد قيم أخرى لـ $a$ (من 0 إلى 9) تحقق هذا الشرط.
• إذن، $a=4$.

تصحيح التمرين 5

العدد هو $x = 6591ab$.

مجموع أرقام $x = 6+5+9+1+a+b = 21+a+b$.

أ) قابلية القسمة على 15: يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5.

• على 5: $b$ يجب أن يكون 0 أو 5.
• على 3: $21+a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. بما أن 21 مضاعف لـ 3، فإن $a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

نجمع الشروط:

• الحالة 1: $b=0$. $a+0 = a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. القيم الممكنة لـ $a$: $\{0, 3, 6, 9\}$. الأزواج $(a,b)$ هي: $(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)$.
• الحالة 2: $b=5$. $a+5$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. إذا $a=1 \implies 1+5=6$ (يقبل). إذا $a=4 \implies 4+5=9$ (يقبل). إذا $a=7 \implies 7+5=12$ (يقبل). القيم الممكنة لـ $a$: $\{1, 4, 7\}$. الأزواج $(a,b)$ هي: $(1,5), (4,5), (7,5)$.

القيم الممكنة لـ $(a,b)$ لكي يقبل العدد القسمة على 15 هي: $\{(0,0), (3,0), (6,0), (9,0), (1,5), (4,5), (7,5)\}$.

ب) قابلية القسمة على 12: يجب أن يقبل القسمة على 3 و 4.

• على 4: العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات ($ab$) يجب أن يقبل القسمة على 4.
• على 3: $a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

نستعرض الأزواج $(a,b)$ التي تجعل العدد $10a+b$ مضاعفًا لـ 4، ثم نتحقق من شرط $a+b$ مضاعف لـ 3.

الأزواج $(a,b)$ حيث $10a+b$ مضاعف لـ 4:

• $a=0$: $b \in \{0, 4, 8\}$. - $(0,0) \implies a+b=0$ (مضاعف 3). نعم: (0,0) - $(0,4) \implies a+b=4$ (ليس مضاعف 3). - $(0,8) \implies a+b=8$ (ليس مضاعف 3).
• $a=1$: $b \in \{2, 6\}$. - $(1,2) \implies a+b=3$ (مضاعف 3). نعم: (1,2) - $(1,6) \implies a+b=7$ (ليس مضاعف 3).
• $a=2$: $b \in \{0, 4, 8\}$. - $(2,0) \implies a+b=2$ (ليس مضاعف 3). - $(2,4) \implies a+b=6$ (مضاعف 3). نعم: (2,4) - $(2,8) \implies a+b=10$ (ليس مضاعف 3).
• $a=3$: $b \in \{2, 6\}$. - $(3,2) \implies a+b=5$ (ليس مضاعف 3). - $(3,6) \implies a+b=9$ (مضاعف 3). نعم: (3,6)
• $a=4$: $b \in \{0, 4, 8\}$. - $(4,0) \implies a+b=4$ (ليس مضاعف 3). - $(4,4) \implies a+b=8$ (ليس مضاعف 3). - $(4,8) \implies a+b=12$ (مضاعف 3). نعم: (4,8)
• $a=5$: $b \in \{2, 6\}$. - $(5,2) \implies a+b=7$ (ليس مضاعف 3). - $(5,6) \implies a+b=11$ (ليس مضاعف 3).
• $a=6$: $b \in \{0, 4, 8\}$. - $(6,0) \implies a+b=6$ (مضاعف 3). نعم: (6,0) - $(6,4) \implies a+b=10$ (ليس مضاعف 3). - $(6,8) \implies a+b=14$ (ليس مضاعف 3).
• $a=7$: $b \in \{2, 6\}$. - $(7,2) \implies a+b=9$ (مضاعف 3). نعم: (7,2) - $(7,6) \implies a+b=13$ (ليس مضاعف 3).
• $a=8$: $b \in \{0, 4, 8\}$. - $(8,0) \implies a+b=8$ (ليس مضاعف 3). - $(8,4) \implies a+b=12$ (مضاعف 3). نعم: (8,4) - $(8,8) \implies a+b=16$ (ليس مضاعف 3).
• $a=9$: $b \in \{2, 6\}$. - $(9,2) \implies a+b=11$ (ليس مضاعف 3). - $(9,6) \implies a+b=15$ (مضاعف 3). نعم: (9,6)

القيم الممكنة لـ $(a,b)$ لكي يقبل العدد القسمة على 12 هي: $\{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (6,0), (7,2), (8,4), (9,6)\}$.

ج) قابلية القسمة على 6: يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3.

• على 2: $b$ يجب أن يكون رقمًا زوجيًا. إذن، $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• على 3: $a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

نستعرض الأزواج $(a,b)$ حيث $b$ زوجي و $a+b$ مضاعف لـ 3.

• $b=0$: $a \in \{0, 3, 6, 9\}$. الأزواج: $(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)$.
• $b=2$: $a+2$ مضاعف لـ 3. $a \in \{1, 4, 7\}$. الأزواج: $(1,2), (4,2), (7,2)$.
• $b=4$: $a+4$ مضاعف لـ 3. $a \in \{2, 5, 8\}$. الأزواج: $(2,4), (5,4), (8,4)$.
• $b=6$: $a+6$ مضاعف لـ 3. $a \in \{0, 3, 6, 9\}$. الأزواج: $(0,6), (3,6), (6,6), (9,6)$.
• $b=8$: $a+8$ مضاعف لـ 3. $a \in \{1, 4, 7\}$. الأزواج: $(1,8), (4,8), (7,8)$.

القيم الممكنة لـ $(a,b)$ لكي يقبل العدد القسمة على 6 هي: $\{(0,0), (3,0), (6,0), (9,0), (1,2), (4,2), (7,2), (2,4), (5,4), (8,4), (0,6), (3,6), (6,6), (9,6), (1,8), (4,8), (7,8)\}$.

تصحيح التمرين 6

1) العدد $4xyz$ قابلا للقسمة على 15: (يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5)

• على 5: يجب أن يكون رقم الآحاد $z \in \{0, 5\}$.
• على 3: مجموع الأرقام $4+x+y+z$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• الحالة 1: $z=0$. الشرط: $4+x+y$ مضاعف لـ 3. ($x, y$ يمكن أن يأخذ أي قيمة من 0-9). مثال: $x+y=2 \implies (0,2), (1,1), (2,0)$. $x+y=5 \implies (0,5), (1,4), ..., (5,0)$. وهكذا لكل مجموع $x+y$ الذي يجعل $4+x+y$ مضاعفاً لـ 3.
• الحالة 2: $z=5$. الشرط: $4+x+y+5 = 9+x+y$ مضاعف لـ 3. بما أن 9 مضاعف لـ 3، يجب أن يكون $x+y$ مضاعفًا لـ 3. مثال: $x+y=0 \implies (0,0)$. $x+y=3 \implies (0,3), (1,2), (2,1), (3,0)$. وهكذا لكل مجموع $x+y$ الذي هو مضاعف لـ 3.

2) العدد $2xy$ قابلا للقسمة على 6: (يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3)

• على 2: $y$ يجب أن يكون رقمًا زوجيًا. $y \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• على 3: مجموع الأرقام $2+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• نختار $y$ ثم نحدد $x$: - If $y=0$: $2+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,0), (4,0), (7,0)$) - If $y=2$: $4+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{2, 5, 8\}$. (الأزواج: $(2,2), (5,2), (8,2)$) - If $y=4$: $6+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{0, 3, 6, 9\}$. (الأزواج: $(0,4), (3,4), (6,4), (9,4)$) - If $y=6$: $8+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,6), (4,6), (7,6)$) - If $y=8$: $10+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{2, 5, 8\}$. (الأزواج: $(2,8), (5,8), (8,8)$)

3) العدد $24xy$ قابلا للقسمة على 15: (يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5)

• على 5: $y$ يجب أن يكون رقمًا $0$ أو $5$.
• على 3: مجموع الأرقام $2+4+x+y = 6+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. بما أن 6 مضاعف لـ 3، فإن $x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• نختار $y$ ثم نحدد $x$: - If $y=0$: $x+0=x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{0, 3, 6, 9\}$. (الأزواج: $(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)$) - If $y=5$: $x+5$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,5), (4,5), (7,5)$)

4) العدد $3xy$ قابلا للقسمة على 6: (يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3)

• على 2: $y$ يجب أن يكون رقمًا زوجيًا. $y \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• على 3: مجموع الأرقام $3+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. بما أن 3 مضاعف لـ 3، فإن $x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• نختار $y$ ثم نحدد $x$: - If $y=0$: $x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{0, 3, 6, 9\}$. (الأزواج: $(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)$) - If $y=2$: $x+2$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,2), (4,2), (7,2)$) - If $y=4$: $x+4$ مضاعف لـ 3. $x \in \{2, 5, 8\}$. (الأزواج: $(2,4), (5,4), (8,4)$) - If $y=6$: $x+6$ مضاعف لـ 3. $x \in \{0, 3, 6, 9\}$. (الأزواج: $(0,6), (3,6), (6,6), (9,6)$) - If $y=8$: $x+8$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,8), (4,8), (7,8)$)

5) العدد $35xy$ قابلا للقسمة على 12: (يجب أن يقبل القسمة على 3 و 4)

• على 4: العدد المتكون من رقمي الآحاد والعشرات ($xy = 10x+y$) يجب أن يقبل القسمة على 4.
• على 3: مجموع الأرقام $3+5+x+y = 8+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• نستعرض الأزواج $(x,y)$ حيث $10x+y$ مضاعف لـ 4، ثم نتحقق من شرط $8+x+y$ مضاعف لـ 3. - الأزواج $(x,y)$ التي تجعل $10x+y$ مضاعف لـ 4 هي: $(0,0), (0,4), (0,8)$ $(1,2), (1,6)$ $(2,0), (2,4), (2,8)$ $(3,2), (3,6)$ $(4,0), (4,4), (4,8)$ $(5,2), (5,6)$ $(6,0), (6,4), (6,8)$ $(7,2), (7,6)$ $(8,0), (8,4), (8,8)$ $(9,2), (9,6)$ - الآن نتحقق من شرط $8+x+y$ مضاعف لـ 3 (أي $x+y \equiv 1 \pmod 3$): - $(0,0) \implies x+y=0 \implies 8+0=8$ (لا يقبل) - $(0,4) \implies x+y=4 \implies 8+4=12$ (يقبل). نعم: (0,4) - $(0,8) \implies x+y=8 \implies 8+8=16$ (لا يقبل) - $(1,2) \implies x+y=3 \implies 8+3=11$ (لا يقبل) - $(1,6) \implies x+y=7 \implies 8+7=15$ (يقبل). نعم: (1,6) - $(2,0) \implies x+y=2 \implies 8+2=10$ (لا يقبل) - $(2,4) \implies x+y=6 \implies 8+6=14$ (لا يقبل) - $(2,8) \implies x+y=10 \implies 8+10=18$ (يقبل). نعم: (2,8) - $(3,2) \implies x+y=5 \implies 8+5=13$ (لا يقبل) - $(3,6) \implies x+y=9 \implies 8+9=17$ (لا يقبل) - $(4,0) \implies x+y=4 \implies 8+4=12$ (يقبل). نعم: (4,0) - $(4,4) \implies x+y=8 \implies 8+8=16$ (لا يقبل) - $(4,8) \implies x+y=12 \implies 8+12=20$ (لا يقبل) - $(5,2) \implies x+y=7 \implies 8+7=15$ (يقبل). نعم: (5,2) - $(5,6) \implies x+y=11 \implies 8+11=19$ (لا يقبل) - $(6,0) \implies x+y=6 \implies 8+6=14$ (لا يقبل) - $(6,4) \implies x+y=10 \implies 8+10=18$ (يقبل). نعم: (6,4) - $(6,8) \implies x+y=14 \implies 8+14=22$ (لا يقبل) - $(7,2) \implies x+y=9 \implies 8+9=17$ (لا يقبل) - $(7,6) \implies x+y=13 \implies 8+13=21$ (يقبل). نعم: (7,6) - $(8,0) \implies x+y=8 \implies 8+8=16$ (لا يقبل) - $(8,4) \implies x+y=12 \implies 8+12=20$ (لا يقبل) - $(8,8) \implies x+y=16 \implies 8+16=24$ (يقبل). نعم: (8,8) - $(9,2) \implies x+y=11 \implies 8+11=19$ (لا يقبل) - $(9,6) \implies x+y=15 \implies 8+15=23$ (لا يقبل)

القيم الممكنة لـ $(x,y)$ هي: $\{(0,4), (1,6), (2,8), (4,0), (5,2), (6,4), (7,6), (8,8)\}$.

6) العدد $50xy$ قابلا للقسمة على 15: (يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5)

• على 5: $y$ يجب أن يكون رقمًا 0 أو 5.
• على 3: مجموع الأرقام $5+0+x+y = 5+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.
• نختار $y$ ثم نحدد $x$: - If $y=0$: $5+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$. (الأزواج: $(1,0), (4,0), (7,0)$) - If $y=5$: $5+x+5 = 10+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{2, 5, 8\}$. (الأزواج: $(2,5), (5,5), (8,5)$)

تصحيح التمرين 7

1. بين أن $n$ مضاعف للعدد 4:

لدينا $n = 8p + 20$.

نلاحظ أن $8p$ مضاعف للعدد 4 (لأن $8p = 4 \times 2p$).

ونلاحظ أن 20 مضاعف للعدد 4 (لأن $20 = 4 \times 5$).

بما أن $n$ هو مجموع عددين كلاهما مضاعف للعدد 4، فإن $n$ نفسه مضاعف للعدد 4.

2. باقي قسمة $p$ على 3 هو 1 وخارجها $k$. اكتب $p$ بدلالة $k$:

من تعريف القسمة الإقليدية: المقسوم = القاسم $\times$ الخارج + الباقي.

هنا المقسوم هو $p$, القاسم هو 3, الخارج هو $k$, الباقي هو 1.

إذن، $p = 3k + 1$.

3. حدد باقي قسمة $n$ على 3:

لدينا $n = 8p + 20$.

نعوض قيمة $p$ بدلالة $k$: $p = 3k + 1$.

$$n = 8(3k + 1) + 20$$

$$n = 24k + 8 + 20$$

$$n = 24k + 28$$

لإيجاد باقي قسمة $n$ على 3، نستخدم بواقي القسمة لكل حد:

• $24k$: بما أن 24 مضاعف لـ 3 ($24 = 3 \times 8$), فإن $24k \equiv 0 \pmod 3$.
• $28$: نقسم 28 على 3. $28 = 3 \times 9 + 1$. إذن $28 \equiv 1 \pmod 3$.

وبالتالي:

$$n \equiv 0 + 1 \pmod 3$$

$$n \equiv 1 \pmod 3$$

باقي قسمة $n$ على 3 هو 1.

تصحيح التمرين 8

سنحسب البواقي لكل عدد ولكل قاسم:

العدد	باقي القسمة على 5	باقي القسمة على 9	باقي القسمة على 3	باقي القسمة على 4	باقي القسمة على 25	باقي القسمة على 8
974925	(آحاده 5) 0	(مجموع 36) 0	(مجموع 36) 0	(25 لا يقبل على 4) 1	(آخر رقمين 25) 0	(آخر 3 أرقام 925، $925 = 8 \times 115 + 5$) 5
65984	(آحاده 4) 4	(مجموع 32) 5	(مجموع 32) 2	(84 يقبل على 4) 0	(آخر رقمين 84، $84 = 25 \times 3 + 9$) 9	(آخر 3 أرقام 984، $984 = 8 \times 123 + 0$) 0
15870	(آحاده 0) 0	(مجموع 21) 3	(مجموع 21) 0	(70 لا يقبل على 4) 2	(آخر رقمين 70، $70 = 25 \times 2 + 20$) 20	(آخر 3 أرقام 870، $870 = 8 \times 108 + 6$) 6
72	(آحاده 2) 2	(مجموع 9) 0	(مجموع 9) 0	(72 يقبل على 4) 0	(آخر رقمين 72، $72 = 25 \times 2 + 22$) 22	(72 يقبل على 8) 0

تصحيح التمرين 9

ملاحظة: السؤال غير مكتمل أو به أخطاء في الصياغة ("قطعة 5 مليمات" هي قيمة واحدة، "ما هو عدد القطع الذي يملكها أحمد من فئة 10 مليمات" لا يمكن تحديده من المعطيات المقدمة). سأقوم بحل الأجزاء الواضحة.

المبلغ الكلي الذي يملكه أحمد:

1 دينار = 1000 مليم.

• 7 قطع من 1 دينار: $7 \times 1000 = 7000$ مليم.
• 5 قطع من 100 مليم: $5 \times 100 = 500$ مليم.
• قطعة واحدة من 5 مليمات: $1 \times 5 = 5$ مليمات.

المبلغ الإجمالي الذي يملكه أحمد = $7000 + 500 + 5 = 7505$ مليم.

الجزء عن عدد القطع من فئة 10 مليمات وشراء 9 كراسات:

هذا الجزء يتطلب معلومات إضافية (سعر الكراس، أو عدد القطع من فئة 10 مليمات التي يملكها). بما أن المعلومة غير موجودة في النص، لا يمكن تحديدها.

إذا كان السؤال يشير إلى أن المبلغ الكلي 7505 مليم استُخدم لشراء 9 كراسات، فإن سعر الكراس الواحد سيكون:

$$\text{سعر الكراس} = \frac{7505 \text{ مليم}}{9}$$

$$\text{سعر الكراس} \approx 833.88 \text{ مليم}$$

بما أن سعر الكراس لا يمكن أن يكون عشريًا في هذه السياقات عادة، فإن الافتراض بأن "كامل المبلغ" يُستخدم بالضبط لشراء 9 كراسات، وقد يكون هناك خطأ في الأرقام أو في فهم السؤال الأصلي. إذا كان المقصود أن المبلغ قابل للقسمة على 9, فمجموع الأرقام 7505 هو 17, ليس مضاعفا لـ 9. لذا المبلغ ليس قابلا للقسمة على 9.

تصحيح التمرين 10

حساب المبلغ الكلي لسامي:

1 دينار = 1000 مليم.

• 4 قطع من فئة 5 مليمات: $4 \times 5 = 20$ مليم.
• 6 قطع من فئة 5 دينار: $6 \times 5000 = 30000$ مليم.
• 5 قطع من فئة 10 مليمات: $5 \times 10 = 50$ مليم.
• 3 قطع من فئة 10 دنانير: $3 \times 10000 = 30000$ مليم.

المبلغ الإجمالي الأصلي لسامي = $20 + 30000 + 50 + 30000 = 60070$ مليم.

1. عدد القطع الممكن من فئة 100 مليم (أقل من 10) لكي يصبح المبلغ الذي يملكه سامي يمكنه من القسمة بالتساوي مع أصدقائه السبعة. أعل جميع الحلول الممكنة. ما هو نصيب سامي في كل حالة؟

سامي يريد تقسيم المبلغ بالتساوي مع أصدقائه السبعة. هذا يعني أن المبلغ الكلي (بما فيهم سامي) سيقسم على $7+1=8$ أشخاص.

إذن، يجب أن يكون المبلغ الكلي مضاعفاً للعدد 8.

ليكن $N$ هو عدد القطع من فئة 100 مليم التي يضيفها سامي. $0 \le N < 10$.

المبلغ الجديد الكلي = $60070 + N \times 100$ مليم.

يجب أن يقبل $(60070 + 100N)$ القسمة على 8.

للتحقق من قابلية القسمة على 8، ننظر إلى آخر ثلاثة أرقام للعدد.

$60070 + 100N = 60000 + 70 + 100N$.

بما أن 60000 مضاعف لـ 8 ($60000 = 8 \times 7500$).

يجب أن يقبل $(70 + 100N)$ القسمة على 8.

نختبر قيم $N$ من 0 إلى 9:

• إذا $N=0$: $70 \div 8 = 8$ والباقي 6. (لا يقبل)
• إذا $N=1$: $70+100 = 170 \div 8 = 21$ والباقي 2. (لا يقبل)
• إذا $N=2$: $70+200 = 270 \div 8 = 33$ والباقي 6. (لا يقبل)
• إذا $N=3$: $70+300 = 370 \div 8 = 46$ والباقي 2. (لا يقبل)
• إذا $N=4$: $70+400 = 470 \div 8 = 58$ والباقي 6. (لا يقبل)
• إذا $N=5$: $70+500 = 570 \div 8 = 71$ والباقي 2. (لا يقبل)
• إذا $N=6$: $70+600 = 670 \div 8 = 83$ والباقي 6. (لا يقبل)
• إذا $N=7$: $70+700 = 770 \div 8 = 96$ والباقي 2. (لا يقبل)
• إذا $N=8$: $70+800 = 870 \div 8 = 108$ والباقي 6. (لا يقبل)
• إذا $N=9$: $70+900 = 970 \div 8 = 121$ والباقي 2. (لا يقبل)

هذا يعني أنه لا توجد قيمة لـ $N$ (عدد القطع من فئة 100 مليم) من 0 إلى 9 تجعل المبلغ الكلي قابلاً للقسمة على 8.

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في صياغة السؤال أو الأرقام المعطاة، حيث لا توجد حلول ممكنة بالمعطيات الحالية.

تصحيح التمرين 11

ملاحظة: هذا التمرين يبدو غير مكتمل في الصورة. الجزء الأول "بين أن الأعداد التالية" لا يتبعه شرط أو خاصية يجب إثباتها لهذه الأعداد. الجزء الثاني يتعلق بمسألة الميراث ولكنه لا يحدد عدد الرجال والنساء أو المبلغ الكلي. سأقدم توضيحاً عاماً بناءً على المعلومات المتوفرة.

1. الأعداد: $65985$ و $659852$ و $969698$

بدون تحديد "ماذا نبين"، يمكن تحليل بعض خصائص هذه الأعداد:

• 65985: - يقبل القسمة على 5 (لأن آحاده 5). - مجموع أرقامه $6+5+9+8+5 = 33$. يقبل القسمة على 3، لا يقبل القسمة على 9. - لا يقبل القسمة على 2 (فردي)، لا يقبل على 4، لا يقبل على 6، لا يقبل على 8، لا يقبل على 10. - يقبل القسمة على 15 (يقبل على 3 و 5).
• 659852: - يقبل القسمة على 2 (زوجي). - مجموع أرقامه $6+5+9+8+5+2 = 35$. لا يقبل القسمة على 3 ولا على 9. - يقبل القسمة على 4 (لأن 52 يقبل على 4). - لا يقبل القسمة على 6 (لا يقبل على 3).
• 969698: - يقبل القسمة على 2 (زوجي). - مجموع أرقامه $9+6+9+6+9+8 = 47$. لا يقبل القسمة على 3 ولا على 9. - لا يقبل القسمة على 4 (لأن 98 لا يقبل على 4). - لا يقبل القسمة على 6 (لا يقبل على 3).

مسألة ميراث الإخوة:

لفهم هذا الجزء، نحتاج إلى معرفة: 1. المبلغ الكلي للميراث. 2. عدد الإخوة الذكور وعدد الإخوات الإناث (حيث أن النص ذكر "الإخوة الخمسة" وهذا قد يعني 5 ذكور، أو 5 أشخاص إخوة وأخوات).

بشكل عام، في الشريعة الإسلامية، إذا كان هناك ذكور وإناث يرثون نفس الدرجة، فإن نصيب الرجل ضعف نصيب المرأة. إذا كان "الإخوة الخمسة" تعني 5 أشخاص (ذكور وإناث)، فإن المعادلة ستكون: المبلغ الكلي = (عدد الرجال $\times$ 2 وحدة) + (عدد النساء $\times$ 1 وحدة) يجب أن يكون المبلغ الكلي قابلاً للقسمة على مجموع "الوحدات" للحصول على نصيب الوحدة الواحدة (نصيب المرأة)، ثم نصيب الرجل يكون ضعف ذلك.

2. حدد مناب الرجل و مناب المرأة:

لا يمكن تحديد ذلك بدون معرفة المبلغ الكلي وعدد الذكور والإناث. يجب أن يكون المبلغ الكلي مضاعفًا لمجموع أسهم (حصتين للذكر و حصة للأنثى). على سبيل المثال، إذا كان هناك رجل واحد و 4 نساء، فإن مجموع أسهم هو $1 \times 2 + 4 \times 1 = 6$ أسهم. في هذه الحالة، يجب أن يكون المبلغ الكلي مضاعفًا لـ 6.

تصحيح التمرين 12

لدينا شرطان:

1) $a = 90 + b$

2) $GCD(a,b) = 6$

من (2)، نستنتج أن $a$ مضاعف لـ 6 و $b$ مضاعف لـ 6.

يمكننا كتابة $a = 6k$ و $b = 6m$ حيث $k$ و $m$ عددان صحيحان طبيعيان وأوليان فيما بينهما ($GCD(k,m)=1$).

نعوض في المعادلة الأولى:

$$6k = 90 + 6m$$

نقسم جميع الأطراف على 6:

$$k = 15 + m$$

الآن، لدينا $k = 15+m$ و $GCD(k,m)=1$.

بما أن $k = 15+m$, فإن $GCD(15+m, m) = GCD(15, m)$.

وبما أن $GCD(k,m)=1$, يجب أن يكون $GCD(15, m)=1$.

هذا يعني أن $m$ يجب ألا يكون مضاعفًا لـ 3 أو 5 (لأن 15 = $3 \times 5$).

بما أن $b$ عدد طبيعي، فإن $m$ عدد طبيعي. $m \ge 1$.

نختبر قيم $m$ التي ليست مضاعفات لـ 3 أو 5:

• إذا $m=1$: $GCD(15,1)=1$. $k=15+1=16$. $b=6 \times 1 = 6$. $a=6 \times 16 = 96$. التحقق: $90+6=96$. $GCD(96,6)=6$. (حل صحيح)
• إذا $m=2$: $GCD(15,2)=1$. $k=15+2=17$. $b=6 \times 2 = 12$. $a=6 \times 17 = 102$. التحقق: $90+12=102$. $GCD(102,12)=6$. (حل صحيح)
• إذا $m=4$: $GCD(15,4)=1$. $k=15+4=19$. $b=6 \times 4 = 24$. $a=6 \times 19 = 114$. التحقق: $90+24=114$. $GCD(114,24)=6$. (حل صحيح)
• إذا $m=7$: $GCD(15,7)=1$. $k=15+7=22$. $b=6 \times 7 = 42$. $a=6 \times 22 = 132$. التحقق: $90+42=132$. $GCD(132,42)=6$. (حل صحيح)
• إذا $m=8$: $GCD(15,8)=1$. $k=15+8=23$. $b=6 \times 8 = 48$. $a=6 \times 23 = 138$. التحقق: $90+48=138$. $GCD(138,48)=6$. (حل صحيح)
• وهكذا تستمر القيم. ما لم يكن هناك نطاق محدد لـ $a$ و $b$، هناك عدد لا نهائي من الحلول.

القيم الممكنة لـ $(a,b)$ هي من الشكل $(6(15+m), 6m)$ حيث $m$ عدد صحيح طبيعي ليس مضاعفاً لـ 3 أو 5.

تصحيح التمرين 13

1. بين أن $2^{18}-1$ قابل للقسمة على 7:

نحن نعلم من مبرهنة فيرما الصغرى أن $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ إذا كان $p$ عددًا أوليًا و $a$ ليس مضاعفًا لـ $p$.

هنا، $a=2, p=7$. إذن $2^{7-1} = 2^6 \equiv 1 \pmod 7$.

لدينا $2^{18}-1 = (2^6)^3 - 1^3$.

بما أن $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$، فإن $2^{18}-1$ يقبل القسمة على $2^6-1$.

$2^6-1 = 64-1 = 63$.

وبما أن 63 يقبل القسمة على 7 ($63 = 7 \times 9$)، فإن $2^{18}-1$ يقبل القسمة على 7.

2. هل العدد $2^{18}-1$ يقبل القسمة على 4 و 5 في نفس الوقت ؟

$2^{18}-1$ هو عدد فردي ($...-1$). أي عدد فردي لا يمكن أن يكون قابلاً للقسمة على 4.

لذلك، هذا الادعاء خاطئ. لا يمكن أن يكون قابلاً للقسمة على 4.

لنرى قابلية القسمة على 5:

$2^1 \equiv 2 \pmod 5$

$2^2 \equiv 4 \pmod 5$

$2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod 5$

$2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod 5$

$2^{18} = (2^4)^4 \times 2^2 \equiv 1^4 \times 4 \equiv 4 \pmod 5$.

إذن $2^{18}-1 \equiv 4-1 = 3 \pmod 5$.

بما أن الباقي هو 3، فهو لا يقبل القسمة على 5 أيضاً.

هذا الادعاء خاطئ بالكامل.

3. بين أن $3^4+3^5+3^6+3^7$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت:

$$S = 3^4+3^5+3^6+3^7 = 3^4(1+3+3^2+3^3)$$

$$S = 3^4(1+3+9+27) = 3^4(40)$$

$$S = 81 \times 40$$

• قابلية القسمة على 9: بما أن $S = 81 \times 40$، و 81 هو مضاعف لـ 9 ($81 = 9 \times 9$)، فإن $S$ يقبل القسمة على 9. (صحيح)
• قابلية القسمة على 4: بما أن $S = 81 \times 40$، و 40 هو مضاعف لـ 4 ($40 = 4 \times 10$)، فإن $S$ يقبل القسمة على 4. (صحيح)

إذن، العدد قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت.

4. هل العدد $2^{50}-2^{53}$ يقبل القسمة على 3 ؟

$$2^{50}-2^{53} = 2^{50}(1-2^3) = 2^{50}(1-8) = 2^{50}(-7)$$

هذا العدد هو $-7 \times 2^{50}$.

لكي يقبل القسمة على 3، يجب أن يقبل $-7$ القسمة على 3 أو $2^{50}$ القسمة على 3.

$-7 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3$. (لا يقبل القسمة على 3)

بالنسبة لـ $2^{50}$: $2^1 \equiv 2 \pmod 3 \equiv -1 \pmod 3$. $2^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod 3$. $2^{50} = (2^2)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod 3$.

إذن $2^{50}-2^{53} \equiv (-1) \times 1 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3$.

العدد لا يقبل القسمة على 3. هذا الادعاء خاطئ.

5. بين أن العدد $1001 \times 13 + 243 \times 1001 + 5000 \times 1001$ قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت:

$$S = 1001(13 + 243 + 5000)$$

$$S = 1001(5256)$$

• قابلية القسمة على 2: العدد $5256$ زوجي (آحاده 6). إذن $S$ يقبل القسمة على 2. (صحيح)
• قابلية القسمة على 3: مجموع أرقام 1001 هو $1+0+0+1=2$ (لا يقبل على 3). مجموع أرقام 5256 هو $5+2+5+6 = 18$ (يقبل على 3). بما أن أحد العاملين ($5256$) يقبل القسمة على 3، فإن حاصل الضرب $S$ يقبل القسمة على 3. (صحيح)

بما أن العدد يقبل القسمة على 2 و 3، فإنه يقبل القسمة على 6.

6. هل العدد $2200 \times 8666 + 5 \times 8666 + 27022 + 5 \times 36064$ يقبل القسمة على 21 و 9 في نفس الوقت ؟

هذا السؤال طويل ومعقد، ويحتمل أن يكون به أخطاء مطبعية أو يتطلب حلاً باستخدام خواص التوافق (Congruence).

$$E = 2200 \times 8666 + 5 \times 8666 + 27022 + 5 \times 36064$$

$$E = 8666(2200 + 5) + 27022 + 180320$$

$$E = 8666 \times 2205 + 27022 + 180320$$

لنحلل قابلية القسمة على 9:

• $8666$: $8+6+6+6 = 26 \equiv 8 \pmod 9$.
• $2205$: $2+2+0+5 = 9 \equiv 0 \pmod 9$. (يقبل القسمة على 9)
• $27022$: $2+7+0+2+2 = 13 \equiv 4 \pmod 9$.
• $180320$: $1+8+0+3+2+0 = 14 \equiv 5 \pmod 9$.

$$E \equiv (8 \times 0) + 4 + 5 \pmod 9$$

$$E \equiv 0 + 4 + 5 \pmod 9$$

$$E \equiv 9 \equiv 0 \pmod 9$$

إذن، العدد E يقبل القسمة على 9. (صحيح)

لنحلل قابلية القسمة على 21: يجب أن يقبل القسمة على 3 و 7.

بما أنه يقبل القسمة على 9، فهو يقبل القسمة على 3 تلقائيًا. (يبقى التحقق من 7)

• $8666 \div 7 = 1238$ (لا يوجد باقي). إذن $8666 \equiv 0 \pmod 7$.
• $2205 \div 7 = 315$ (لا يوجد باقي). إذن $2205 \equiv 0 \pmod 7$.
• $27022 \div 7 = 3860$ والباقي 2. إذن $27022 \equiv 2 \pmod 7$.
• $180320 \div 7 = 25760$ والباقي 0. إذن $180320 \equiv 0 \pmod 7$.

$$E \equiv (0 \times 0) + 2 + 0 \pmod 7$$

$$E \equiv 2 \pmod 7$$

بما أن باقي قسمة $E$ على 7 هو 2، فإن العدد لا يقبل القسمة على 7، وبالتالي لا يقبل القسمة على 21. الادعاء خاطئ.

7. بين أن إذا كان $n$ عدد صحيح طبيعي فإن $n(n+6)(3n+6)(3n+9)$ (السؤال غير مكتمل)

العبارة "فإن $n(n+6)(3n+6)(3n+9)$" غير مكتملة. لا يوجد فعل أو إشارة إلى ما يجب إثباته. إذا كان المقصود إثبات أنه مضاعف لعدد معين، فسنبسط التعبير: $n(n+6)(3(n+2))(3(n+3)) = 9 n(n+2)(n+3)(n+6)$. هذا التعبير سيكون دائمًا مضاعفًا لـ $9 \times 6 = 54$ (لأن $n(n+2)(n+3)$ يحتوي على حاصل ضرب 3 أعداد متتالية إذا كان $n+1$ يقبل القسمة على 3 أو $n$ أو $n+2$ أو $n+3$ يقبل القسمة على 3.) أو إذا كان $n(n+1)(n+2)(n+3)$ هذا مضاعف لـ 24. بدون شرط محدد، لا يمكن إعطاء تصحيح كامل.

8. هل العدد صحيح زوجي و عدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما؟

لا، ليس دائماً. يمكن أن يكونا غير أوليين فيما بينهما.

مثال: العدد 2 (زوجي) والعدد 9 (فردي). $GCD(2,9)=1$ (أوليان فيما بينهما).

مثال مضاد: العدد 6 (زوجي) والعدد 9 (فردي). $GCD(6,9)=3$. (ليس أوليين فيما بينهما).

الجواب: خطأ (ليس دائماً).

9. نعتبر العدد الصحيح الطبيعي $n$. حدد البواقي الممكنة لقسمة $n$ على 3:

بواقي قسمة أي عدد صحيح طبيعي على 3 هي 0 أو 1 أو 2.

• إذا $n$ مضاعف لـ 3: $n \equiv 0 \pmod 3$.
• إذا $n$ يعطي باقي 1 عند القسمة على 3: $n \equiv 1 \pmod 3$.
• إذا $n$ يعطي باقي 2 عند القسمة على 3: $n \equiv 2 \pmod 3$.

10. بين أن جداء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو مضاعف 3:

لتكن الأعداد المتتالية هي $n, n+1, n+2$.

عند قسمة أي عدد صحيح طبيعي على 3، يكون باقي القسمة إما 0 أو 1 أو 2.

• إذا كان $n \equiv 0 \pmod 3$: فإن $n$ نفسه مضاعف لـ 3. وبالتالي حاصل الضرب $n(n+1)(n+2)$ مضاعف لـ 3.
• إذا كان $n \equiv 1 \pmod 3$: فإن $n+2 \equiv 1+2 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. وبالتالي $n+2$ مضاعف لـ 3. وحاصل الضرب $n(n+1)(n+2)$ مضاعف لـ 3.
• إذا كان $n \equiv 2 \pmod 3$: فإن $n+1 \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. وبالتالي $n+1$ مضاعف لـ 3. وحاصل الضرب $n(n+1)(n+2)$ مضاعف لـ 3.

في جميع الحالات، يكون واحد على الأقل من الأعداد الثلاثة المتتالية مضاعفًا لـ 3. وبالتالي، حاصل ضربهم يكون دائمًا مضاعفًا لـ 3.

11. بين أن $n^2 - n$ يقبل القسمة على 12:

$n^2 - n = n(n-1)$.

لكي يقبل هذا التعبير القسمة على 12، يجب أن يقبل القسمة على 3 وعلى 4 (لأن 3 و 4 أوليان فيما بينهما).

• قابلية القسمة على 3: $n(n-1)$ هو حاصل ضرب عددين متتاليين. من أي عددين متتاليين، أحدهما يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3 (على سبيل المثال، إذا $n \equiv 0 \pmod 3$ أو $n \equiv 1 \pmod 3 \implies n-1 \equiv 0 \pmod 3$). إذن $n(n-1)$ يقبل القسمة على 3.
• قابلية القسمة على 4: $n(n-1)$ هو حاصل ضرب عددين متتاليين. - إذا $n$ زوجي، $n=2k$. إذن $n(n-1) = 2k(2k-1)$. هذا مضاعف لـ 2 فقط (ليس بالضرورة 4). - إذا $n$ فردي، $n-1=2k$. إذن $n(n-1) = n(2k)$. هذا مضاعف لـ 2 فقط.

  هذا يعني أن $n(n-1)$ ليس بالضرورة مضاعفًا لـ 4. مثال: إذا $n=3$, $n(n-1) = 3(2)=6$, لا يقبل القسمة على 4.

إذن، الادعاء بأن $n^2-n$ يقبل القسمة على 12 بشكل عام خاطئ.

ربما كان المقصود هو $n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$ وهو حاصل ضرب ثلاثة أعداد متتالية، وهذا يقبل القسمة على 6. ولكي يقبل القسمة على 12، يجب أن يكون $n(n-1)(n+1)$ مضاعفاً لـ 4. إذا $n$ زوجي: $n=2k$. $(2k)(2k-1)(2k+1)$ مضاعف لـ 2. إذا $n$ فردي: $n-1=2k_1, n+1=2k_2$. $n(2k_1)(2k_2)$. بما أن $n-1$ و $n+1$ عددان زوجيان متتاليان، فإن أحدهما مضاعف لـ 4. إذن $(n-1)(n+1)$ مضاعف لـ 8. وبالتالي $n(n-1)(n+1)$ مضاعف لـ 8. في هذه الحالة $n(n-1)(n+1)$ يقبل القسمة على 8 (إذا $n$ فردي) أو على 2 (إذا $n$ زوجي).

الادعاء الأصلي $n^2-n$ يقبل القسمة على 12 هو خاطئ.

12. بين أن كل عدد صحيح يتكون من 3 أرقام متتالية يقبل القسمة على 3:

هذا السؤال مكرر من التمرين 1، وقد تم تصحيحه هناك. الجواب هو نعم، صحيح.

13. $7 + 8y = x$ حدد باقي و خارج قسمة $x$ على 6:

ملاحظة: هذا السؤال مكرر من التمرين 1، البند 6، ولكن بصيغة مختلفة. وقد وجدنا في تصحيح التمرين 1 أنه لا توجد حلول صحيحة لـ $x$ و $y$ تحقق $x \equiv 0 \pmod 4$ و $7+8y=x$. لذا، من الصعب تحديد باقي وخارج القسمة على 6 إذا كانت المعادلة الأصلية غير قابلة للتحقق. سأفترض أن السؤال يطلب ببساطة باقي قسمة $7+8y$ على 6 بدلالة $y$.

$$x = 7 + 8y$$

نحسب بواقي القسمة على 6 لكل حد:

$$7 \equiv 1 \pmod 6$$

$$8y \equiv 2y \pmod 6$$

إذن:

$$x \equiv 1 + 2y \pmod 6$$

لذا، باقي قسمة $x$ على 6 يعتمد على قيمة $y$.

• إذا $y$ زوجي، $y=2k$: $x \equiv 1 + 2(2k) \equiv 1+4k \pmod 6$. - If $k=0 \implies y=0 \implies x \equiv 1 \pmod 6$. - If $k=1 \implies y=2 \implies x \equiv 1+4=5 \pmod 6$. - If $k=2 \implies y=4 \implies x \equiv 1+8=9 \equiv 3 \pmod 6$.
• إذا $y$ فردي، $y=2k+1$: $x \equiv 1 + 2(2k+1) \equiv 1+4k+2 \equiv 3+4k \pmod 6$. - If $k=0 \implies y=1 \implies x \equiv 3 \pmod 6$. - If $k=1 \implies y=3 \implies x \equiv 3+4=7 \equiv 1 \pmod 6$. - If $k=2 \implies y=5 \implies x \equiv 3+8=11 \equiv 5 \pmod 6$.

بواقي قسمة $x$ على 6 يمكن أن تكون 1, 3, 5.

الخارج: خارج القسمة هو $\lfloor (7+8y)/6 \rfloor$.

14. بين $(2^{20}-2^{10}) \div (2^{10}-1)$ يقبل القسمة على 63:

$$\frac{2^{20}-2^{10}}{2^{10}-1} = \frac{2^{10}(2^{10}-1)}{2^{10}-1}$$

إذا كان $2^{10}-1 \neq 0$ (وهو صحيح، $2^{10}-1 = 1023$),

$$= 2^{10} = 1024$$

الآن نتحقق إذا كان 1024 يقبل القسمة على 63.

$1024 \div 63 = 16$ والباقي $16 \times 63 = 1008$, $1024 - 1008 = 16$.

باقي قسمة 1024 على 63 هو 16.

إذن، العدد لا يقبل القسمة على 63. هذا الادعاء خاطئ.

تصحيح التمرين 15

A) بين أن $8^n = 8^x \times 8^y$:

من قوانين أسس، إذا كان لدينا حاصل ضرب قوى لها نفس أساس، نجمع أسس:

$$8^x \times 8^y = 8^{x+y}$$

لذلك، لكي تكون $8^n = 8^x \times 8^y$ صحيحة، يجب أن يكون $n = x+y$.

هذه عبارة صحيحة إذا كان $n=x+y$.

B) استنتج القواسم الأولية للعدد: $8^n + 8^{n-1} + \dots + 8^1$:

هنا، سنفترض أن العدد هو مجموع متسلسلة هندسية تبدأ من $8^1$ وتنتهي عند $8^n$. يمكن إعادة كتابة هذا المجموع بأخذ 8 كعامل مشترك:

$$S = 8^n + 8^{n-1} + \dots + 8^1$$

$$S = 8(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 8^0)$$

الحد داخل القوس هو مجموع متسلسلة هندسية حدها الأول $a=1$, نسبتها $r=8$, وعدد حدودها $n$.

$$\sum_{i=0}^{n-1} 8^i = \frac{8^n - 1}{8-1} = \frac{8^n - 1}{7}$$

إذن، العدد المطلوب هو:

$$S = 8 \left(\frac{8^n - 1}{7}\right)$$

قواسم العدد $S$ ستشمل القواسم الأولية لـ 8 (وهي 2) والقواسم الأولية للكسر $\frac{8^n-1}{7}$.

القواسم الأولية لـ 8 هي 2.

القواسم الأولية لـ $\frac{8^n-1}{7}$ تعتمد على قيمة $n$.

• إذا $n=1$: $S = 8 \times \frac{8^1-1}{7} = 8 \times \frac{7}{7} = 8$. القواسم الأولية هي 2.
• إذا $n=2$: $S = 8 \times \frac{8^2-1}{7} = 8 \times \frac{63}{7} = 8 \times 9 = 72$. القواسم الأولية هي 2 و 3.
• إذا $n=3$: $S = 8 \times \frac{8^3-1}{7} = 8 \times \frac{511}{7} = 8 \times 73$. القواسم الأولية هي 2 و 73.
• إذا $n=4$: $S = 8 \times \frac{8^4-1}{7} = 8 \times \frac{4095}{7} = 8 \times 585 = 8 \times 5 \times 117 = 8 \times 5 \times 9 \times 13$. القواسم الأولية هي 2, 3, 5, 13.

بشكل عام، القواسم الأولية ستتضمن 2، بالإضافة إلى القواسم الأولية للعدد $\frac{8^n-1}{7}$.

ملاحظة: إذا كان المقصود هو $8^n + 8^{n-1} + \dots + 8^1 + 8^0$ (مجموع متسلسلة هندسية كاملة)، لكان التعبير $\frac{8^{n+1}-1}{7}$. ولكن السؤال نص على $8^1$.

تصحيح التمرين 16

1. هل العدد $2018 + 3^{2015}$ يقبل القسمة على 15 ؟

يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5.

• قابلية القسمة على 3: $2018$: $2+0+1+8 = 11 \equiv 2 \pmod 3$. $3^{2015}$: مضاعف لـ 3 ($3^{2015} = 3 \times 3^{2014}$) إذن $3^{2015} \equiv 0 \pmod 3$. المجموع $2018 + 3^{2015} \equiv 2 + 0 \equiv 2 \pmod 3$. بما أن الباقي هو 2، فإن العدد لا يقبل القسمة على 3.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 15.

2. هل العدد $1038 + 91020 + 3^{1020}$ يقبل القسمة على 15 ؟

يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5.

• قابلية القسمة على 5: $1038 \equiv 3 \pmod 5$. $91020 \equiv 0 \pmod 5$ (آحاده 0). $3^{1020}$: $3^1 \equiv 3 \pmod 5$ $3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod 5$ $3^3 \equiv 12 \equiv 2 \pmod 5$ $3^4 \equiv 6 \equiv 1 \pmod 5$. دليل القوة 1020 يقبل القسمة على 4 ($1020 = 4 \times 255$). إذن $3^{1020} = (3^4)^{255} \equiv 1^{255} \equiv 1 \pmod 5$. المجموع $1038 + 91020 + 3^{1020} \equiv 3 + 0 + 1 \equiv 4 \pmod 5$. بما أن الباقي هو 4، فإن العدد لا يقبل القسمة على 5.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 15.

3. هل العدد $1010 + 3^{1011} + 2^{1010}$ يقبل القسمة على 42 ؟

يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3 و 7 (لأن $42 = 2 \times 3 \times 7$).

• قابلية القسمة على 2: $1010$: زوجي. $3^{1011}$: فردي. $2^{1010}$: زوجي. المجموع (زوجي + فردي + زوجي) هو فردي. بما أن المجموع فردي، فإنه لا يقبل القسمة على 2.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 42.

4. هل العدد $1115336 + 7 \times 125$ يقبل القسمة على 11 ؟

قاعدة قابلية القسمة على 11 (مجموع الأرقام في المواضع الفردية - مجموع الأرقام في المواضع الزوجية).

• $1115336$: $(6+3+1+1) - (3+5+1) = 11 - 9 = 2$. إذن $1115336 \equiv 2 \pmod{11}$.
• $7 \times 125 = 875$: $(5+8) - 7 = 13 - 7 = 6$. إذن $875 \equiv 6 \pmod{11}$.

المجموع $1115336 + 875 \equiv 2 + 6 \equiv 8 \pmod{11}$.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 11.

5. هل العدد $49 \times 3^{121} + 2 \times 7^{121}$ يقبل القسمة على 51 ؟

العدد 51 = $3 \times 17$. يجب أن يقبل القسمة على 3 و 17.

$$E = 49 \times 3^{121} + 2 \times 7^{121}$$

• قابلية القسمة على 3: $49 \times 3^{121}$: بما أن $3^{121}$ مضاعف لـ 3، فإن هذا الحد مضاعف لـ 3. $2 \times 7^{121}$: 2 و 7 ليسا مضاعفين لـ 3. $7 \equiv 1 \pmod 3$. $7^{121} \equiv 1^{121} \equiv 1 \pmod 3$. إذن $2 \times 7^{121} \equiv 2 \times 1 \equiv 2 \pmod 3$. المجموع $E \equiv 0 + 2 \equiv 2 \pmod 3$. بما أن الباقي هو 2، فإن العدد لا يقبل القسمة على 3.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 51.

6. هل العدد $1060 + 8^{1015} \times 3 + 2^{1014}$ يقبل القسمة على 44 ؟

العدد 44 = $4 \times 11$. يجب أن يقبل القسمة على 4 و 11.

$$E = 1060 + 8^{1015} \times 3 + 2^{1014}$$

يمكن كتابة $8^{1015} = (2^3)^{1015} = 2^{3045}$.

$$E = 1060 + 3 \times 2^{3045} + 2^{1014}$$

$$E = 1060 + 2^{1014}(3 \times 2^{3045-1014} + 1)$$

$$E = 1060 + 2^{1014}(3 \times 2^{2031} + 1)$$

• قابلية القسمة على 4: $1060$: يقبل القسمة على 4 (لأن 60 يقبل على 4). $1060 \equiv 0 \pmod 4$. $2^{1014}$: بما أن $1014 \ge 2$, فإن $2^{1014}$ مضاعف لـ 4. $2^{1014} \equiv 0 \pmod 4$. المجموع $E \equiv 0 + 0 \times (\dots) \equiv 0 \pmod 4$. إذن العدد يقبل القسمة على 4. (صحيح)
• قابلية القسمة على 11: $1060$: $0-6+0-1 = -7 \equiv 4 \pmod{11}$. $8^{1015}$: $8^1 \equiv 8 \equiv -3 \pmod{11}$ $8^2 \equiv (-3)^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$ $8^3 \equiv (-3)(-2) = 6 \pmod{11}$ $8^4 \equiv 6 \times (-3) = -18 \equiv 4 \pmod{11}$ $8^5 \equiv 4 \times (-3) = -12 \equiv -1 \pmod{11}$ $8^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{11}$. $1015 = 10 \times 101 + 5$. $8^{1015} = (8^{10})^{101} \times 8^5 \equiv 1^{101} \times (-1) \equiv -1 \pmod{11}$. $3 \times 8^{1015} \equiv 3 \times (-1) = -3 \equiv 8 \pmod{11}$. $2^{1014}$: $2^1 \equiv 2 \pmod{11}$ $2^2 \equiv 4 \pmod{11}$ $2^3 \equiv 8 \equiv -3 \pmod{11}$ $2^4 \equiv -6 \equiv 5 \pmod{11}$ $2^5 \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}$ $2^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{11}$. $1014 = 10 \times 101 + 4$. $2^{1014} = (2^{10})^{101} \times 2^4 \equiv 1^{101} \times 5 \equiv 5 \pmod{11}$. المجموع $E \equiv 4 + 8 + 5 \pmod{11}$ $E \equiv 17 \equiv 6 \pmod{11}$. بما أن الباقي هو 6، فإن العدد لا يقبل القسمة على 11.

الادعاء خاطئ. العدد لا يقبل القسمة على 44.