1

القسمة على 7

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 7:

$2^{18} - 2^{15}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أخرج العامل المشترك $2^{15}$ من الحدين.

📝 الطريقة

$2^{18} - 2^{15} = 2^{15}(2^3 - 1) = 2^{15}(8 - 1) = 2^{15} \times 7$

✅ الحل الكامل

التحليل بإخراج العامل المشترك:

$2^{18} - 2^{15} = 2^{15}(2^3 - 1) = 2^{15} \times 7$

النتيجة: العدد يحتوي على العامل 7، إذن يقبل القسمة على 7. ✓

2

القسمة على 4 و 5

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت:

$2^{18} + 2^{16}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أخرج العامل المشترك $2^{16}$، واحسب القيمة داخل القوسين.

📝 الطريقة

$2^{18} + 2^{16} = 2^{16}(2^2 + 1) = 2^{16} \times 5$

نتحقق من القسمة على 4 وعلى 5.

✅ الحل الكامل

التحليل:

$2^{18} + 2^{16} = 2^{16}(2^2 + 1) = 2^{16} \times 5$

القسمة على 4: $2^{16} = (2^2)^8 = 4^8$ يقبل القسمة على 4 ✓

القسمة على 5: العدد يحتوي على العامل 5 ✓

النتيجة: العدد يقبل القسمة على 4 و 5 في نفس الوقت. ✓

3

القسمة على 9 و 4

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت:

$3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الحدود الأربعة متطابقة، إذن المجموع هو $4 \times 3^4$.

📝 الطريقة

$3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4 = 4 \times 3^4$

نحسب $3^4 = 81$، إذن التعبير = $4 \times 81 = 324$

✅ الحل الكامل

التبسيط:

$3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4 = 4 \times 3^4 = 4 \times 81 = 324$

تحليل 324: $324 = 4 \times 81 = 4 \times 9^2 = 4 \times 9 \times 9 = 36 \times 9$

القسمة على 4: العدد يحتوي على العامل 4 ✓

القسمة على 9: $324 = 36 \times 9$ يحتوي على العامل 9 ✓

النتيجة: العدد يقبل القسمة على 9 و 4 في نفس الوقت. ✓

4

القسمة على 3

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 3:

$5^{103} - 2 \times 25^{50}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

$25 = 5^2$، لذا $25^{50} = 5^{100}$. أخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

$5^{103} - 2 \times 25^{50} = 5^{103} - 2 \times 5^{100} = 5^{100}(5^3 - 2) = 5^{100} \times 123$

نتحقق من أن 123 يقبل القسمة على 3.

✅ الحل الكامل

التحليل:

$5^{103} - 2 \times 25^{50} = 5^{103} - 2 \times 5^{100} = 5^{100}(5^3 - 2)$

$= 5^{100}(125 - 2) = 5^{100} \times 123$

تحقق من القسمة على 3:

$123 = 1 + 2 + 3 = 6$، مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3

أو: $123 = 3 \times 41$

النتيجة: العدد يحتوي على العامل 3، إذن يقبل القسمة على 3. ✓

5

القسمة على 3 و 2

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت:

$243^{1001} - 13 \times 3^{5000}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

$243 = 3^5$، لذا $243^{1001} = 3^{5005}$. أخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

$243^{1001} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5005} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5000}(3^5 - 13) = 3^{5000} \times 230$

✅ الحل الكامل

التحليل:

$243^{1001} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5005} - 13 \times 3^{5000}$

$= 3^{5000}(3^5 - 13) = 3^{5000}(243 - 13) = 3^{5000} \times 230$

تحليل 230: $230 = 23 \times 10 = 23 \times 2 \times 5$

القسمة على 3: العدد يحتوي على العامل $3^{5000}$ ✓

القسمة على 2: العدد يحتوي على العامل 2 ✓

النتيجة: العدد يقبل القسمة على 3 و 2 في نفس الوقت. ✓

6

القسمة على 21 و 4

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 21 و 4 في نفس الوقت:

$8^{666} + 5 \times 2^{2000}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

$8 = 2^3$، لذا $8^{666} = 2^{1998}$. أخرج العامل المشترك. تذكر أن $21 = 3 \times 7$.

📝 الطريقة

$8^{666} + 5 \times 2^{2000} = 2^{1998} + 5 \times 2^{2000} = 2^{1998}(1 + 5 \times 2^2) = 2^{1998} \times 21$

✅ الحل الكامل

التحليل:

$8^{666} + 5 \times 2^{2000} = 2^{1998} + 5 \times 2^{2000}$

$= 2^{1998}(1 + 5 \times 2^2) = 2^{1998}(1 + 20) = 2^{1998} \times 21$

القسمة على 21: العدد يحتوي على العامل 21 ✓

القسمة على 4: $2^{1998} = (2^2)^{999} = 4^{999}$ يقبل القسمة على 4 ✓

النتيجة: العدد يقبل القسمة على 21 و 4 في نفس الوقت. ✓

7

القسمة على 7

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 7:

$27^{2022} + 5 \times 3^{6064}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

$27 = 3^3$، لذا $27^{2022} = 3^{6066}$. أخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

$27^{2022} + 5 \times 3^{6064} = 3^{6066} + 5 \times 3^{6064} = 3^{6064}(3^2 + 5) = 3^{6064} \times 14$

$14 = 2 \times 7$، إذن العدد يحتوي على العامل 7.

✅ الحل الكامل

التحليل:

$27^{2022} + 5 \times 3^{6064} = 3^{6066} + 5 \times 3^{6064}$

$= 3^{6064}(3^2 + 5) = 3^{6064}(9 + 5) = 3^{6064} \times 14$

تحليل 14: $14 = 2 \times 7$

القسمة على 7: العدد يحتوي على العامل 7 ✓

النتيجة: العدد يقبل القسمة على 7. ✓

8

تعبيران عن n

نظرية عامة

بين أنه إذا كان n عدد صحيح طبيعي فإن:

$6n+3$ و $3n+6$

لهما عامل مشترك أكبر يساوي 3.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أخرج العامل 3 من كل تعبير، ثم ادرس العامل المشترك الأكبر للتعبيرين المبسطين.

📝 الطريقة

$6n+3 = 3(2n+1)$ و $3n+6 = 3(n+2)$

نحتاج لإيجاد العامل المشترك الأكبر بين $2n+1$ و $n+2$.

✅ الحل الكامل

التحليل:

$6n+3 = 3(2n+1)$ و $3n+6 = 3(n+2)$

إيجاد $\gcd(2n+1, n+2)$:

$(2n+1) - 2(n+2) = 2n+1-2n-4 = -3$

إذن $\gcd(2n+1, n+2) = \gcd(n+2, 3)$

بما أن 3 عدد أولي، فإن $\gcd(n+2, 3) = 1$ أو $3$

لكن بشكل عام، $\gcd(2n+1, n+2) = 1$ أو $3$

النتيجة: العامل المشترك الأكبر بين $6n+3$ و $3n+6$ هو 3. ✓

9

العدد الصحيح الفردي n

خصائص الأعداد

نعتبر العدد الصحيح الطبيعي الفردي n. أثبت أن:

$n^3 - n$ يقبل القسمة على 12

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

حلل $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$. هذا جداء ثلاثة أعداد متتالية.

📝 الطريقة

$n^3 - n = n(n-1)(n+1)$

بما أن n فردي، فإن $n-1$ و $n+1$ زوجيان.

نحتاج للإثبات أن الجداء يقبل القسمة على $12 = 4 \times 3$.

✅ الحل الكامل

التحليل أساسي:

$n^3 - n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$

القسمة على 3:

من بين ثلاثة أعداد متتالية $n-1$، $n$، $n+1$، واحد على الأقل يقبل القسمة على 3

إذن الجداء يقبل القسمة على 3 ✓

القسمة على 4:

بما أن n فردي، فإن $n-1$ و $n+1$ زوجيان ومتتاليان

من بين عددين زوجيين متتاليين، واحد يقبل القسمة على 4

إذن $(n-1)(n+1)$ يقبل القسمة على $2 \times 4 = 8$

وبالتالي $n(n-1)(n+1)$ يقبل القسمة على 4 ✓

النتيجة: $n^3 - n$ يقبل القسمة على $3 \times 4 = 12$. ✓

دليل حل التمارين بالتحليل والتبسيط

🔍 استراتيجيات الحل

⚠️ تذكيرات مهمة

تمارين القسمة والأعداد الطبيعية

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل بإخراج العامل المشترك:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التبسيط:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل:

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل

التحليل أساسي: