تمارين قابلية القسمة

من الصفحة 22 في الملف:

• عدد يقبل القسمة على 2 إذا كان زوجيًا (رقم الآحاد 0، 2، 4، 6، 8)
• عدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3

الحل: 525252 (زوجي ومجموع أرقامه 2+5+2+5+2+5 = 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 22:

• 26523 (مجموع الأرقام: 2+6+5+2+3 = 18 يقبل القسمة على 3)
• 525252 (مجموع الأرقام: 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 24:

• عدد يقبل القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آخر رقمين يقبل القسمة على 4
• 525252 (52 ÷ 4 = 13، ومجموع الأرقام 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 5: يجب أن ينتهي العدد بـ 0 أو 5 ⇒ y ∈ {0,5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 3

الحلول الممكنة:

• 3420 (3+4+2+0=9)
• 3450 (3+4+5+0=12)
• 3480 (3+4+8+0=15)
• 3405 (3+4+0+5=12)
• 3435 (3+4+3+5=15)
• 3465 (3+4+6+5=18)
• 3495 (3+4+9+5=21)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 5: y ∈ {0,5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 9

الحلول الممكنة:

• 3420 (3+4+2+0=9)
• 3465 (3+4+6+5=18)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 25: يجب أن ينتهي العدد بـ 00، 25، 50 أو 75
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 3

الحلول الممكنة:

• 3450 (3+4+5+0=12)

من الصفحة 24:

عدد يقبل القسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر 3 أرقام يقبل القسمة على 8

• 32085: 085 ÷ 8 = 10.625 ← لا يقبل
• 4098721: 721 ÷ 8 = 90.125 ← لا يقبل
• 78456: 456 ÷ 8 = 57 ← يقبل القسمة
• 65400: 400 ÷ 8 = 50 ← يقبل القسمة
• 100170: 170 ÷ 8 = 21.25 ← لا يقبل

الأعداد التي تقبل القسمة على 8: 78456 ، 65400

من الصفحة 40 (خاصية توزيع الضرب):

2¹⁸ - 2¹⁵ = 2¹⁵(2³ - 1) = 2¹⁵ × 7

بما أن العدد يحتوي على 7 كعامل، فهو يقبل القسمة على 7

من الصفحة 28:

في أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، يوجد دائماً عدد واحد على الأقل يقبل القسمة على 3

لذلك، جداء هذه الأعداد الثلاثة سيقبل القسمة على 3

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 15، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 و 5.

العدد هو A = 3²⁰¹⁵ + 3²⁰¹³.

• القسمة على 3: كلا الحدين (3²⁰¹⁵ و 3²⁰¹³) هما من قوى العدد 3، وبالتالي يقبلان القسمة على 3. مجموعهما يقبل القسمة على 3.
• القسمة على 5: نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (3²⁰¹³):
  A = 3²⁰¹³ (3² + 1) = 3²⁰¹³ (9 + 1) = 3²⁰¹³ × 10
  بما أن 10 = 2 × 5، فإن A = 3²⁰¹³ × 2 × 5. العدد A يحتوي على العامل 5، إذن هو قابل للقسمة على 5.

الخلاصة: بما أن العدد قابل للقسمة على 3 و 5، فهو قابل للقسمة على 15.

العدد هو B = 9¹⁰²⁰ + 3²⁰³⁸. نوحد أساسات إلى 3 (9 = 3²):
9¹⁰²⁰ = (3²)¹⁰²⁰ = 3²⁰⁴⁰
إذن B = 3²⁰⁴⁰ + 3²⁰³⁸.

• القسمة على 3: كلا الحدين من قوى العدد 3، فمجموعهما يقبل القسمة على 3.
• القسمة على 5: نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (3²⁰³⁸):
  B = 3²⁰³⁸ (3² + 1) = 3²⁰³⁸ (9 + 1) = 3²⁰³⁸ × 10
  بما أن 10 من مضاعفات 5، فإن العدد B قابل للقسمة على 5.

الخلاصة: بما أن العدد قابل للقسمة على 3 و 5، فهو قابل للقسمة على 15.

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 42، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 2، 3، و 7.

العدد هو C = 9¹⁰⁰ + 3²⁰⁴. نوحد أساسات: C = (3²)¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ = 3²⁰⁰ + 3²⁰⁴.

نقوم بالتعميل: C = 3²⁰⁰ (1 + 3⁴) = 3²⁰⁰ (1 + 81) = 3²⁰⁰ × 82 = 3²⁰⁰ × 2 × 41.

• القسمة على 2: نعم، لأنه يوجد العامل 2.
• القسمة على 3: نعم، لأنه يوجد العامل 3²⁰⁰.
• القسمة على 7: لا. العوامل الأولية للعدد C هي 2، 3، و 41. لا يوجد العامل 7.

الخلاصة: العدد C = 3²⁰⁰ × 82 قابل للقسمة على 82. ✓ (ولاحظ أنّ العامل 7 غائب، فالعدد لا يقبل القسمة على 42.)

العدد هو D = 5³³⁶ + 7 × 125¹¹¹. نوحد أساسات إلى 5 (125 = 5³):
D = 5³³⁶ + 7 × (5³)¹¹¹ = 5³³⁶ + 7 × 5³³³.

نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (5³³³):
D = 5³³³ (5³ + 7) = 5³³³ (125 + 7) = 5³³³ × 132.

نختبر قابلية 132 للقسمة على 11: 132 ÷ 11 = 12. إذن 132 = 12 × 11.

يصبح العدد D = 5³³³ × 12 × 11.

الخلاصة: بما أن 11 هو عامل في جداء D، فإن العدد D قابل للقسمة على 11.

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 51، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 و 17.

العدد هو E = 2 × 7¹²¹ + 3 × 49⁶⁰. نوحد أساسات (49 = 7²):
E = 2 × 7¹²¹ + 3 × (7²)⁶⁰ = 2 × 7¹²¹ + 3 × 7¹²⁰.

نقوم بالتعميل: E = 7¹²⁰ (2 × 7 + 3) = 7¹²⁰ (14 + 3) = 7¹²⁰ × 17.

• القسمة على 17: نعم، لأنه يوجد العامل 17.
• القسمة على 3: نختبر قابلية القسمة على 3. 7 ≡ 1 (mod 3)، إذن 7¹²⁰ ≡ 1¹²⁰ ≡ 1 (mod 3). و 17 ≡ 2 (mod 3). إذن E ≡ 1 × 2 ≡ 2 (mod 3). العدد غير قابل للقسمة على 3.

الخلاصة: العدد E = 7¹²⁰ × 17 قابل للقسمة على 17. ✓ (ولاحظ أنّ العامل 3 غائب، فالعدد لا يقبل القسمة على 51.)

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 44، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 4 و 11.

العدد هو F = 2³⁰¹⁴ + 4¹⁵⁰⁶ + 3 × 8¹⁰⁰⁵. نوحد أساسات إلى 2:
F = 2³⁰¹⁴ + (2²)¹⁵⁰⁶ + 3 × (2³)¹⁰⁰⁵ = 2³⁰¹⁴ + 2³⁰¹² + 3 × 2³⁰¹⁵.

نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (2³⁰¹²):
F = 2³⁰¹² (2² + 1 + 3 × 2³) = 2³⁰¹² (4 + 1 + 3 × 8) = 2³⁰¹² (5 + 24) = 2³⁰¹² × 29.

• القسمة على 4: نعم، لأن العامل 2³⁰¹² هو من مضاعفات 2²=4.
• القسمة على 11: لا. العوامل الأولية للعدد F هي 2 و 29. لا يوجد العامل 11.

الخلاصة: العدد F = 2³⁰¹² × 29 قابل للقسمة على 29. ✓ (ولاحظ أنّ العامل 11 غائب، فالعدد لا يقبل القسمة على 44.)