دليل المساعدة لسلسلة تمارين في قابلية القسمة

يوفر هذا الدليل إرشادات لحل التمارين المتعلقة بإثبات قابلية القسمة للتعابير الجبرية باستخدام توحيد أساسات واستخراج العامل المشترك، مع التركيز على القوى والقواسم مثل 12، 15.

سلسلة تمارين في قابلية القسمة

نمط عصري - دفواراتي
1 قسمة العدد \(7 \times 2^{121} + 8^{40}\) على 15

بيّن أن العدد \(7 \times 2^{121} + 8^{40}\) يقبل القسمة على 15.

💡 مؤشر

حاول تحويل جميع الحدود إلى نفس أساس ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 8 كقوة للعدد 2.
  2. عوض في العبارة الأصلية.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(8 = 2^3 \rightarrow (2^3)^{40} = 2^{120}\)
  2. العبارة تصبح \(7 \times 2^{121} + 2^{120}\)
  3. \(2^{121} = 2 \times 2^{120}\) donc \(7 \times (2 \times 2^{120}) + 2^{120}\)
  4. \(2^{120}\) عامل مشترك: \(2^{120} \times (7 \times 2 + 1) = 2^{120} \times 15\)
  5. العدد يقبل القسمة على 15.
2 قسمة العدد \(9^{700} + 7 \times 27^{466}\) على 12

بيّن أن العدد \(9^{700} + 7 \times 27^{466}\) يقبل القسمة على 12.

💡 مؤشر

حاول توحيد أساسات (9 و27) إلى قوة للعدد 3.

📝 الطريقة

  1. اكتب 9 و27 كقوى للعدد 3.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\)
  2. \(3^{2 \times 700} + 7 \times 3^{3 \times 466} = 3^{1400} + 7 \times 3^{1398}\)
  3. \(3^{1400} = 9 \times 3^{1398}\)
  4. يصبح \(3^{1398} \times (9 + 7) = 3^{1398} \times 16\)
  5. \(16 = 4 \times 4\), و \(3^{1398}\) يقبل القسمة على 3. إذًا العدد يقبل القسمة على 12.
3 قسمة العدد \(5^{720} + 2 \times 25^{359}\) على 15

بيّن أن العدد \(5^{720} + 2 \times 25^{359}\) يقبل القسمة على 15.

💡 مؤشر

اكتب 25 كقوة للعدد 5 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 25 كقوة للعدد 5.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(25 = 5^2\), \((5^2)^{359} = 5^{718}\)
  2. تصبح العبارة \(5^{720} + 2 \times 5^{718}\)
  3. \(5^{720} = 25 \times 5^{718}\)
  4. يصبح \(5^{718} \times (25 + 2) = 5^{718} \times 27\)
  5. \(27 = 3 \times 9\), و \(5^{718}\) يقبل القسمة على 5. إذًا العدد يقبل القسمة على 15.
4 قسمة العدد \(2^{13} - 5 \times 4^5\) على 12

بيّن أن العدد \(2^{13} - 5 \times 4^5\) يقبل القسمة على 12.

💡 مؤشر

اكتب 4 كقوة للعدد 2 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 4 كقوة للعدد 2.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(4 = 2^2\), \((2^2)^5 = 2^{10}\)
  2. تصبح العبارة \(2^{13} - 5 \times 2^{10}\)
  3. \(2^{13} = 8 \times 2^{10}\)
  4. يصبح \(2^{10} \times (8 - 5) = 2^{10} \times 3\)
  5. \(3 \times 2^{10}\) يقبل القسمة على 12.
5 قسمة العدد \(3^{113} + 5 \times 3^{111}\) على 6

بيّن أن العدد \(3^{113} + 5 \times 3^{111}\) يقبل القسمة على 6.

💡 مؤشر

استخدم قاعدة ضرب القوى واستخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. فكك القوى الأكبر.
  2. استخرج العامل المشترك.
  3. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(3^{113} = 9 \times 3^{111}\)
  2. يصبح \(3^{111} \times (9 + 5) = 3^{111} \times 14\)
  3. \(14 = 2 \times 7\), و \(3^{111}\) يقبل القسمة على 3. إذًا العدد يقبل القسمة على 6.
6 قسمة العدد \(5^{123} - 2 \times 25^{60}\) على 15

بيّن أن العدد \(5^{123} - 2 \times 25^{60}\) يقبل القسمة على 15.

💡 مؤشر

اكتب 25 كقوة للعدد 5 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 25 كقوة للعدد 5.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(25 = 5^2\), \((5^2)^{60} = 5^{120}\)
  2. تصبح العبارة \(5^{123} - 2 \times 5^{120}\)
  3. \(5^{123} = 125 \times 5^{120}\)
  4. يصبح \(5^{120} \times (125 - 2) = 5^{120} \times 123\)
  5. \(123 = 3 \times 41\), و \(5^{120}\) يقبل القسمة على 5. إذًا العدد يقبل القسمة على 15.
7 قسمة العدد \(9^{25} + 13 \times 3^{47}\) على 12

بيّن أن العدد \(9^{25} + 13 \times 3^{47}\) يقبل القسمة على 12.

💡 مؤشر

اكتب 9 كقوة للعدد 3 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 9 كقوة للعدد 3.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(9 = 3^2\), \((3^2)^{25} = 3^{50}\)
  2. تصبح العبارة \(3^{50} + 13 \times 3^{47}\)
  3. \(3^{50} = 27 \times 3^{47}\)
  4. يصبح \(3^{47} \times (27 + 13) = 3^{47} \times 40\)
  5. \(40 = 4 \times 10\), و \(3^{47}\) يقبل القسمة على 3. إذًا العدد يقبل القسمة على 12.
8 قسمة العدد \(25^{30} + 5^{61}\) على 15

بيّن أن العدد \(25^{30} + 5^{61}\) يقبل القسمة على 15.

💡 مؤشر

اكتب 25 كقوة للعدد 5 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 25 كقوة للعدد 5.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(25 = 5^2\), \((5^2)^{30} = 5^{60}\)
  2. تصبح العبارة \(5^{60} + 5^{61}\)
  3. \(5^{61} = 5 \times 5^{60}\)
  4. يصبح \(5^{60} \times (1 + 5) = 5^{60} \times 6\)
  5. \(6 = 3 \times 2\), و \(5^{60}\) يقبل القسمة على 5. إذًا العدد يقبل القسمة على 15.
9 قسمة العدد \(9^8 - 5 \times 3^{14}\) على 12

بيّن أن العدد \(9^8 - 5 \times 3^{14}\) يقبل القسمة على 12.

💡 مؤشر

اكتب 9 كقوة للعدد 3 ثم استخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

  1. اكتب 9 كقوة للعدد 3.
  2. عوض في العبارة.
  3. طبّق قاعدة ضرب القوى.
  4. استخرج العامل المشترك.
  5. ابحث عن قابلية القسمة النهائية.

✅ الحل الكامل

  1. \(9 = 3^2\), \((3^2)^8 = 3^{16}\)
  2. تصبح العبارة \(3^{16} - 5 \times 3^{14}\)
  3. \(3^{16} = 9 \times 3^{14}\)
  4. يصبح \(3^{14} \times (9 - 5) = 3^{14} \times 4\)
  5. \(4 \times 3^{14}\) يقبل القسمة على 12.