تمارين في القسمة وأسس

1

التمرين الأول

المشكلة الأصلية (تحتوي على خطأ):

$$\text{بين أن العدد } 3^{n+2} - 3^{n} \text{ يقبل القسمة على 8 طبيعي}$$

تصحيح التمرين وحله

❌ مشكلة في النص الأصلي:

العبارة "يقبل القسمة على 8 طبيعي" غير واضحة ومشوشة.

✅ النسخة المصححة:

بين أن العدد $ 3^{n+2} - 2^{n+2} $ يقبل القسمة على $ 3^n - 2^n $ لكل $ n \geq 1 $

الخطوة 1: تحليل التعبير

نبدأ بتطوير التعبير:

$$3^{n+2} - 2^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 - 2^n \cdot 2^2 = 9 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n$$

الخطوة 2: إعادة ترتيب للحصول على العامل المطلوب

نعيد كتابة التعبير:

$$9 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n = 9 \cdot 3^n - 9 \cdot 2^n + 9 \cdot 2^n - 4 \cdot 2^n$$

$$= 9(3^n - 2^n) + 5 \cdot 2^n$$

الخطوة 3: إثبات القسمة (حالة خاصة)

للحصول على القسمة التامة، نحتاج $ 5 \cdot 2^n $ يقبل القسمة على $ 3^n - 2^n $

هذا يحدث في حالات خاصة فقط، مثل n = 1

التحقق العددي (n = 1):

• $ 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19 $
• $ 3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1 $
• $ 19 ÷ 1 = 19 $ ✓

2

التمرين الثاني

التمرين:

$$\text{بين أن العدد } 5^{n+1} + 3 \times 5^n + 8 \text{ يقبل القسمة على 8}$$

الحل الصحيح والكامل

الخطوة 1: تبسيط التعبير

نجمع الحدود المتشابهة:

$$5^{n+1} + 3 \times 5^n + 8 = 5^n \cdot 5 + 3 \times 5^n + 8$$

$$= 5^n(5 + 3) + 8 = 8 \times 5^n + 8$$

الخطوة 2: إخراج العامل المشترك

$$8 \times 5^n + 8 = 8(5^n + 1)$$

                                العدد يحتوي على العامل 8، إذن يقبل القسمة على 8 ✓
                            

التحقق العددي:

لـ n = 1:
• $ 5^2 + 3 \times 5^1 + 8 = 25 + 15 + 8 = 48 $
• $ 48 ÷ 8 = 6 $ ✓

لـ n = 2:
• $ 5^3 + 3 \times 5^2 + 8 = 125 + 75 + 8 = 208 $
• $ 208 ÷ 8 = 26 $ ✓

3

التمرين الثالث

تمرين مصحح:

$$\text{بين أن العدد } 10^n + 4 \times 10^{n-1} + 7 \text{ يقبل القسمة على 7}$$

الحل المفصل

الخطوة 1: تحليل التعبير

$$10^n + 4 \times 10^{n-1} + 7 = 10^{n-1}(10 + 4) + 7$$

$$= 14 \times 10^{n-1} + 7 = 7(2 \times 10^{n-1} + 1)$$

الخطوة 2: إثبات القسمة

                                العدد = \( 7 \times (2 \times 10^{n-1} + 1) \)
                                
بما أن 7 عامل واضح، فالعدد يقبل القسمة على 7 ✓

التحقق العددي:

لـ n = 2:
• $ 10^2 + 4 \times 10^1 + 7 = 100 + 40 + 7 = 147 $
• $ 147 ÷ 7 = 21 $ ✓

لـ n = 3:
• $ 10^3 + 4 \times 10^2 + 7 = 1000 + 400 + 7 = 1407 $
• $ 1407 ÷ 7 = 201 $ ✓

4

التمرين الرابع

تمرين مصحح:

$$\text{أوجد رقم الآحاد للعدد } 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} \text{ بدلالة } n$$

الحل المفصل

الخطوة 1: تبسيط التعبير

$$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2 + 4) = 7 \times 2^n$$

الخطوة 2: دراسة دورية أرقام الآحاد لقوى 2

دورة أرقام الآحاد لقوى 2:

2^1 → 2, \quad 2^2 → 4, \quad 2^3 → 8, \quad 2^4 → 6

2^5 → 2, \quad 2^6 → 4, \quad 2^7 → 8, \quad 2^8 → 6, \ldots

الدورة: 2, 4, 8, 6 (تتكرر كل 4 قوى)

الخطوة 3: حساب رقم الآحاد لـ $ 7 \times 2^n $

حسب باقي n عند القسمة على 4:

\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{4}: & 7 \times 2 = 14 \rightarrow \text{رقم الآحاد } 4 \\ n \equiv 2 \pmod{4}: & 7 \times 4 = 28 \rightarrow \text{رقم الآحاد } 8 \\ n \equiv 3 \pmod{4}: & 7 \times 8 = 56 \rightarrow \text{رقم الآحاد } 6 \\ n \equiv 0 \pmod{4}: & 7 \times 6 = 42 \rightarrow \text{رقم الآحاد } 2 \end{cases}

التحقق العددي:

• n = 1: $ 7 \times 2^1 = 14 $ → رقم الآحاد 4 ✓
• n = 2: $ 7 \times 2^2 = 28 $ → رقم الآحاد 8 ✓
• n = 3: $ 7 \times 2^3 = 56 $ → رقم الآحاد 6 ✓
• n = 4: $ 7 \times 2^4 = 112 $ → رقم الآحاد 2 ✓