دليل المساعدة لسلسلة تمارين في قابلية القسمة

يوفر هذا الدليل إرشادات لحل التمارين المتعلقة بإثبات قابلية القسمة للتعابير الجبرية باستخدام توحيد دليل القوةاسات واستخراج العامل المشترك، مع التركيز على القوى والقواسم مثل 12، 15.

الطريقة العامة للإثبات:
- حوّل جميع الحدود إلى نفس دليل القوةاس (مثل $8=2^3$، $9=3^2$، $25=5^2$، $27=3^3$).
- عوض في التعبير وطبّق قاعدة ضرب القوى (مثل $a^m \times a^n = a^{m+n}$).
- استخرج أصغر قوة كعامل مشترك.
- بسّط القوس الناتج وتحقق من وجود العوامل المطلوبة للقسمة (مثل 3 و5 لـ15، أو 3 و4 لـ12).
مثال للقسمة على 15 (تمرين 1):
- لـ $7 \times 2^{121} + 8^{40}$: اكتب $8^{40} = (2^3)^{40} = 2^{120}$.
- ال تعبير: $7 \times 2^{121} + 2^{120} = 7 \times 2 \times 2^{120} + 2^{120} = 2^{120} (14 + 1) = 2^{120} \times 15$.
- بما أن 15=3×5، والتعبير يحتوي على 15 كعامل، فهو قابل للقسمة على 15.
مثال للقسمة على 12 (تمرين 2):
- لـ $9^{700} + 7 \times 27^{466}$: اكتب $9^{700} = (3^2)^{700} = 3^{1400}$، $27^{466} = (3^3)^{466} = 3^{1398}$.
- ال تعبير: $3^{1400} + 7 \times 3^{1398} = 9 \times 3^{1398} + 7 \times 3^{1398} = 3^{1398} (9 + 7) = 3^{1398} \times 16$.
- 16=4×4، و$3^{1398}$ قابل للقسمة على 3، لذا التعبير قابل للقسمة على 3×4=12.
مثال للقسمة على 15 (تمرين 8):
- لـ $25^{30} + 5^{61}$: اكتب $25^{30} = (5^2)^{30} = 5^{60}$.
- ال تعبير: $5^{60} + 5^{61} = 5^{60} + 5 \times 5^{60} = 5^{60} (1 + 5) = 5^{60} \times 6$.
- 6=2×3، و$5^{60}$ قابل للقسمة على 5، لذا التعبير قابل للقسمة على 2×3×5=30، وبالتالي على 15.
مثال للقسمة على 12 (تمرين 9):
- لـ $9^8 - 5 \times 3^{14}$: اكتب $9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}$.
- ال تعبير: $3^{16} - 5 \times 3^{14} = 9 \times 3^{14} - 5 \times 3^{14} = 3^{14} (9 - 5) = 3^{14} \times 4$.
- 4=4×1، و$3^{14}$ قابل للقسمة على 3، لذا التعبير قابل للقسمة على 3×4=12.
نصائح:
- ابدأ دائمًا بتوحيد دليل القوةاسات لتبسيط التعبير.
- تحقق من القواسم المطلوبة (مثل 3 لـ12 أو 15، 4 لـ12، 5 لـ15).
- استخدم قاعدة $a^m \pm b \times a^n$ لاستخراج $a^n$ كعامل مشترك.
- تحقق من الحسابات خطوة بخطوة لتجنب الأخطاء في دليل القوةس أو الضرب.
- إذا كان التعبير طويلًا، قسّمه إلى خطوات صغيرة.

تمارين في القسمة والتحليل الرياضي

التمرين 1

بين أن العدد $ A = 3^{2016} - 3^{2014} $ يقبل القسمة على 8

الحل التفصيلي:

1. نبدأ بتحليل العبارة:

$ A = 3^{2016} - 3^{2014} = 3^{2014}(3^2 - 1) = 3^{2014} \times 8 $

2. نلاحظ أن العبارة تحتوي على العامل 8، وبالتالي A يقبل القسمة على 8.

مثال توضيحي:

لنأخذ حالة أبسط: $ 3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72 $

72 ÷ 8 = 9 (عدد صحيح)، مما يؤكد النتيجة.

التمرين 2

بين أن العدد $ B = 5^{48} + 3 \times 5^{47} $ يقبل القسمة على 8

الحل التفصيلي:

1. نخرج العامل المشترك:

$ B = 5^{47}(5 + 3) = 5^{47} \times 8 $

2. العبارة تحتوي على العامل 8، إذن B يقبل القسمة على 8.

مثال عددي:

لنحسب $ 5^2 + 3 \times 5^1 = 25 + 15 = 40 $

40 ÷ 8 = 5 (عدد صحيح)، وهذا يؤكد القاعدة.

التمرين 3

بين أن $ C = 10 \times 2^{49} - 2^{52} $ قوة للعدد 2

الحل التفصيلي:

1. نبسط العبارة:

$ C = 2^{49}(10 - 2^3) = 2^{49}(10 - 8) = 2^{49} \times 2 = 2^{50} $

2. النتيجة $ 2^{50} $ هي قوة صحيحة للعدد 2.

حالة خاصة:

لنأخذ $ 10 \times 2^3 - 2^6 = 80 - 64 = 16 = 2^4 $

وهذا يؤكد أن النتيجة دائمًا قوة للعدد 2.

التمرين 4

بين أن العدد $ D = 10^{53} + 4 \times 10^{52} $ يقبل القسمة على 14

الحل التفصيلي:

1. نخرج العامل المشترك:

$ D = 10^{52}(10 + 4) = 10^{52} \times 14 $

2. العبارة تحتوي على العامل 14، إذن D يقبل القسمة على 14.

مثال صغير:

$ 10^2 + 4 \times 10^1 = 100 + 40 = 140 $

140 ÷ 14 = 10 (عدد صحيح)، مما يثبت القاعدة.

التمرين 5

بين أن العدد $ E = 2^{29} + 2^{30} + 2^{31} $ يقبل القسمة على 7

الحل التفصيلي:

1. نخرج العامل المشترك $ 2^{29} $:

$ E = 2^{29}(1 + 2 + 2^2) = 2^{29} \times 7 $

2. النتيجة تحتوي على العامل 7، إذن E يقبل القسمة على 7.

حالة مماثلة:

$ 2^3 + 2^4 + 2^5 = 8 + 16 + 32 = 56 $

56 ÷ 7 = 8 (عدد صحيح)، وهذا يؤكد النتيجة.

التمرين 6

بين أن العدد $ F = 5^{24} - 4 \times 5^{22} $ يقبل القسمة على 7

الحل التفصيلي:

1. نخرج العامل المشترك $ 5^{22} $:

$ F = 5^{22}(5^2 - 4) = 5^{22}(25 - 4) = 5^{22} \times 21 $

2. بما أن 21 = 3 × 7، فإن F يقبل القسمة على 7.

مثال مصغر:

$ 5^4 - 4 \times 5^2 = 625 - 100 = 525 $

525 ÷ 7 = 75 (عدد صحيح)، مما يثبت القاعدة.

التمرين 7

بين أن العدد $ G = 2^{523} + 2^{524} + 2^{525} $ يقبل القسمة على 28

الحل التفصيلي:

1. نخرج العامل المشترك $ 2^{523} $:

$ G = 2^{523}(1 + 2 + 2^2) = 2^{523} \times 7 $

2. 28 = 4 × 7، ونلاحظ أن $ 2^{523} $ يقبل القسمة على 4 (لأنه $ 4 \times 2^{521} $)

3. إذن G يقبل القسمة على 28.

حالة مماثلة:

$ 2^3 + 2^4 + 2^5 = 8 + 16 + 32 = 56 $

56 ÷ 28 = 2 (عدد صحيح)، وهذا يؤكد القاعدة.

التمرين 8

بين أن رقمي أحداد عشرات العدد $ H = 5^{73} - 5^{71} $ هما 00

الحل التفصيلي:

1. نحلل العبارة:

$ H = 5^{71}(5^2 - 1) = 5^{71} \times 24 $

2. ندرس العدد modulo 100 (آخر رقمين):

- قوى 5 تنتهي بـ 25 عندما يكون دليل القوة ≥ 2

- 25 × 24 = 600

3. إذن آخر رقمين هما 00، .

حالة أصغر:

$ 5^5 - 5^3 = 3125 - 125 = 3000 $ (آخر رقمين 00)

هذا يؤكد أن النتيجة تنتهي بـ 00 .

التمرين 9

بين أن العدد $ I = 3^{50} + 3^{48} $ يقبل القسمة على 90

الحل التفصيلي:

1. نحلل العبارة:

$ I = 3^{48}(3^2 + 1) = 3^{48} \times 10 $

2. 90 = 9 × 10، ونلاحظ أن:

- العدد يقبل القسمة على 10

- $ 3^{48} $ يقبل القسمة على 9 (لأنه $ 9^{24} $)

3. إذن I يقبل القسمة على 90.

مثال توضيحي:

$ 3^4 + 3^2 = 81 + 9 = 90 $

90 ÷ 90 = 1 (عدد صحيح)، مما يثبت القاعدة.

الجزء الإضافي

التمرين 1 (إضافي)

أ- بين أن العدد $ A = 3 \times 8^{20} - 5 \times 4^{29} $ يقبل القسمة على 7

الحل التفصيلي:

1. نكتب كل الحدود بدليل القوةاس 2:

$ 8 = 2^3 $, $ 4 = 2^2 $

$ A = 3 \times (2^3)^{20} - 5 \times (2^2)^{29} = 3 \times 2^{60} - 5 \times 2^{58} $

2. نخرج العامل المشترك $ 2^{58} $:

$ A = 2^{58}(3 \times 4 - 5) = 2^{58} \times 7 $

3. إذن A يقبل القسمة على 7.

حالة مصغرة:

$ 3 \times 8^2 - 5 \times 4^3 = 192 - 320 = -128 $

-128 ÷ 7 ≈ -18.285 (لا يقبل القسمة)، يبدو أن هناك خطأ في الحل.

التحليل الصحيح: $ 2^{58}(12 - 5) = 2^{58} \times 7 $