دليل المساعدة للقسمة الإقليدية والباقي

يوفر هذا الدليل إرشادات لحل التمارين المتعلقة بالقسمة الإقليدية، إثبات قابلية القسمة، وإيجاد البواقي باستخدام العلاقات المعطاة.

حل التمرين رقم 1

القسمة الإقليدية والباقي
التمرين 1

القسمة الإقليدية والباقي

$n$ عدد صحيح طبيعي و $p$ العدد الذي يحقق $n = 8p + 20$

  1. بين أن $n$ مضاعف للعدد 4
  2. نعلم أن باقي قسمة $p$ على 3 هو 1 وخارجها $k$. اكتب $n$ بدلالة $k$
  3. حدد باقي قسمة $n$ على 3
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

للجزء الأول: استخرج العامل المشترك من العبارة $n = 8p + 20$ وأظهر أنها تحتوي على العامل 4.

للجزء الثاني: استخدم القسمة الإقليدية لكتابة $p = 3k + 1$ وعوض في العبارة الأصلية.

للجزء الثالث: استخدم خصائص باقي القسمة لإيجاد باقي قسمة $n$ على 3.

📝 طريقة الحل

الجزء الأول: إثبات أن $n$ مضاعف لـ 4

  1. انطلق من $n = 8p + 20$
  2. استخرج العامل المشترك 4
  3. اكتب $n$ على شكل $4 \times (\text{عدد صحيح})$

الجزء الثاني: كتابة $n$ بدلالة $k$

  1. اكتب القسمة الإقليدية لـ $p$ على 3: $p = 3k + 1$
  2. عوض هذه القيمة في العبارة الأصلية $n = 8p + 20$
  3. بسط العبارة الناتجة

الجزء الثالث: إيجاد باقي قسمة $n$ على 3

  1. استخدم العبارة المحصل عليها في الجزء الثاني
  2. طبق خصائص الباقي: $(a + b) \bmod m = ((a \bmod m) + (b \bmod m)) \bmod m$
  3. احسب الباقي النهائي

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: إثبات أن $n$ مضاعف للعدد 4

المعطى: $n = 8p + 20$

المطلوب: بيان أن $n$ مضاعف لـ 4

نكتب العبارة $n = 8p + 20$ على الشكل:

$n = 8p + 20 = 4 \times 2p + 4 \times 5 = 4(2p + 5)$

بما أن $p$ عدد صحيح طبيعي، فإن $(2p + 5)$ عدد صحيح طبيعي أيضاً.

النتيجة: $n = 4(2p + 5)$، إذن $n$ مضاعف للعدد 4 ✓

الجزء الثاني: كتابة $n$ بدلالة $k$

المعطى: باقي قسمة $p$ على 3 هو 1 وخارجها $k$

المطلوب: كتابة $n$ بدلالة $k$

حسب القسمة الإقليدية: $p = 3k + 1$

نعوض في العبارة الأصلية:

$n = 8p + 20 = 8(3k + 1) + 20$

$n = 24k + 8 + 20 = 24k + 28$

النتيجة: $n = 24k + 28$

الجزء الثالث: تحديد باقي قسمة $n$ على 3

المطلوب: إيجاد باقي قسمة $n$ على 3

من الجزء الثاني: $n = 24k + 28$

نحلل كل حد على حدة:

  • $24k = 3 \times 8k$، إذن $24k$ يقبل القسمة على 3 (بدون باقي)
  • $28 = 3 \times 9 + 1$، إذن باقي قسمة 28 على 3 هو 1

إذن: $n = 24k + 28 = 3 \times 8k + (3 \times 9 + 1) = 3(8k + 9) + 1$

🎯 الإجابة النهائية:

باقي قسمة $n$ على 3 هو 1

التحقق:

مثال: إذا كان $k = 1$، فإن $n = 24(1) + 28 = 52$

$52 = 3 \times 17 + 1$، إذن الباقي هو 1 ✓