دليل المساعدة لتمارين الحساب وقابلية القسمة

يوفر هذا الدليل إرشادات لحل التمارين المتعلقة بالتحليل إلى عوامل أولية، تبسيط القوى، وإثبات قابلية القسمة على أعداد معينة (مثل 2، 3، 4، 5، 7، 9، 20).

تمارين في الحساب وقابلية القسمة

8 دليل القوةاسي دفواراتي
تمرين 1

التحليل إلى عوامل

بين أن العدد $2^{18}-2^{15}$ قابل للقسمة على 7.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

حاول إخراج القوة الأصغر للعدد 2 كعامل مشترك، وهي $2^{15}$.

📝 طريقة الحل

  1. نحدد العامل المشترك بين الحدين $2^{18}$ و $2^{15}$. العامل المشترك هو $2^{15}$.
  2. نكتب العبارة في شكل جذاء: $2^{18}-2^{15} = 2^{15} \times (2^{18-15} - 1) = 2^{15} \times (2^3 - 1)$.
  3. نحسب قيمة القوس: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
  4. يصبح العدد $2^{15} \times 7$. بما أن أحد عوامله هو 7، فالعدد بأكمله قابل للقسمة على 7.

✅ الحل الكامل

ليكن $A = 2^{18}-2^{15}$.

باستخراج $2^{15}$ كعامل مشترك، نجد:

$A = 2^{15} \times (2^3 - 1)$

$A = 2^{15} \times (8 - 1)$

$A = 2^{15} \times 7$

بما أن $A$ يكتب على شكل $7 \times k$ حيث $k = 2^{15}$ عدد صحيح طبيعي، فإن $A$ قابل للقسمة على 7.

تمرين 2

قابلية القسمة على 4 و 5

بين أن العدد $2^{18}+2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

أخرج العامل المشترك $2^{16}$. تذكر أن العدد القابل للقسمة على 4 و 5 معاً يجب أن يكون قابلاً للقسمة على $4 \times 5 = 20$.

📝 طريقة الحل

  1. أخرج العامل المشترك: $2^{18}+2^{16} = 2^{16} \times (2^2 + 1)$.
  2. احسب قيمة القوس: $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
  3. يصبح العدد $2^{16} \times 5$.
  4. لإثبات قابلية القسمة على 4: العدد $2^{16}$ هو $2^2 \times 2^{14} = 4 \times 2^{14}$، إذن هو مضاعف لـ 4.
  5. لإثبات قابلية القسمة على 5: العدد $2^{16} \times 5$ هو مضاعف لـ 5.
  6. بما أن العدد مضاعف لـ 4 و 5 وهما عددان أوليان فيما بينهما، فهو مضاعف لجدائهما 20.

✅ الحل الكامل

ليكن $B = 2^{18}+2^{16}$.

$B = 2^{16} \times (2^2 + 1) = 2^{16} \times (4 + 1) = 2^{16} \times 5$.

قابلية القسمة على 4:

$B = (2^2 \times 2^{14}) \times 5 = 4 \times (2^{14} \times 5)$.

إذن $B$ قابل للقسمة على 4.

قابلية القسمة على 5:

$B = 2^{16} \times 5$.

إذن $B$ قابل للقسمة على 5.

بما أن العدد $B$ يقبل القسمة على 4 و 5 في نفس الوقت، فهو قابل للقسمة عليهما.

تمرين 3

الجمع المتكرر والقوى

بين أن العدد $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن الجمع المتكرر لنفس العدد يمكن التعبير عنه كعملية ضرب. كم مرة تم جمع العدد $3^4$؟

📝 طريقة الحل

  1. حوّل الجمع المتكرر إلى ضرب: $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4} = 4 \times 3^4$.
  2. تفحص قابلية القسمة على 4: العدد مكتوب على شكل $4 \times k$ حيث $k=3^4$. إذن هو قابل للقسمة على 4.
  3. تفحص قابلية القسمة على 9: نعلم أن $3^4 = 3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 = 81$. إذن العدد هو $4 \times 81$. بما أن 81 من مضاعفات 9، فالعدد بأكمله قابل للقسمة على 9.

✅ الحل الكامل

ليكن $C = 3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$.

$C = 4 \times 3^4$.

قابلية القسمة على 4:

العبارة $4 \times 3^4$ هي بوضوح من مضاعفات 4، إذن $C$ قابل للقسمة على 4.

قابلية القسمة على 9:

$C = 4 \times 3^4 = 4 \times (3^2 \times 3^2) = 4 \times (9 \times 9) = 4 \times 81$.

يمكن كتابة $C$ على شكل $C = 4 \times (9 \times 9) = 9 \times (4 \times 9) = 9 \times 36$.

إذن $C$ قابل للقسمة على 9.

بما أن العدد $C$ يقبل القسمة على 4 و 9 في نفس الوقت، فقد بينا المطلوب.

تمرين 4

تبسيط القوى

بين أن العدد $5^{103}-2\times25^{50}$ قابل للقسمة على 3.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن $25 = 5^2$، إذن $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$. حاول توحيد دليل القوةاسات.

📝 طريقة الحل

  1. أعد كتابة $25^{50}$: $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$.
  2. يصبح العدد: $5^{103} - 2 \times 5^{100}$.
  3. أخرج العامل المشترك $5^{100}$: $5^{100}(5^3 - 2)$.
  4. احسب قيمة القوس: $5^3 - 2 = 125 - 2 = 123$.
  5. تحقق من قابلية القسمة على 3: مجموع أرقام 123 هو $1+2+3=6$، وهو مضاعف لـ 3، إذن 123 قابل للقسمة على 3.

✅ الحل الكامل

ليكن $D = 5^{103}-2\times25^{50}$.

نكتب $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$.

إذن $D = 5^{103} - 2 \times 5^{100}$.

باستخراج $5^{100}$ كعامل مشترك:

$D = 5^{100}(5^3 - 2) = 5^{100}(125 - 2) = 5^{100} \times 123$.

للتحقق من أن 123 قابل للقسمة على 3، نحسب مجموع أرقامه:

$1 + 2 + 3 = 6$، وبما أن 6 قابل للقسمة على 3، فإن 123 قابل للقسمة على 3.

إذن $D = 5^{100} \times 123 = 5^{100} \times (3 \times 41) = 3 \times (5^{100} \times 41)$.

بما أن $D$ يكتب على شكل $3 \times k$ حيث $k = 5^{100} \times 41$، فإن $D$ قابل للقسمة على 3.

تمرين 5

قوى وقابلية القسمة

بين أن العدد $243^{1001}-13\times3^{5000}$ قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن $243 = 3^5$. حاول توحيد دليل القوةاسات وإخراج العامل المشترك.

📝 طريقة الحل

سيتم توفير طريقة الحل هنا.

✅ الحل الكامل

سيتم توفير الحل الكامل هنا.