دليل المساعدة للأنشطة العددية: الأعداد الفردية وقابلية القسمة

يوفر هذا الدليل إرشادات لحل التمارين المتعلقة بالأعداد الفردية وقابلية القسمة، مع التركيز على إثبات قابلية القسمة على 24 وإيجاد الأعداد التي تجعل تعبيرًا معينًا مضاعفًا لـ 4.

حل التمرين رقم 4

الأعداد الفردية وقابلية القسمة
التمرين 4

الأعداد الفردية وقابلية القسمة

هما عددان صحيحان طبيعيان فرديان a و b:

  1. بين أن $(3a^2+45)$ يقبل القسمة على 24
  2. حدد الأعداد الصحيحة $n$ بحيث $a^2+b^2+1+n$ مضاعف لـ 4
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

للجزء الأول: استخدم تمثيل العدد الفردي $a = 2k + 1$ واحسب $3a^2 + 45$.

للجزء الثاني: اكتب $a = 2p + 1$ و $b = 2q + 1$، ثم احسب $a^2 + b^2 + 1 + n$ وحدد متى يكون مضاعفاً لـ 4.

📝 طريقة الحل

الجزء الأول:

  1. اكتب $a = 2k + 1$ (تمثيل العدد الفردي)
  2. احسب $a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$
  3. احسب $3a^2 + 45$ وأظهر أنه يساوي $12(k^2 + k + 4)$
  4. أثبت أن $(k^2 + k + 4)$ زوجي

الجزء الثاني:

  1. اكتب $a = 2p + 1$ و $b = 2q + 1$
  2. احسب $a^2 + b^2 = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2$
  3. احسب $a^2 + b^2 + 1 + n = 4(\text{عدد صحيح}) + 3 + n$
  4. حدد قيم $n$ التي تجعل $(3 + n)$ مضاعفاً لـ 4

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: قابلية القسمة على 24

المعطى: $a$ عدد صحيح طبيعي فردي

المطلوب: بيان أن $(3a^2+45)$ يقبل القسمة على 24

الخطوة 1: تمثيل العدد الفردي

بما أن $a$ فردي، يمكن كتابته على الشكل: $a = 2k + 1$ حيث $k \in \mathbb{Z}$

الخطوة 2: حساب $a^2$

$a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

الخطوة 3: حساب $3a^2 + 45$

$3a^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$

$3a^2 + 45 = 12k^2 + 12k + 3 + 45 = 12k^2 + 12k + 48 = 12(k^2 + k + 4)$

الخطوة 4: إثبات قابلية القسمة على 24

لإثبات أن $12(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على 24، نحتاج إثبات أن $(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على 2.

نلاحظ أن: $k^2 + k = k(k + 1)$ (جداء عددين متتاليين، أحدهما زوجي)

إذن: $k^2 + k + 4 = \text{(عدد زوجي)} + 4 = \text{عدد زوجي}$

النتيجة: $(k^2 + k + 4)$ زوجي، إذن $12(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على $12 \times 2 = 24$ ✓

الجزء الثاني: إيجاد قيم $n$

المعطى: $a$ و $b$ عددان صحيحان طبيعيان فرديان

المطلوب: إيجاد $n$ بحيث $(a^2+b^2+1+n)$ مضاعف لـ 4

الخطوة 1: تمثيل الأعداد الفردية

$a = 2p + 1$ و $b = 2q + 1$ حيث $p, q \in \mathbb{Z}$

الخطوة 2: حساب $a^2$ و $b^2$

$a^2 = (2p + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1$

$b^2 = (2q + 1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$

الخطوة 3: حساب $a^2 + b^2$

$a^2 + b^2 = 4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4q + 1 = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2$

الخطوة 4: حساب $a^2 + b^2 + 1 + n$

$a^2 + b^2 + 1 + n = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2 + 1 + n = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 3 + n$

الخطوة 5: الشرط للمضاعف

لكي يكون العدد مضاعفاً لـ 4، يجب أن يكون $(3 + n)$ مضاعفاً لـ 4:

$3 + n \equiv 0 \pmod{4}$

$n \equiv -3 \equiv 1 \pmod{4}$

🎯 الإجابة النهائية:

$n = 4k + 1$ حيث $k \in \mathbb{Z}$

أي: $n \in \{..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...\}$

مثال للتحقق:

إذا كان $a = 3, b = 5, n = 1$:

$a^2 + b^2 + 1 + n = 9 + 25 + 1 + 1 = 36 = 4 \times 9$ ✓