تصحيح التمرين

القسمة الإقليدية والأعداد الصحيحة
تمرين 6

القسمة الإقليدية والأعداد الصحيحة

  1. بين أن $n^3 - 2n^2 - 3n + 14 = (n - 2)(n^2 - 3) + 8$
  2. حدد القيم الممكنة للعدد الصحيح الطبيعي $n$ حتى يصبح $\frac{n^3 - 2n^2 - 3n + 14}{n - 2}$ عدد صحيح طبيعي
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

للجزء الأول: قم بتطوير $(n - 2)(n^2 - 3) + 8$ وتحقق من تساويه مع $n^3 - 2n^2 - 3n + 14$.

للجزء الثاني: استخدم النتيجة من الجزء الأول لكتابة $\frac{n^3 - 2n^2 - 3n + 14}{n - 2} = n^2 - 3 + \frac{8}{n - 2}$.

لكي يكون الناتج عدداً صحيحاً، يجب أن يكون $(n - 2)$ قاسماً للعدد 8.

📝 طريقة الحل

الجزء الأول: التحقق من الهوية

  1. نطور الطرف الأيمن: $(n - 2)(n^2 - 3) + 8$
  2. $(n - 2)(n^2 - 3) = n \cdot n^2 - n \cdot 3 - 2 \cdot n^2 + 2 \cdot 3$
  3. $= n^3 - 3n - 2n^2 + 6 = n^3 - 2n^2 - 3n + 6$
  4. نضيف 8: $n^3 - 2n^2 - 3n + 6 + 8 = n^3 - 2n^2 - 3n + 14$ ✓

الجزء الثاني: إيجاد قيم $n$

  1. باستخدام النتيجة السابقة: $\frac{n^3 - 2n^2 - 3n + 14}{n - 2} = \frac{(n - 2)(n^2 - 3) + 8}{n - 2}$
  2. $= n^2 - 3 + \frac{8}{n - 2}$
  3. لكي يكون الناتج عدداً صحيحاً، يجب أن يكون $\frac{8}{n - 2}$ عدداً صحيحاً
  4. إذن $(n - 2)$ يجب أن يكون قاسماً للعدد 8
  5. نجد قواسم 8 ونحدد قيم $n$ الطبيعية التي تعطي ناتجاً طبيعياً

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: إثبات الهوية

نطور $(n - 2)(n^2 - 3) + 8$:

$(n - 2)(n^2 - 3) = n^3 - 3n - 2n^2 + 6 = n^3 - 2n^2 - 3n + 6$

إذن $(n - 2)(n^2 - 3) + 8 = n^3 - 2n^2 - 3n + 6 + 8 = n^3 - 2n^2 - 3n + 14$ ✓

الجزء الثاني: إيجاد قيم $n$

باستخدام النتيجة من الجزء الأول:

$\frac{n^3 - 2n^2 - 3n + 14}{n - 2} = \frac{(n - 2)(n^2 - 3) + 8}{n - 2} = n^2 - 3 + \frac{8}{n - 2}$

الشرط: لكي يكون الناتج عدداً صحيحاً، يجب أن يكون $\frac{8}{n - 2}$ عدداً صحيحاً.

هذا يعني أن $(n - 2)$ يجب أن يكون قاسماً للعدد 8.

قواسم العدد 8: $\{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\}$

دراسة الحالات:

  • $n - 2 = 1$ ⟹ $n = 3$
  • $n - 2 = -1$ ⟹ $n = 1$
  • $n - 2 = 2$ ⟹ $n = 4$
  • $n - 2 = -2$ ⟹ $n = 0$
  • $n - 2 = 4$ ⟹ $n = 6$
  • $n - 2 = -4$ ⟹ $n = -2$
  • $n - 2 = 8$ ⟹ $n = 10$
  • $n - 2 = -8$ ⟹ $n = -6$

التحقق من كون الناتج طبيعياً:

نحسب $n^2 - 3 + \frac{8}{n - 2}$ لكل قيمة طبيعية من $n$:

  • $n = 1$: $1 - 3 + \frac{8}{-1} = -2 - 8 = -10$ ❌ (ليس طبيعياً)
  • $n = 3$: $9 - 3 + \frac{8}{1} = 6 + 8 = 14$ ✅
  • $n = 4$: $16 - 3 + \frac{8}{2} = 13 + 4 = 17$ ✅
  • $n = 6$: $36 - 3 + \frac{8}{4} = 33 + 2 = 35$ ✅
  • $n = 10$: $100 - 3 + \frac{8}{8} = 97 + 1 = 98$ ✅

🎯 الإجابة النهائية:

القيم الممكنة هي: $n \in \{3, 4, 6, 10\}$

التحقق النهائي:

  • $n = 3$: $\frac{27 - 18 - 9 + 14}{3 - 2} = \frac{14}{1} = 14$ ✅
  • $n = 4$: $\frac{64 - 32 - 12 + 14}{4 - 2} = \frac{34}{2} = 17$ ✅
  • $n = 6$: $\frac{216 - 72 - 18 + 14}{6 - 2} = \frac{140}{4} = 35$ ✅
  • $n = 10$: $\frac{1000 - 200 - 30 + 14}{10 - 2} = \frac{784}{8} = 98$ ✅