يحتوي هذا الدليل على شرح مبسط لمفاهيم القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM)، مع التركيز على الطرق المستخدمة في التمارين العددية لحسابهما وحل المسائل المتعلقة بهما.
القاسم المشترك الأكبر PGCD:
أكبر عدد يقسم عددين أو أكثر بدون باقي
المضاعف المشترك الأصغر PPCM:
أصغر عدد موجب يقبل القسمة على عددين أو أكثر
العلاقة الذهبية:
PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b
هذه العلاقة أساسية لحل جميع مسائل القاسم والمضاعف المشتركين
الخطوات:
1️⃣ اقسم العدد الأكبر على الأصغر
2️⃣ خذ الباقي واقسم عليه المقسوم عليه السابق
3️⃣ كرر العملية حتى يصبح الباقي صفراً
4️⃣ آخر مقسوم عليه غير منعدم هو PGCD
مثال: PGCD(720, 315)
720 = 2 × 315 + 90
315 = 3 × 90 + 45
90 = 2 × 45 + 0
النتيجة: PGCD(720, 315) = 45
الخطوات:
1️⃣ اقسم العدد على أصغر عامل أولي (2, 3, 5, 7, ...)
2️⃣ كرر القسمة على نفس العامل حتى لا يعود يقسم
3️⃣ انتقل للعامل الأولي التالي
4️⃣ استمر حتى تحصل على 1
مثال:
1890 = 2 × 3³ × 5 × 7
3528 = 2³ × 3² × 7²
لـ PGCD: خذ أصغر قوة لكل عامل مشترك
لـ PPCM: خذ أكبر قوة لكل عامل (مشترك أو غير مشترك)
من المثال السابق:
PGCD = 2¹ × 3² × 7¹ = 2 × 9 × 7 = 126
PPCM = 2³ × 3³ × 5¹ × 7² = 8 × 27 × 5 × 49 = 52920
النوع الأول: معطى الفرق بين PPCM و PGCD
إذا كان PPCM - PGCD = k، استخدم الخطوات التالية:
1️⃣ ضع d = PGCD و m = PPCM
2️⃣ ليكن a = d×a' و b = d×b' حيث PGCD(a',b') = 1
3️⃣ نعلم أن m = d×a'×b'
4️⃣ من العلاقة m - d = k، نحصل على d(a'×b' - 1) = k
5️⃣ فكك k لإيجاد القيم المحتملة لـ d
النوع الثاني: معطى قيم PGCD و PPCM
إذا كان PGCD = d و PPCM = m:
1️⃣ احسب a'×b' = m/d
2️⃣ أوجد جميع أزواج (a',b') الأولية فيما بينها بحيث a'×b' = m/d
3️⃣ الحلول هي (a,b) = (d×a', d×b')
الحالات الممكنة لـ n:
• n ≡ 0 (mod 3) ⟵ n = 3k
• n ≡ 1 (mod 3) ⟵ n = 3k + 1
• n ≡ 2 (mod 3) ⟵ n = 3k + 2
بواقي n² + 1:
• إذا n ≡ 0 (mod 3) ⟹ n² ≡ 0 ⟹ n² + 1 ≡ 1 (mod 3)
• إذا n ≡ 1 (mod 3) ⟹ n² ≡ 1 ⟹ n² + 1 ≡ 2 (mod 3)
• إذا n ≡ 2 (mod 3) ⟹ n² ≡ 4 ≡ 1 ⟹ n² + 1 ≡ 2 (mod 3)
الاستنتاج: البواقي الممكنة لـ n² + 1 هي {1, 2}
المعطى: PPCM - PGCD = 187
الحل:
187 = 11 × 17
نجرب d = 11:
• إذن PPCM = 187 + 11 = 198
• a'×b' = 198/11 = 18 = 2 × 9
• الأزواج الأولية: (1,18) و (2,9)
• الحلول: (11,198) و (22,99)
المعطى: PGCD = 24, PPCM = 1344
الحل:
• a'×b' = 1344/24 = 56 = 7 × 8
• تحقق من أن PGCD(7,8) = 1 ✓
• الأزواج الأولية: (1,56) و (7,8)
• الحلول: (24,1344) و (168,192)
• ابدأ دائماً بالعدد الأكبر
• اكتب كل خطوة بوضوح (مقسوم = خارج × مقسوم عليه + باقي)
• توقف عندما يصبح الباقي صفراً
• آخر باقي غير منعدم هو PGCD
• ابدأ بالأعداد الأولية الصغيرة (2, 3, 5, 7, 11, ...)
• استخدم قواعد القسمة (زوجي ÷ 2, مجموع الأرقام ÷ 3, ...)
• تأكد من أن جميع العوامل أولية
• تحقق من النتيجة بضرب جميع العوامل
للأعداد الصغيرة (< 1000): استخدم خوارزمية إقليدس
للأعداد الكبيرة: استخدم التفكيك إلى عوامل أولية
لمسائل الإيجاد: استخدم العلاقة الذهبية والتفكيك
لمسائل البواقي: ادرس جميع الحالات الممكنة
الأعداد الأولية الأولى:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
قواعد القسمة السريعة:
• القسمة على 2: العدد زوجي
• القسمة على 3: مجموع الأرقام مضاعف لـ 3
• القسمة على 5: ينتهي بـ 0 أو 5
• القسمة على 9: مجموع الأرقام مضاعف لـ 9
❌ في خوارزمية إقليدس:
• نسيان كتابة المعادلة كاملة
• الخلط بين المقسوم والمقسوم عليه
• التوقف عند أول باقي صغير
❌ في التفكيك:
• استخدام أعداد غير أولية
• نسيان بعض العوامل الأولية
• الخطأ في أسس
❌ في استخدام العلاقة الذهبية:
• نسيان التحقق من العلاقة PGCD × PPCM = a × b
• عدم التأكد من أن الأعداد الناتجة صحيحة
إذا كانت النتائج كبيرة جداً: تحقق من العمليات الحسابية
إذا لم تجد أزواج أولية: راجع تفكيك a'×b'
إذا لم تتطابق العلاقة الذهبية: راجع حساب PGCD و PPCM
للتحقق من الحل: احسب PGCD و PPCM للإجابة وقارن بالمعطيات
الحساب المباشر ⟵ خوارزمية إقليدس + العلاقة الذهبية
الأعداد الكبيرة ⟵ التفكيك إلى عوامل أولية
مسائل الإيجاد ⟵ العلاقة الذهبية + البحث عن الأزواج الأولية
البواقي والمودولو ⟵ دراسة جميع الحالات الممكنة
التحقق ⟵ PGCD × PPCM = a × b دائماً
الجزء أ:
الجزء ب:
ليكن n عدداً صحيحاً طبيعياً.
للجزء أ: استخدم العلاقة $PPCM(a,b) \times PGCD(a,b) = a \times b$. للجزء ب: ادرس الحالات الثلاث الممكنة لباقي n على 3 (0, 1, 2) ثم احسب باقي $n^2+1$ في كل حالة.
أ.2) ليكن $d = PGCD(a,b)$ و $m = PPCM(a,b)$. لدينا $a=da'$ و $b=db'$ حيث $a', b'$ أوليان فيما بينهما. نعلم أن $m = da'b'$. عوض في العلاقة $m \times d = a \times b$ لإيجاد $a'b'$.
ب.2) الحالة 1: $n=3k \implies n^2+1 = 9k^2+1$. الحالة 2: $n=3k+1 \implies n^2+1 = (3k+1)^2+1$. الحالة 3: $n=3k+2 \implies n^2+1 = (3k+2)^2+1$.
أ.1) $m-d=187=11 \times 17$. نضع $d=11$ و $m=198$. $a'b' = m/d=18$. الأزواج (a',b') الممكنة هي (1,18) و (2,9). الحلول (a,b) هي (11,198) و (22,99).
أ.2) $d=24$, $m=1344$. $a'b' = m/d = 1344/24 = 56$. الأزواج (a',b') الأولية فيما بينها هي (1,56) و (7,8). الحلول (a,b) هي (24,1344) و (168,192).
ب.1) البواقي الممكنة هي 0, 1, 2.
ب.2) إذا كان باقي n هو 0، باقي $n^2+1$ هو 1. إذا كان باقي n هو 1، باقي $n^2+1$ هو 2. إذا كان باقي n هو 2، باقي $n^2+1$ هو 2. إذن البواقي الممكنة هي 1 و 2.
لخوارزمية إقليدس، قم بقسمات متتالية. لاستنتاج PPCM، استخدم علاقة $PGCD \times PPCM = a \times b$. للتفكيك، حلل كل عدد إلى عوامله الأولية ثم طبق قواعد PGCD و PPCM.
1) $720 = 2 \times 315 + 90$; $315 = 3 \times 90 + 45$; $90 = 2 \times 45 + 0$.
2) $PPCM = (720 \times 315) / PGCD$.
3) $1890 = 2 \times 3^3 \times 5 \times 7$. $3528 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2$. $PGCD$ يأخذ أصغر قوة للعوامل المشتركة. $PPCM$ يأخذ أكبر قوة لجميع العوامل.
1) آخر باق غير منعدم هو 45. إذن ق.م.أ(720, 315) = 45.
2) م.م.أ(720, 315) = (720 × 315) / 45 = 5040.
3) ق.م.أ(1890, 3528) = $2 \times 3^2 \times 7 = 126$. م.م.أ(1890, 3528) = $2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7^2 = 52920$.