سلسلة تمارين جديدة

نمط CODE 2020 - تمارين متنوعة وتصحيح تدريجي
8 كل إمكانيات الرقم السري (باب الخزانة)

باب خزانة مجهز بلوحة إلكترونية بها حرفين \(x\) و \(y\) ورقمين \(1\) و \(9\). لفتحه يجب إدخال رقم سري متكون من حرفين متبوعين برقمين مختلفين. باستعمال شجرة الاختيارات، أوجد كل إمكانيات الرقم السري.

💡 مؤشر

حدد كل الاحتمالات الممكنة اعتماداً على ترتيب الحروف والأرقام وشرط اختلاف الرقمين.

📝 الطريقة

  1. ابدأ باختيار الحرف الأول (x أو y).
  2. ثم الحرف الثاني (x أو y).
  3. ثم الرقم الأول (1 أو 9).
  4. وأخيراً الرقم الثاني (يجب أن يكون مختلفاً عن الرقم الأول).

✅ الحل الكامل

كل الإمكانيات الممكنة للرقم السري هي:

xx19, xx91, xy19, xy91, yx19, yx91, yy19, yy91

ملاحظة: إذا كان الحرفان يجب أن يكونا مختلفين، تصبح الإجابات فقط: xy19, xy91, yx19, yx91.

9 مضاعفات 6 و12، مجموعة E

I- لتكن \(a\) و \(b\) و \(n\) ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية بحيث \(a-1=3n\) و \(b\) و \(n\) عددان زوجيان.
1) بيّن أن \(a+5\) مضاعف لـ 6.
2) استنتج أن العدد \(5b+ab\) مضاعف للعدد 12.
II-
1) حدد \(E\) مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية \(t\) (بحيث \(t \neq 3\)) ليكون \(x = \frac{15}{t-3}\) عدداً صحيحاً طبيعياً.
2) أوجد كل الأعداد الصحيحة الطبيعية ذات ثلاثة أرقام مختلفة يمكن تكوينها من عناصر المجموعة \(E\) الأصغر من 10.

💡 مؤشر

استخدم التعويض والحسابات للحصول على الشكل المضاعف وراجع قواسم العدد 15 لتحديد المجموعة.

📝 الطريقة

  1. اكتب n=2k ثم عوض في العلاقة الأولى.
  2. استخرج عامل مشترك في التعبير \(5b+ab\).
  3. ابحث عن قواسم العدد 15 ثم أوجد قيم t.
  4. رتب كل الأعداد الممكنة من أرقام المجموعة الأصغر من 10.

✅ الحل الكامل

  1. \(a-1=3n,\ n=2k \rightarrow a=6k+1 \rightarrow a+5=6(k+1)\) مضاعف لـ 6.
  2. \(5b+ab = b(5+a)=b\times6(k+1)\), مع \(b=2m\) زوجي، إذًا \(12m(k+1)\) مضاعف لـ 12.
  3. القواسم: \(t-3=1,3,5,15\rightarrow t=4,6,8,18\). إذًا \(E=\{4,6,8,18\}\).
  4. الأعداد من عناصر \(E\) الأصغر من 10: {4,6,8}. تكوين أعداد من 3 أرقام مختلفة:
    468, 486, 648, 684, 846, 864
10 بواقي القسمة على 4، أعداد أولية في رقم المئات

\(A\) هي مجموعة البواقي الممكنة من القسمة الإقليدية لعدد صحيح على 4.
1) حدد \(A\).
2) حدد، مستعملاً عناصر المجموعة \(A\) ومستعيناً بشجرة للاختيار، كل الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة بحيث يكون رقم مئاتها عدداً أولياً.

💡 مؤشر

حدد البواقي الممكنة ثم استعمل الأعداد الأولية من المجموعة كرقم مئات.

📝 الطريقة

  1. حدد كل باقي ممكن عند القسمة على 4.
  2. حدد الأعداد الأولية من بينهم.
  3. كوّن كل الأعداد الممكنة من 3 أرقام مختلفة.

✅ الحل الكامل

  1. البواقي الممكنة: {0,1,2,3}. الأعداد الأولية: {2,3}.
  2. أعداد من 3 أرقام مختلفة ورقم المئات أولي:
    201, 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321
12 أعداد فردية من المجموعة A و أعداد زوجية بأربعة أرقام

1) لتكن مجموعة الأرقام \(A = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). باستعمال عناصر المجموعة \(A\)، أعط الأعداد الفردية ذات ثلاث أرقام مختلفة.
2) كم يوجد من عدد ذي 4 أرقام مختلفة، يكون زوجياً ورقم آلافه 8؟

💡 مؤشر

راجع شرط العدد الفردي أو الزوجي وشرط اختلاف الأرقام، ورتب كل الحالات الممكنة.

📝 الطريقة

  1. حدد الأرقام الفردية في المجموعة.
  2. كوّن جميع الأعداد الممكنة حسب الشروط.
  3. لأعداد بأربعة أرقام، حدد حالات الآحاد الزوجية ورتب باقي الخانات.

✅ الحل الكامل

  1. الأعداد الفردية من 3 أرقام مختلفة: رقم الآحاد {1,3}، عددها 18 عدداً.
  2. عدد بأربعة أرقام مختلفة، زوجي، رقم آلافه 8: 224 عدداً (56 حالة لل آحاد = 0، 168 حالة ل آحاد = 2,4,6).
13 مجموعة E وترشيح الأعداد القابلة للقسمة على 6

\(E\) هي مجموعة الأعداد من ثلاثة أرقام مختلفة حيث:

  • رقم آحادها مضاعف لـ 5.
  • رقم عشراتها قاسم لـ 7.
  • رقم مئاتها من بين الأرقام 3 و 4 و 5.
1) باستعمال شجرة الاختيار، حدد عناصر المجموعة \(E\).
2) استنتج من بين عناصر المجموعة \(E\) من يقبل القسمة على 6.

💡 مؤشر

كوّن كل الأعداد الممكنة حسب الشروط، ثم راجع شرط القسمة على 6.

📝 الطريقة

  1. حدد أرقام الآحاد والعشرات والمئات حسب الشروط.
  2. استبعد الأعداد ذات أرقام مكررة.
  3. للقسمة على 6، تحقق من الزوجية ومجموع الأرقام.

✅ الحل الكامل

  1. عناصر المجموعة \(E\):
    310, 315, 370, 375, 410, 415, 470, 475, 510, 570
  2. من بينهم يقبل القسمة على 6: 510, 570