المبدأ أساسي: نستخدم التحليل إلى العوامل والعامل المشترك الأكبر
خطوات الحل:
• إعادة كتابة كل أسس بدلالة الأعداد الأولية
• إخراج العامل المشترك (الحد الذي له أصغر دليل القوة)
• استخدام خواص قوى الأعداد الصحيحة
• التحقق من القسمة على 8 بالتحليل المباشر
للعدد 3: $3^2 = 9 = 8 + 1$، إذن $3^2 - 1 = 8$
للعدد 5: $5^2 = 25 = 3 \times 8 + 1$، إذن $5^2 - 1 = 24 = 3 \times 8$
للعدد 9: $9 = 3^2$، إذن $9^n = 3^{2n}$
للعدد 25: $25 = 5^2$، إذن $25^n = 5^{2n}$
للعدد 125: $125 = 5^3$، إذن $125^n = 5^{3n}$
• ابحث عن العامل المشترك الذي له أصغر دليل القوة
• استخدم التحليل المباشر بدلاً من حساب البواقي
• اعتمد على الخواص الجبرية للأعداد
• تأكد من أن العامل النهائي يحتوي على العدد 8
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:
لاحظ أن $9 = 3^2$، لذا $9^{1011} = 3^{2022}$. استخدم خاصية أن $3^2 = 9 = 8 + 1$ لتجميع الحدود المناسبة.
نعيد كتابة التعبير: $5 \times 9^{1011} + 3^{2021} = 5 \times 3^{2022} + 3^{2021}$
نخرج العامل المشترك الأصغر: $3^{2021}(5 \times 3 + 1) = 3^{2021} \times 16$
بما أن $16 = 2 \times 8$، فإن التعبير يقبل القسمة على 8.
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$9^{1011} = (3^2)^{1011} = 3^{2022}$
التعبير يصبح: $5 \times 3^{2022} + 3^{2021}$
العامل المشترك هو $3^{2021}$ (الحد الذي له أصغر دليل القوة)
$5 \times 3^{2022} + 3^{2021} = 3^{2021}(5 \times 3^1 + 1)$
$= 3^{2021}(5 \times 3 + 1)$
$= 3^{2021}(15 + 1)$
$= 3^{2021} \times 16$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على 8
بما أن $16 = 2 \times 8$، فإن:
$3^{2021} \times 16 = 3^{2021} \times 2 \times 8 = 8 \times (2 \times 3^{2021})$
النتيجة: العدد يقبل القسمة على 8 بشكل مباشر. ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:
$25 = 5^2$ و $125 = 5^3$. أعد كتابة كل شيء بدلالة قوى العدد 5، ثم ابحث عن العامل المشترك الأصغر.
$25^{20} = 5^{40}$ و $125^{14} = 5^{42}$
التعبير: $2 \times 5^{40} + 5^{41} + 5^{42}$
العامل المشترك الأصغر هو $5^{40}$
نحصل على: $5^{40}(2 + 5 + 5^2) = 5^{40} \times 32$
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$25^{20} = (5^2)^{20} = 5^{40}$
$125^{14} = (5^3)^{14} = 5^{42}$
التعبير: $2 \times 5^{40} + 5^{41} + 5^{42}$
العامل المشترك هو $5^{40}$ (دليل القوة الأصغر)
$2 \times 5^{40} + 5^{41} + 5^{42}$
$= 5^{40}(2 + 5^1 + 5^2)$
$= 5^{40}(2 + 5 + 25)$
$= 5^{40} \times 32$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على 8
بما أن $32 = 4 \times 8$، فإن:
$5^{40} \times 32 = 5^{40} \times 4 \times 8 = 8 \times (4 \times 5^{40})$
النتيجة: العدد يقبل القسمة على 8 بشكل مباشر. ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:
اخرج العامل المشترك $3^{54}$ من جميع الحدود. العامل المشترك هو الحد الذي له أصغر دليل القوة.
نخرج العامل المشترك: $3^{54}(1 - 3 - 3^2 + 3^3)$
نحسب القيمة داخل القوسين: $(1 - 3 - 9 + 27) = 16$
بما أن $16 = 2 \times 8$، فالتعبير يقبل القسمة على 8.
الخطوة 1: إخراج العامل المشترك
$3^{54} - 3^{55} - 3^{56} + 3^{57}$
العامل المشترك هو $3^{54}$ (أصغر دليل القوة)
$= 3^{54}(1 - 3^1 - 3^2 + 3^3)$
$= 3^{54}(1 - 3 - 9 + 27)$
$= 3^{54}(16)$
$= 16 \times 3^{54}$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على 8
بما أن $16 = 2 \times 8$، فإن:
$16 \times 3^{54} = 2 \times 8 \times 3^{54} = 8 \times (2 \times 3^{54})$
النتيجة: العدد يقبل القسمة على 8 بشكل مباشر. ✓
ملاحظة: هذا التمرين لا يتطلب استخدام النمط الدوري لقوى العدد 3، حيث أن العامل 16 يضمن القسمة على 8 مباشرة.