نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
2: جداءُ عددين صحيحين يساوي 22 ⟶ كلٌّ منهما قاسمٌ للعدد 22. هذا هو الجسر بين السؤالين 1 و2.
وانتبه للقيود: \(x\ge 0\) ⟶ \(x+2\ge 2\). فالقاسم 1 مستحيل للعامل الأوّل.
3: المعادلة \(xy+x+y=18\) ليست على شكل جداء… بعد. أضِف 1 إلى الطرفين وانظر ماذا يحدث لـ \(xy+x+y+1\).
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) اُكتب كلّ قواسم 22 (22 = جداء أوّليّين).
- 2) بما أنّ الجداء \(=22\)، ضَعْ \(x+2=d\) حيث \(d\) قاسمٌ لـ22، ثمّ اِستنتج \(y+1=\dfrac{22}{d}\).
- اِحذف الحالات المستحيلة (\(x\) و\(y\) صحيحان طبيعيّان).
- 3) أضِف 1 إلى الطرفين لتُظهر جداءً، ثمّ طبّق نفس الطريقة.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) قواسم 22
\(22=2\times 11\)، والعددان 2 و11 أوّليّان.
مجموعة قواسم 22 هي \(\{\,1\;;\;2\;;\;11\;;\;22\,\}\)
2) \((x+2)(y+1)=22\)
\(x+2\) و\(y+1\) عددان صحيحان طبيعيّان جداؤهما 22 ⟶ كلٌّ منهما قاسمٌ للعدد 22.
قيد مهمّ: \(x\ge 0\) ⟶ \(x+2\ge 2\) ⟶ الحالة \(x+2=1\) مستحيلة.
| \(x+2\) | \(y+1\) | \(x\) | \(y\) | مقبول؟ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 22 | \(-1\) | 21 | ✗ — \(x\) ليس طبيعيًّا |
| 2 | 11 | 0 | 10 | ✓ |
| 11 | 2 | 9 | 1 | ✓ |
| 22 | 1 | 20 | 0 | ✓ |
\((x\,;\,y)\in\{\,(0\,;\,10)\;,\;(9\,;\,1)\;,\;(20\,;\,0)\,\}\)
تحقّق: \((0+2)(10+1)=2\times 11=22\) ✓ · \((9+2)(1+1)=11\times 2=22\) ✓ · \((20+2)(0+1)=22\times 1=22\) ✓
3) \(xy+x+y=18\)
الطرف الأيسر ليس جداءً… لكنّنا نستطيع أن نجعله جداءً. نُضيف 1 إلى الطرفين:
\(xy+x+y+1=19\)
ونُحلّل الطرف الأيسر: \(\;xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)\)
\((x+1)(y+1)=19\)
و19 عددٌ أوّليّ ⟶ قواسمه هي 1 و19 فقط.
| \(x+1\) | \(y+1\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 19 | 0 | 18 |
| 19 | 1 | 18 | 0 |
\((x\,;\,y)\in\{\,(0\,;\,18)\;,\;(18\,;\,0)\,\}\)
تحقّق: \(0\times 18+0+18=18\) ✓ · \(18\times 0+18+0=18\) ✓
لاحظ الفرق بين السؤالين 2 و3: في 2 كان الجداء جاهزًا، وفي 3 كان علينا صناعتُه بإضافة 1. وهنا برز دورُ العدد 19 الأوّليّ: قاسمان فقط ⟶ حلاّن فقط.
اِسأل نفسك دائمًا: هل أستطيع أن أكتب هذا على شكل جداء؟