نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
أوّلاً: وحّد الوحدات. كلّ شيء بالمليم. \(1\) دينار \(=1000\) مليم.
ثمّ اُكتب المبلغ الكلّيّ بدلالة العدد المجهول (سمِّه \(x\)).
«9 كرّاساتٍ متماثلة الثمن بكامل المبلغ» ⟶ المبلغ الكلّيّ قابلٌ للقسمة على 9. وهنا يدخل معيار 9.
المرحلة 2: منهجية الحل
- حوّل كلّ الفئات إلى مليمات واُحسب المبلغ المعلوم.
- اُكتب المبلغ الكلّيّ: \(\text{المعلوم}+10x\).
- اُشترط القابليّة للقسمة على 9 واِستنتج شرطًا على \(x\).
- ناقش: هل الحلّ وحيد؟
المرحلة 3: التصحيح المفصل
الخطوة 1 — توحيد الوحدات
| الفئة | العدد | القيمة بالمليم |
|---|---|---|
| 1 دينار = 1000 مليم | 7 | \(7\times 1000=7000\) |
| 100 مليم | 5 | \(5\times 100=500\) |
| 5 مليمات | 1 | \(1\times 5=5\) |
| 10 مليمات | \(x\) | \(10x\) |
المبلغ المعلوم: \(7000+500+5=\mathbf{7505}\) مليم.
المبلغ الكلّيّ: \(S=7505+10x\).
الخطوة 2 — شرط القسمة على 9
\(S\) قابلٌ للقسمة على 9.
نستعمل معيار 9 على الجزء المعلوم: مجموع أرقام \(7505\) هو \(7+5+0+5=17\).
و\(17=9+8\) ⟶ \(7505\) يترك الباقي 8 عند القسمة على 9.
أمّا \(10x\): مجموع أرقام \(10x\) يُعطي نفس باقي \(x\) (لأنّ \(10=9+1\), فالضرب في 10 لا يُغيّر الباقي على 9).
باقي \(S\) على 9 \(=\) باقي \((8+x)\) على 9
ولكي يكون \(S\) قابلاً للقسمة على 9، يجب أن يكون \(8+x\) مضاعفًا لـ9:
\(8+x\in\{9\,;\,18\,;\,27\,;\,\dots\}\) ⟶ \(x\in\{\,\mathbf{1}\;;\;\mathbf{10}\;;\;\mathbf{19}\;;\;\dots\}\)
أي \(\;x=9k+1\;\) حيث \(k\) عدد صحيح طبيعي.
الخطوة 3 — الحلّ الأصغر
أصغر عددٍ ممكنٍ من القطع هو \(\mathbf{x=1}\):
\(S=7505+10=\mathbf{7515}\) مليم ⟶ \(7515\div 9=\mathbf{835}\) مليم للكرّاسة الواحدة.
تحقّق بمعيار 9: مجموع أرقام \(7515\) هو \(7+5+1+5=18=9\times 2\) ✓
| \(x\) | المبلغ \(S\) | مجموع الأرقام | ثمن الكرّاسة |
|---|---|---|---|
| 1 | 7515 | 18 ✓ | 835 |
| 10 | 7605 | 18 ✓ | 845 |
| 19 | 7695 | 27 ✓ | 855 |