نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: \(8\) و\(20\) — ما هو أكبر عاملٍ مشتركٍ بينهما؟ أخرِجه.
2: «الباقي 1 والخارج \(k\)» عند القسمة على 3 ⟶ ترجمها فورًا إلى معادلة: \(p=3k+1\).
ثمّ عوّض. لا شيء آخر.
3: بعد أن تكتب \(n\) بدلالة \(k\)، أعِد ترتيبها على شكل \(3\times(\dots)+r\) مع \(0\le r<3\).
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) حلّل \(8p+20\) بإخراج العامل 4.
- 2) اُكتب \(p=3k+1\) وعوّض في \(n=8p+20\)، ثمّ اختصر.
- 3) أخرِج 3 من أكبر جزءٍ ممكن، وتحقّق من شرط الباقي.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) \(n\) مضاعفٌ للعدد 4
\(8=4\times 2\) و\(20=4\times 5\). إذن:
\(n=8p+20=4\,(2p+5)\)
و\(2p+5\) عددٌ صحيح ⟶ \(n\) مضاعفٌ للعدد 4. ✓
2) \(n\) بدلالة \(k\)
«باقي قسمة \(p\) على 3 هو 1 وخارجها \(k\)» ⟶ \(\;p=3k+1\;\) (مع \(0\le 1<3\) ✓)
نعوّض:
\(n=8p+20=8\,(3k+1)+20=24k+8+20\)
\(\mathbf{n=24k+28}\)
3) باقي قسمة \(n\) على 3
نُخرج العامل 3 من أكبر جزءٍ ممكن:
\(24k\) مضاعفٌ لـ3 (لأنّ \(24=3\times 8\)) ✓
و\(28=27+1=3\times 9+1\).
\(n=24k+27+1=3\,(8k+9)+1\)
الباقي \(1\) يُحقّق \(0\le 1<3\) ✓
باقي قسمة \(n\) على 3 هو 1 · والخارج هو \(8k+9\)
تحقّق عدديّ
| \(k\) | \(p=3k+1\) | \(n=8p+20\) | \(n=24k+28\) ؟ | \(n\div 3\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 28 | 28 ✓ | \(3\times 9+1\) |
| 1 | 4 | 52 | 52 ✓ | \(3\times 17+1\) |
| 2 | 7 | 76 | 76 ✓ | \(3\times 25+1\) |
الباقي هو 1 في كلّ مرّة — لا يتعلّق بـ\(k\) إطلاقًا.
هذا هو جوهر الباب كلّه: اِحسب على البواقي، لا على الأعداد.