التمرين 20 — شجرة الاختيار

🌳 شجرة الاختيار⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) لتكن مجموعة الأرقام \(A=\{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\}\). باستعمال عناصر المجموعة \(A\)، أعطِ الأعداد الفرديّة ذات ثلاثة أرقام مختلفة. (اِعتمد شجرة الاختيار) 2) كم يوجد من عددٍ ذي 4 أرقامٍ زوجيّةٍ مختلفة رقمُ آلافه 8؟

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

في شجرة الاختيار، السؤال الأوّل ليس «ما هو العدد؟» بل: بأيّ رقمٍ أبدأ؟

ابدأ دائمًا بالموضع الأكثر تقييدًا — الذي لديه أقلّ عددٍ من الاختيارات — لأنّه هو الذي يُقلّص الشجرة.

في السؤال 1: ما الشرط الذي يمسك رقمَ الآحاد؟ وما الشرط الخفيّ الذي يمنع رقمًا معيّنًا من موضع المئات؟

شرطان مختلفان، لا تخلط بينهما: «عددٌ فرديّ» يتعلّق برقم الآحاد وحده. أمّا «أرقامٌ زوجيّة» (السؤال 2) فيتعلّق بـكلّ الأرقام.

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. حدّد المجموعة التي نختار منها الأرقام، واِحسب كم عنصرًا فيها.
  2. رتّب المواضع من الأكثر تقييدًا إلى الأقلّ، ثمّ اِبنِ الشجرة بهذا الترتيب.
  3. عند كلّ فرع، اِحذف الأرقام المستعملة سابقًا (الأرقام مختلفة).
  4. اِضرب أعدادَ الاختيارات (مبدأ الجداء)، ثمّ تحقّق بالعدّ على الشجرة.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

السؤال 1 — الأعداد الفرديّة ذات ثلاثة أرقام مختلفة من \(A=\{0;1;2;3;4\}\)

الآحاد أوّلاً (الشرط الأقوى): العدد فرديّ، والأرقام الفرديّة في \(A\) هي 1 و3 فقط ⟶ اختياران.

المئات ثانيًا: لا يمكن أن يكون 0 (وإلّا صار العدد ذا رقمين)، ولا يساوي رقمَ الآحاد ⟶ نختار من \(\{1;2;3;4\}\) بعد حذف رقم الآحاد ⟶ 3 اختيارات.

العشرات أخيرًا: أيّ رقمٍ متبقٍّ من \(A\) (و0 مسموحٌ هنا!) ⟶ \(5-2=\) 3 اختيارات.

العدد الكلّي \(=2\times 3\times 3=\mathbf{18}\) عددًا.

القائمة الكاملة (فرعا الشجرة حسب رقم الآحاد):

آحاد = 1 : 201 · 231 · 241 · 301 · 321 · 341 · 401 · 421 · 431  (9 أعداد)
آحاد = 3 : 103 · 123 · 143 · 203 · 213 · 243 · 403 · 413 · 423  (9 أعداد)

\(9+9=18\) ✓ — العدّ على الشجرة يُطابق الجداء.

لماذا 3 اختياراتٍ للعشرات وليس 4؟ لأنّ 0 صار مسموحًا في هذا الموضع: منعناه في المئات فقط. لاحظ أنّ 103 موجودٌ في القائمة بينما 013 ليس عددًا ذا ثلاثة أرقام. القاعدة «المنع يخصّ الموضع، لا الرقم» ظهرت من الشجرة نفسها.

السؤال 2 — أعداد ذات 4 أرقامٍ زوجيّةٍ مختلفة، رقم الآلاف 8

الأرقام الزوجيّة هي: \(\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}\) ⟶ خمسة أرقام.

الآلاف: مفروضٌ سلفًا \(=8\) ⟶ اختيارٌ واحد (لا شيء نختاره).

المئات: زوجيٌّ ويخالف 8 ⟶ من \(\{0;2;4;6\}\) ⟶ 4 اختيارات. (0 مسموحٌ هنا، لأنّ رقم الآلاف 8 يضمن أنّ العدد ذو 4 أرقام.)

العشرات: يبقى 3 اختيارات.    الآحاد: يبقى 2.

العدد الكلّي \(=1\times 4\times 3\times 2=\mathbf{24}\) عددًا.

أصغرها \(8024\) وأكبرها \(8642\). مثال على فرعٍ كامل: \(8\to 0\to 2\to 4\) يُعطي \(8024\).

قارن السؤالين: في السؤال 1 مُنِع 0 من موضع المئات لأنّه الموضع الأوّل. في السؤال 2 لم يُمنَع من المئات، لأنّ الموضع الأوّل (الآلاف) مشغولٌ بـ8. نفس الرقم 0، ومصيرٌ مختلف — لأنّ الموضع اختلف.