التمرين 18 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

لطفلٍ مجموعةٌ من السيارات الصغيرة. نظّمها في صفوفٍ من 6 سيارات فبقيت له 3 سيارات. ثمّ أعاد تنظيمها في صفوفٍ من 5 سيارات فلم تبقَ أيّ سيارة. 1) لو أراد تنظيمها في صفوفٍ من 3 سيارات، هل يمكنه ذلك دون باقٍ؟ علّل جوابك. 2) هل يمكنه وضعها في صفوفٍ من سيارتين (دون باقٍ)؟ علّل جوابك. 3) ماذا يمكن أن يكون عددُ سيارات هذا الطفل، علمًا أنّ عددها أصغر من 100؟

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

قبل أن تُجرّب الأعداد واحدًا واحدًا، اسأل نفسك: ماذا تقول لي كلُّ جملةٍ بالضبط؟

«صفوفٌ من 6 وبقيت 3» ⟶ حاول ترجمتها إلى كتابةٍ للعدد \(n\).

«صفوفٌ من 5 ولم يبقَ شيء» ⟶ ماذا يعني ذلك عن \(n\)؟

فخّ: كثيرون يبدؤون بكتابة قائمة الأعداد الأصغر من 100 ثمّ يختبرونها كلّها. هذا ممكن، لكنّه طويل. الكتابة الجبريّة تُجيب على السؤالين 1 و2 دون أن نعرف \(n\).

المرحلة 2: منهجية الحل

اكتب الشرط الأوّل على شكل: \(n = 6k + 3\) حيث \(k\) عدد صحيح طبيعي.
حلّل هذه الكتابة: هل تستطيع إخراج عاملٍ مشترك؟ ماذا يظهر لك؟
ادرس زوجيّة العدد \(6k+3\): \(6k\) زوجيّ دائمًا، و3 فرديّ. فما نوع مجموعهما؟
اجمع الشرط الثاني (\(n\) مضاعف لـ5) مع ما وجدتَه، ثمّ اِبحث في المجال \(n < 100\).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

الترجمة: صفوفٌ من 6 مع باقٍ 3 يعني \(n = 6k + 3\)، وصفوفٌ من 5 دون باقٍ يعني أنّ \(n\) مضاعفٌ للعدد 5.

1) صفوفٌ من 3 سيارات

نُحلّل: \(n = 6k + 3 = 3\times(2k) + 3\times 1 = 3(2k+1)\).

إذن \(n\) هو جداءُ 3 في عددٍ صحيح ⟶ \(n\) مضاعفٌ للعدد 3.

نعم، يمكنه تنظيمها في صفوفٍ من 3 دون باقٍ، وعددُ الصفوف هو \(2k+1\).

لاحظ أنّنا أجبنا دون أن نعرف عدد السيارات. الكتابة \(6k+3\) وحدها كانت كافية: كلّ عددٍ يترك الباقي 3 عند القسمة على 6 هو حتمًا مضاعفٌ لـ3.

2) صفوفٌ من سيارتين

\(6k\) عددٌ زوجيّ (لأنّ 6 زوجيّ)، و3 عددٌ فرديّ. مجموع عددٍ زوجيّ وعددٍ فرديّ هو عددٌ فرديّ.

إذن \(n\) فرديّ ⟶ لا، لا يمكنه ذلك: ستبقى له دائمًا سيارةٌ واحدة (الباقي 1).

استنتاجٌ إضافي مجّانيّ: \(n\) فرديّ ومضاعفٌ لـ5 ⟶ رقم آحاده هو 5 بالضرورة (لأنّ مضاعفات 5 تنتهي بـ0 أو 5، و0 يجعل العدد زوجيًّا).

3) عددُ السيارات

من السؤال 2: \(n\) ينتهي بالرقم 5. والأعداد الأصغر من 100 التي تنتهي بـ5 هي:

5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 55 ; 65 ; 75 ; 85 ; 95

نحتفظ منها بما يُحقّق \(n = 6k+3\)، أي بما يجعل \(n - 3\) مضاعفًا للعدد 6:

\(n\)	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
\(n-3\)	2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
مضاعف لـ6؟	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗

عددُ السيارات هو 15 أو 45 أو 75.

ما الذي تلاحظه؟ الحلول الثلاثة: 15 ثمّ 45 ثمّ 75. الفارق بينها هو 30 في كلّ مرّة. ولماذا 30؟ لأنّ 30 هو أصغرُ عددٍ مضاعفٍ لـ6 و لـ5 في الوقت نفسه. فإذا وجدتَ حلًّا واحدًا، فإنّ إضافة 30 إليه تُحافظ على الشرطين معًا. القاعدة لم نفرضها — هي التي ظهرت من الجدول.

تحقّق: \(15 = 6\times 2 + 3\) و\(15 = 5\times 3\) ✓ — \(45 = 6\times 7 + 3\) و\(45 = 5\times 9\) ✓ — \(75 = 6\times 12 + 3\) و\(75 = 5\times 15\) ✓