نلاحظ أن لهما نفس الفاصلة ومقاطعهما متناظرة بالنسبة إلى الصفر.
إذن النقطتان متناظرتان بالنسبة للمستقيم $(OI)$.
الإجابة الصحيحة هي: (أ)
(2) مجموعة حلول المتراجحة $x-\sqrt2 < \sqrt2 x - 1$ هي:
(أ) $]1,+\infty[$
(ب) $]-1,+\infty[$
(ج) $]-\infty,-1[$
نعيد ترتيب المتراجحة: $x - \sqrt2 x < \sqrt2 - 1$
نستخرج العامل المشترك: $x(1-\sqrt2) < \sqrt2 - 1$
بما أن $1-\sqrt2 < 0$، فإننا نغير اتجاه المتراجحة عند القسمة:
$x > \frac{\sqrt2 - 1}{1 - \sqrt2}$
$x > -1$
إذن مجموعة الحلول هي $]-1,+\infty[$
الإجابة الصحيحة هي: (ب)
(3) بكيس 5 كويرات: 3 حمراء و 2 زرقاء. نسحب كويرتين من الكيس بالتتالي مع الإرجاع. احتمال سحب كويرتين مختلفتي اللون يساوي:
(أ) $\frac{12}{25}$
(ب) $\frac{13}{25}$
(ج) $\frac{14}{25}$
سحب كويرتين مختلفتي اللون يعني: (حمراء ثم زرقاء) أو (زرقاء ثم حمراء).
احتمال (حمراء ثم زرقاء) هو $\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$
احتمال (زرقاء ثم حمراء) هو $\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$
الاحتمال الإجمالي هو $\frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}$
الإجابة الصحيحة هي: (أ)
(4) $ABCDEFGH$ متوازي المستطيلات، المثلث $ECG$ :
(أ) متقايس الضلعين
(ب) قائم في $C$
(ج) قائم في $G$
في متوازي المستطيلات $ABCDEFGH$، الحرف $[CG]$ عمودي على الوجه العلوي $EFGH$.
بما أن المستقيم $(EG)$ محتوى في هذا الوجه، فإن المستقيم $(CG)$ عمودي على $(EG)$.
وبالتالي فإن المثلث $ECG$ قائم الزاوية في $G$.
الإجابة الصحيحة هي: (ج)
تمرين عدد 2 : (5 نقاط)
الجزء الأول:
لتكن العبارة: $E=x^2-8x+4$ حيث $x$ عدد حقيقي.
(1) احسب القيمة العددية للعبارة $E$ في حالة:
(أ) $x=-2$
(ب) $x=4+\sqrt2$
حالة $x=-2$:
$E = (-2)^2 - 8(-2) + 4$
$E = 4 + 16 + 4 = 24$
حالة $x=4+\sqrt2$:
$E = (4+\sqrt2)^2 - 8(4+\sqrt2) + 4$
$E = 16 + 8\sqrt2 + 2 - 32 - 8\sqrt2 + 4$
$E = 18 - 32 + 4 = -10$
(2)
(أ) بيّن أن $E=(x-4)^2-12$.
(ب) فكك إلى جداء عوامل العبارة $E$.
(ج) استنتج حل المعادلة $E=0$ في $\mathbb{R}$.
(أ) النشر والتبيين:
$(x-4)^2 - 12 = x^2 - 8x + 16 - 12$
$= x^2 - 8x + 4 = E$
(ب) التفكيك:
$E = (x-4)^2 - (\sqrt{12})^2$
$E = (x-4)^2 - (2\sqrt3)^2$
$E = (x - 4 - 2\sqrt3)(x - 4 + 2\sqrt3)$
(ج) حل المعادلة $E=0$:
يعني أن $x - 4 - 2\sqrt3 = 0$ أو $x - 4 + 2\sqrt3 = 0$
إذن: $x = 4 + 2\sqrt3$ أو $x = 4 - 2\sqrt3$
الجزء الثاني:
(وحدة القيس هي الصم) في الرسم المقابل $ABCDEFGH$ متوازي مستطيلات، حيث: $AB=8$، $AD=4$، $AE=3$ و $I=E*H$. النقطة $M$ على $[AB]$ و $N$ على $[HG]$ حيث $AM=GN=x$ ($x$ عدد حقيقي ينتمي للمجال $[0;8]$). الهدف هو إيجاد $x$ ليكون $\widehat{MIN}=90^\circ$.
(1)
(أ) بيّن أن $AH=5$ و $IA=\sqrt{13}$.
(ب) استنتج أن $IN^2=4+(8-x)^2$ و أن $IM^2=x^2+13$.
المستقيم $IE$ عمودي على الوجه $ADHE$ إذن المثلث $IAE$ قائم في $E$. وبما أن $I$ منتصف $[EH]$ فإن $IE = 2$. وبالتالي $IA^2 = IE^2 + EA^2 = 2^2 + 3^2 = 13 \implies IA = \sqrt{13}$.
(ب) في المثلث $IHN$ القائم في $H$: $HN = HG - GN = 8 - x$. إذن $IN^2 = IH^2 + HN^2 = 2^2 + (8-x)^2 = 4 + (8-x)^2$.
المثلث $IAM$ قائم في $A$ لأن المتجه العمودي على القاعدة يحدد زوايا قائمة، إذن $IM^2 = IA^2 + AM^2 = 13 + x^2$.
(2)
(أ) برهن أن $MN^2=25+(8-2x)^2$.
(ب) برهن أن $\widehat{MIN}=90^\circ$ يعني $2x^2-16x+8=0$.
(ج) استنتج أن $x$ حل للمعادلة $E=0$، وجد $x$.
(أ) باستخدام المسقط العمودي $J$ لنقطة $N$ على $(AB)$، نجد أن $MN^2 = 25 + (8-2x)^2$.
(ب) الزاوية قائمة تعني بتطبيق مبرهنة فيثاغورث: $MN^2 = IN^2 + IM^2$.
بالتعويض والتبسيط نجد المعادلة المطلوبة: $2x^2-16x+8=0$.
(ج) بقسمة الطرفين على 2 نجد $x^2-8x+4=0$ وهي المعادلة $E=0$. وبما أن $x \in [0;8]$ فإن الحل المقبول هو $x = 4 - 2\sqrt3$.
تمرين عدد 3 : (4 نقاط)
(1) ارسم مثلثا $ABC$ متقايس الأضلاع طول ضلعه $6cm$ و لتكن $O$ منتصف $[BC]$، احسب $AO$.
بما أن $ABC$ متقايس الأضلاع فإن $AO$ هو الموسط والارتفاع الصادر من $A$.
(2) الدائرة $\zeta$ التي قطرها $[BC]$. المستقيم $(AB)$ يقطع الدائرة $\zeta$ في نقطة ثانية $E$.
(أ) بيّن أن $(EC)$ عمودي على $(AB)$.
(ب) استنتج أن $E$ منتصف $[AB]$.
(أ) النقطة $E$ تنتمي إلى الدائرة المحيطة بالمثلث والتي قطرها أحد أضلاعه $[BC]$، فالمنظر محاط بزاوية قائمة إذن المثلث $EBC$ قائم في $E$ وبالتالي $(EC) \perp (AB)$.
(ب) بما أن الارتفاع الصادر من $C$ في مثلث متقايس الأضلاع هو أيضاً الموسط الصادر منه، فإن النقطة $E$ هي منتصف $[AB]$.
(3) لتكن $F$ المسقط العمودي للنقطة $E$ على $(BC)$.
(أ) بيّن أن $F$ منتصف $[OB]$.
(ب) احسب $EF$ و $CF$.
(أ) في المثلث $ABO$ لدينا $E$ منتصف $[AB]$ والمستقيم $(EF)$ يوازي $(AO)$ (كلاهما عمودي على $(BC)$).
إذن حسب مبرهنة طاليس في المثلث، $F$ هي منتصف $[OB]$.
(ب) حساب $EF$: $EF = \frac{AO}{2} = \frac{3\sqrt3}{2} cm$.
حساب $CF$: $CF = CO + OF = 3 + 1.5 = 4.5 cm$.
(4) لتكن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$.
(أ) بيّن أن المثلث $BCD$ قائم الزاوية في النقطة $B$.
(ب) المستقيمان $(CE)$ و $(BD)$ يتقاطعان في نقطة $H$. احسب $BH$.
(أ) في المثلث $BCD$، القطعة $[BA]$ موسط صادر من $B$ وبما أن $BA = AC = AD = 6cm$ فإن طول الموسط يساوي نصف طول الضلع المقابل $[CD]$، إذن المثلث قائم في $B$.
(ب) النقطة $H$ تمثل مركز ثقل المثلث $BCD$ لأنها نقطة تقاطع الموسطات $(CE)$ و $(BD)$، وبالتالي $BH = \frac{2}{3} BO = \frac{2}{3} \times 3 = 2 cm$.
تمرين عدد 4 : (4 نقاط)
جدول توزيع سرعة 150 سيارة:
السرعة (Km/h)
$[50,70[$
$[70,90[$
$[90,110[$
$[110,130[$
عدد السيارات
15
90
30
15
(1) حدد مدى ومنوال هذه السلسلة الإحصائية.
المدى هو الفارق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة: $130 - 50 = 80$.
الفئة المنوالية هي الفئة التي تقابل أكبر تكرار (90) وهي الفئة $[70,90[$.
(3) استنتج قيمة تقريبية لموسط هذه السلسلة الإحصائية واقترح التواترات.
التكرار الجملي هو 150، نصفه هو 75. التكرار التراكمي الصاعد للفئة الثانية يتجاوز 75، إذن الفئة الموسطة هي $[70, 90[$. القيمة التقريبية للموسط هي في حدود $83.3 Km/h$.
تمرين عدد 5 : (4 نقاط)
$SABCD$ هرم قاعدته $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$، حيث: $AB=6$، $AD=3$، $DC=3$، $SB=7$. المثلثان $SAD$ و $SDC$ قائمات في $D$.
(1) احسب $AC$ و $BD$ واستنتج قيم $OD$ و $OC$.
في المثلث $ADC$ القائم في $D$: $AC^2 = AD^2 + DC^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \implies AC = 3\sqrt2$.