I) يلي كل سؤال 3 إجابات إحداها فقط صحيحة، اكتب على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الموافقة له.
1) مجموعة حلول المتراجحة (5x)/(2−√19) − 2 ≤ √19 في R هي :
أ) [-3 ; +∞[ ب) ]−∞ ; −3] ج) ]−3 ; +∞[
2) إذا كان ABCDEFGH مكعّبا فإنّ المستقيم العمودي على المستوى (BEC) هو :
أ) (BF) ب) (BG) ج) (AF)
II) حوصلنا في الجدول التالي سلسلة إحصائية ذات ميزة كمية متقطعة.
1) أكمل تعمير الجدول.
| القيم | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| التكرارات | 6 | 9 | ...... | 3 |
| التكرارات التراكمية الصاعدة | ...... | ...... | 27 | ...... |
2) أ) المعدّل الحسابي لهذه السلسلة يساوي : ............
ب) وسيط هذه السلسلة : ............
x عدد حقيقي، نعتبر العبارتين A = x² − 6x + 8 و B = 11 − 4x.
1) أ) بيّن أنّ A = (x − 3)² − 1 ثم فكّك A إلى جداء عوامل.
ب) أوجد حصرا لـ (x − 3) في حالة x ∈ [1 ; 5].
ج) بيّن أنّه إذا كان x عددا من المجال [1 ; 5] فإنّ −1 ≤ A ≤ 3.
د) جد مجموعة الأعداد الحقيقية x من المجال [1 ; 5] حيث |A| = 5/4.
2) أ) حلّ في R المتراجحة : B > 1.
ب) بيّن أنّ : A − B = (x − 1)² − 4.
ج) حلّ في R المتراجحة : A ≤ B.
تمثل البيانات التالية كشفا لكمية مياه الري في اليوم بحساب المتر مكعب التي يستعملها 60 فلاحا.
| الفئات: كمية مياه الري بالـ m³ | [2;6[ | [6;10[ | [10;14[ | [14;18[ | [18;22[ |
|---|---|---|---|---|---|
| التكرارات: عدد الفلاحين | 12 | 15 | 18 | 6 | 9 |
| التكرارات التراكمية الصاعدة | |||||
| التواترات التراكمية الصاعدة بـ % |
1) حدّد مدى السلسلة والفئة المنوال.
2) احسب معدل مياه الري في اليوم بحساب الـ m³ لهؤلاء الفلاحين.
3) أتمم تعمير الجدول أعلاه.
4) أ) أنجز مضلّع التواترات الكمية الصاعدة الموافق لهذه السلسلة (ينجز المضلع على الملحق).
ب) استخرج بيانيا قيمة تقريبية لمتوسط كمية مياه الري في اليوم بحساب المتر مكعب.
5) اختارت مندوبية الفلاحة عشوائيا فلاحا من بين هؤلاء الفلاحين لدراسة إنتاجية أرضه، ما هو احتمال أن يكون استهلاكه من مياه الري أقل من 14m³؟
وحدة قيس الطول هي الصنتمتر.
ABCDEFGH متوازي مستطيلات حيث AB = 4√3 و AE = 2√6 و AD = 3،
O منتصف [CH] و J نقطة من [AD] حيث DJ = 2.
1) بيّن أنّ EC = 9.
2) لتكن K المسقط العمودي لـ D على [HC].
أ) بيّن أنّ HC = 6√2.
ب) استنتج أنّ DK = 4 ثم بيّن أنّ HK = 2√2.
3) أ) بيّن أنّ AK = 5 و AH = √33.
ب) استنتج أنّ (HK) ⟂ (AK).
ج) بيّن أنّ (CH) ⟂ (ADK).
4) I نقطة من [EC] حيث (KI) ∥ (EH).
أ) بيّن أنّ IK/HE = 2/3 ثم احسب IK.
ب) بيّن أنّ IJDK هو مستطيل.
ج) استنتج أنّ (IJ) ⟂ (HEC).
5) لتكن L مناظرة H بالنسبة إلى E، حدّد (LI) ∩ (DCG) معللا جوابك.
ب) استنتج أنّ (LIJ) ∩ (DCG) = (OO′) حيث O′ هي مسقط O على (DC) وفقا لمنحى (DK).
وحدة قيس الطول هي الصنتمتر.
في الرسم (انظر الملحق): ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [DC] حيث DC = 4، AB = 6، AC = 3 و AD = 5.
E نقطة من [BC] حيث BE = 2√5، و ζ دائرة قطرها [BE]، F نقطة من [CA) حيث CF = 7.
1) أ) بيّن أنّ المثلث ADC قائم الزاوية في C.
ب) استنتج أنّ BC = 3√5.
2) ζ تقطع [AB] في I.
أ) بيّن أنّ المثلث BEI قائم الزاوية في I.
ب) استنتج أنّ BCDI هو متوازي أضلاع.
3) (DI) و (AC) يتقاطعان في G و ζ تقطع [BF] في نقطة ثانية H.
أ) بيّن أنّ AG/GC = 1/2 و استنتج أنّ AG = 1.
ب) احسب IG و FI ثم استنتج أنّ المثلث IGF قائم الزاوية في I.
ج) بيّن إذن أنّ (CI) ∥ (EH).
4) عيّن K مناظرة E بالنسبة إلى A.
ب) (KI) يقطع (BC) في O، بيّن أنّ O هو مركز الدائرة ζ.
نعتبر العبارة E = 3x² − 4x − 20 حيث x ∈ IR.
1) أ) بيّن أنّ : E = 3(x − 2/3)² − 64/3.
ب) استنتج أنّ : E = (3x − 10)(x + 2).
ج) حلّ في IR : E = 0 ، √(E + 64/3) > 2√3.
2) في الرسم المقابل ABC و BDE مثلثان قائمان على التوالي في A و D حيث AB = BD = 4 و BE = 2√5 و CE = a حيث a ∈ IR⁺*.
أ) بيّن أنّ : BC = 2a.
ب) بيّن أنّ a تحقق المعادلة 3a² − 4a − 20 = 0 ثم احسب a.
3) لتكن I منتصف [BC] و (AI) يقطع [BE] في النقطة F و P قيس محيط المثلث DIF، بيّن أنّ : P = 4.
وحدة قيس الطول هي الصم.
ليكن ABCD متوازي أضلاع مركزه O حيث AB = 9 و AD = 12 و BD = 15.
1) بيّن أنّ الرباعي ABCD مستطيل ثم أحسب OA.
2) لتكن C دائرة قطرها [AB] تقطع [OA] في I و [BD] في نقطة ثانية J.
أ) بيّن أنّ المثلث ABJ قائم الزاوية.
ب) بيّن أنّ : AJ = 36/5 و OJ = 21/10.
3) لتكن H نقطة تقاطع المستقيمين (AJ) و (BI).
أ) بيّن أنّ : (OH) ⟂ (AB).
ب) بيّن أنّ : (IJ) ∥ (AB) و أنّ IJ = 63/25.
4) لتكن E نقطة من [AD] بحيث يكون المثلث BDE متقايس الضلعين في E، بيّن أنّ : DE = 75/8.
5) المستقيم (AJ) يقطع [BC] في النقطة F، بيّن أنّ : AF = 45/4.
يمثل الرسم المقابل متوازي مستطيلات ABCDEFGH و I نقطة من قطره [EC] حيث : CD = 2CG و IH = 3 و EI = √3 و EH = 2√3.
1) أ) بيّن أنّ : (EH) ⟂ (DGH).
ب) استنتج أنّ ECH مثلث قائم.
2) أ) بيّن أنّ المثلث EIH قائم الزاوية في I.
ب) استنتج أنّ : CE = 4√3.
ج) احسب HC ثم CD.
3) لتكن J منتصف [EC] و K منتصف [BG]، بيّن أنّ : (JK) ∥ (CDH).
4) بيّن أنّ : BEHC مستطيل.
5) لتكن M المسقط العمودي لـ B على (EC)، بيّن أنّ : (MB) ∥ (IH).
6) بيّن أنّ : J منتصف [IM].
يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة، اكتب رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
1) إذا كان a عدد حقيقي موجب قطعا حيث : a + 3√a − 1 = 0 فإن القيمة العددية للعبارة a + 3/√a تساوي:
أ) 9 ب) 10 ج) 11
2) عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية n التي تقبل القسمة على 6 والتي تحقق n² − 20 مربع كامل هو:
أ) 1 ب) 2 ج) 3
3) يحتوي قسم 9 أساسي على 16 بنت و 9 أولاد، نعين بصفة عشوائية تلميذين أحدهما مسؤولا على القسم والآخر نائبا له فإن احتمال أن يكونا من نفس الجنس هو:
أ) 52% ب) 53% ج) 54%
4) يمثل الرسم التالي مستقيما Δ مقترن بمعين (O,I) حيث O I J K مربع والدائرة C(I,IK) والتي تقطع [IO) في نقطة L، إذا علمت أن M مسقط النقطة J على Δ وفقا لمنحى (LK) فإن فاصلة النقطة M هي:
أ) 2 − √2 ب) √2 − 1 ج) 1 − √2
5) يمثل الجدول التالي سلسلة إحصائية متوسطها 10 ومداها 16:
| القيمة | x | 7 | 9 | 11 | 12 | y |
|---|---|---|---|---|---|---|
| التكرار | 9 | 8 | 7 | 2 | x | y |
فإن xy يساوي:
أ) 53 ب) 55 ج) 57
a و b عددان حقيقيان يحققان ab = −2 و a²b + b²a = 6 حيث a > b.
1) بيّن أنّ : a > 0.
2) أ) بيّن أنّ a يحقق المعادلة a² + 3a − 2 = 0.
ب) استنتج أنّ : a = (√17 − 3)/2.
3) بيّن أنّ a < 1 ثم استنتج أنّ b ∈ ]−4 ; −2[.
4) بيّن أنّ : (2b − 5)/(b − 1) < 3.
5) نعتبر العدد الحقيقي c حيث c = 1/2 |b| بدون حساب القيمة العددية لـ b.
أ) بيّن أنّ a و c مقلوبان ثم بيّن أنّ : √a + 1/2 √c < 3/2 علما أنّ c < 4.
ب) بيّن أنّ : (a² + 1)/a + (c² + 1)/c ≥ 4.
ج) استنتج أنّ : a + c ≥ 2.
د) في الشكل المقابل ABC مثلث قائم في A حيث AC = a ومساحته S = 1/2، بيّن أنّ : BC ≥ √2.