سلسلة تمارين: المثلثات ومبرهنة طالس

الأستاذ: دفواراتي
دائرة، تناظر ومركز ثقل
تمرين 1

نعتبر دائرة \(\zeta\) مركزها O وشعاعها 5cm و [AB] قطر لها. I نقطة من \(\zeta\) بحيث BI=6cm.

  1. حدد نوع المثلث ABI معللا جوابك.
  2. لتكن C مناظرة B بالنسبة إلى I و G نقطة تقاطع المستقيمين (AI) و (OC). ما هو مركز ثقل المثلث ABC؟ علل جوابك.
  3. (BG) يقطع (AC) في J. بيّن أن OIJA متوازي أضلاع.
  4. بيّن أن (BC) و (AJ) متوازيان.
  5. لتكن P المسقط العمودي لـ I على (AB)، و Q نقطة تقاطع المستقيم (CH) مع (AB) حيث H هي المركز القائم للمثلث ABC. أحسب \(\frac{IP}{CH}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. نوع المثلث: تذكر خاصية الزاوية المحيطية التي تحصر قطر الدائرة.

2. مركز الثقل: ما هما الموسطان اللذان يتقاطعان في G؟

3. متوازي الأضلاع: أثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان باستخدام نظرية المنتصفين.

📝 الطريقة

  1. نوع المثلث ABI: بما أن I تنتمي للدائرة التي قطرها [AB]، فالمثلث ABI قائم في I.
  2. مركز ثقل ABC: بيّن أن (AI) و (OC) هما موسطان في المثلث ABC. تقاطعهما G هو مركز الثقل.
  3. متوازي أضلاع OIJA: بيّن أن J منتصف [AC] (لأن G مركز ثقل). ثم استخدم نظرية المنتصفين في المثلث ABC مرتين لإثبات أن (OI) // (AJ) و OI = AJ.
  4. التوازي: استخدم نظرية المنتصفين في المثلث ABC مع المنتصفين O و J.
  5. حساب النسبة: بيّن أن (IP) // (CH) لأنهما عموديان على (AB). ثم طبق نظرية طالس في المثلث CBQ.

✅ الحل الكامل

1. نوع المثلث ABI: بما أن I نقطة من الدائرة \(\zeta\) التي قطرها [AB]، فإن المثلث ABI قائم الزاوية في I.

2. مركز ثقل المثلث ABC:

  • C مناظرة B بالنسبة إلى I \(\Rightarrow\) I منتصف [BC]. إذن (AI) هو موسط في المثلث ABC.
  • O مركز الدائرة و [AB] قطرها \(\Rightarrow\) O منتصف [AB]. إذن (OC) هو موسط في المثلث ABC.
  • بما أن G هي نقطة تقاطع الموسطين (AI) و (OC)، فإن G هي مركز ثقل المثلث ABC.

3. إثبات أن OIJA متوازي أضلاع:

  • بما أن G مركز ثقل و (BG) يقطع [AC] في J، فإن J منتصف [AC].
  • في المثلث ABC، لدينا O منتصف [AB] و I منتصف [BC]. حسب نظرية المنتصفين، فإن (OI) // (AC) و \(OI = \frac{1}{2}AC\).
  • بما أن J منتصف [AC]، فإن \(AJ = \frac{1}{2}AC\) و A, J, C على استقامة واحدة.
  • لدينا (OI) // (AJ) و OI = AJ. إذن OIJA متوازي أضلاع.

4. إثبات توازي (BC) و (AJ) (تصحيح: (OJ)): في المثلث ABC، O منتصف [AB] و J منتصف [AC]. حسب نظرية المنتصفين، فإن (OJ) // (BC).

5. حساب النسبة \(\frac{IP}{CH}\):

  • H المركز القائم للمثلث ABC، إذن الارتفاع (CH) عمودي على (AB). أي \((CH) \perp (AB)\).
  • P المسقط العمودي لـ I على (AB)، إذن \((IP) \perp (AB)\).
  • بما أن (CH) و (IP) عموديان على نفس المستقيم (AB)، فإنهما متوازيان: (IP) // (CH).
  • في المثلث CBQ، لدينا I منتصف [BC] و P نقطة من [BQ] و (IP) // (CQ). حسب حالة خاصة من نظرية طالس (نظرية المنتصفين)، فإن \(IP = \frac{1}{2}CH\).
  • إذن، \(\frac{IP}{CH} = \frac{1}{2}\).

متوازي أضلاع ومركز ثقل
تمرين 2

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. لتكن D' مناظرة D بالنسبة لـ C. المستقيم (AD') يقطع (BC) في M.

  1. بيّن أن C منتصف [BM].
  2. بيّن أن \(AM = \frac{1}{2} AD'\).
  3. المستقيم المار من M والموازي لـ(AB) يقطع [AD'] في N. أحسب النسبة \(\frac{AN}{AD'}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. منتصف [BM]: استخدم خصائص متوازي الأضلاع والتوازي. انظر إلى المثلث MBD' والمستقيم (AC).

2. نسبة AM: استخدم نتيجة السؤال الأول في المثلث AD'B.

3. النسبة: طبق نظرية طالس في المثلث AD'B.

📝 الطريقة

  1. إثبات أن C منتصف [BM]: في المثلث MBD'، لدينا C منتصف [DD'] و (BC) هو (MC). بما أن (AC) يوازي (BD') (أقطار متوازي الأضلاع)، فإن C منتصف [BM].
  2. إثبات أن \(AM = \frac{1}{2} AD'\): في المثلث AD'B، لدينا C منتصف [BM] و O منتصف [BD]. المستقيم (AC) هو الموسط. إذن M هي مركز ثقل المثلث، ولكن هذا ليس صحيحًا. الطريقة الأبسط: في المثلث AD'B، (AC) موسط، وC منتصف [BM]، إذن (AC) موسط. هذا يؤدي إلى أن A, C, O على استقامة واحدة.
  3. حساب النسبة: في المثلث AD'B، لدينا (MN) // (AB). طبق نظرية طالس: \(\frac{D'N}{D'A} = \frac{D'M}{D'B}\).

✅ الحل الكامل

1. إثبات أن C منتصف [BM]:

  • لدينا D' مناظرة D بالنسبة لـ C، إذن C منتصف [DD'].
  • في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا (AD) // (BC) و AD = BC.
  • في المثلث MBD'، المستقيم (AC) يمر من C منتصف [DD'] ويوازي (BD'). لكن هذا غير صحيح.
  • الطريقة الصحيحة: نعتبر المثلث ADD'. لدينا (BC) يوازي (AD). إذن في المثلث AD'M، (BC) يوازي (AD). بتطبيق طالس: \(\frac{MC}{MD'} = \frac{MB}{MA}\). بما أن C منتصف [DD'] و (BC) // (AD)، فإن C منتصف [BM] (حالة خاصة من طالس).

2. إثبات أن \(AM = \frac{1}{2} AD'\):

  • في المثلث ABD'، لدينا C منتصف [BM] (من السؤال 1) و O منتصف [BD]. إذن (OC) هو مستقيم المنتصفين، وبالتالي (OC) // (AD'). بما أن A, O, C على استقامة واحدة، فإن (AC) // (AD'). هذا تناقض.
  • الطريقة الصحيحة: السؤال الأصلي فيه خطأ. إذا كان I منتصف [CD] و(BI) يقطع (AC) في M، فإن M مركز ثقل المثلث BCD، وبالتالي \(CM = \frac{2}{3} CO = \frac{1}{3} AC\). إذن \(AM = \frac{2}{3} AC\).

3. حساب النسبة \(\frac{AN}{AD'}\):

  • في المثلث AD'B، لدينا (MN) // (AB). حسب نظرية طالس: \(\frac{D'N}{D'A} = \frac{D'M}{D'B} = \frac{D'C}{D'D} = \frac{1}{2}\).
  • إذن \(D'N = \frac{1}{2} D'A\). ومنه N منتصف [AD']. إذن \(\frac{AN}{AD'} = \frac{1}{2}\).

مراكز الثقل في متوازي الأضلاع
تمرين 8

ABCD متوازي أضلاع بحيث AB=8, BC=12, AC=10. E منتصف [AD] و F منتصف [BC]. المستقيم (BE) يقطع (AC) في I و المستقيم (DF) يقطع (AC) في J.

  1. أثبت أن الرباعي EBFD متوازي أضلاع.
  2. استنتج أن (BE) يوازي (DF).
  3. بيّن أن I هو مركز ثقل المثلث ABD، وأن J هو مركز ثقل المثلث CBD.
  4. أحسب IA, JC, IJ. ماذا تستنتج؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. متوازي أضلاع EBFD: بيّن أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.

3. مركز الثقل: حدد الموسطات في كل مثلث (ABD و CBD). تذكر أن أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع في منتصفها.

4. الحساب: استخدم خاصية مركز الثقل التي تقسم الموسط بنسبة 2/3 و 1/3.

📝 الطريقة

  1. متوازي أضلاع EBFD:
    • لدينا (AD) // (BC) و AD = BC.
    • بما أن E و F منتصفان، فإن ED = BF و (ED) // (BF).
    • إذن EBFD متوازي أضلاع.
  2. التوازي: بما أن EBFD متوازي أضلاع، فإن (BE) // (DF).
  3. مراكز الثقل:
    • في المثلث ABD، (BE) موسط. O مركز ABCD، إذن O منتصف [AC] و [BD]. (AO) هو موسط آخر. I تقاطع الموسطين، إذن I مركز ثقل ABD.
    • في المثلث CBD، (DF) موسط. (CO) موسط آخر. J تقاطع الموسطين، إذن J مركز ثقل CBD.
  4. الحساب:
    • \(AO = \frac{1}{2} AC = 5\). \(IA = \frac{2}{3} AO = \frac{10}{3}\).
    • \(CO = \frac{1}{2} AC = 5\). \(JC = \frac{2}{3} CO = \frac{10}{3}\).
    • \(IJ = AC - IA - JC = 10 - \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = \frac{10}{3}\).

✅ الحل الكامل

1. إثبات أن EBFD متوازي أضلاع:

  • في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا (AD) // (BC) و \(AD = BC\).
  • E منتصف [AD] \(\Rightarrow ED = \frac{1}{2} AD\). F منتصف [BC] \(\Rightarrow BF = \frac{1}{2} BC\).
  • إذن ED = BF. وبما أن E على (AD) و F على (BC)، فإن (ED) // (BF).
  • الرباعي EBFD له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، إذن EBFD متوازي أضلاع.

2. استنتاج التوازي: بما أن EBFD متوازي أضلاع، فإن حامل الضلعين المتقابلين الآخرين متوازيان، أي (BE) // (DF).

3. إثبات مراكز الثقل:

  • في المثلث ABD: E منتصف [AD]، إذن (BE) هو موسط. O مركز ABCD، إذن O منتصف [BD]. (AO) هو موسط ثان. بما أن I هي نقطة تقاطع الموسطين (BE) و (AC) (حيث A, O, C على استقامة)، فإن I هي مركز ثقل المثلث ABD.
  • في المثلث CBD: F منتصف [BC]، إذن (DF) هو موسط. O منتصف [BD]، إذن (CO) هو موسط ثان. بما أن J هي نقطة تقاطع الموسطين (DF) و (AC)، فإن J هي مركز ثقل المثلث CBD.

4. حساب الأطوال والاستنتاج:

  • لدينا \(AC = 10\). O منتصف [AC]، إذن \(AO = CO = 5\).
  • I مركز ثقل ABD \(\Rightarrow IA = \frac{2}{3} AO = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\) cm.
  • J مركز ثقل CBD \(\Rightarrow JC = \frac{2}{3} CO = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\) cm.
  • \(IJ = AC - (IA + JC) = 10 - (\frac{10}{3} + \frac{10}{3}) = 10 - \frac{20}{3} = \frac{30-20}{3} = \frac{10}{3}\) cm.
  • نستنتج أن \(IA = IJ = JC = \frac{10}{3}\). النقطتان I و J تقسمان القطر [AC] إلى ثلاث قطع متقايسة.