الدائرة المحيطة بالمثلث القائم الزاوية

مركز الدائرة المحيطة

تمرين 1

ليكن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث $BC=5$ سم. $O$ هو منتصف الوتر $[BC]$.

أ. ما هو مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث؟ برر إجابتك.
ب. استنتج طول الموسط $[AO]$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الخاصية الأساسية التي تربط بين المثلث القائم الزاوية والدائرة المحيطة به. أين يقع مركز هذه الدائرة دائمًا؟ وما علاقته بالوتر؟

📝 الطريقة

أ. لتحديد المركز:
نستخدم الخاصية: "في المثلث القائم الزاوية، مركز الدائرة المحيطة به هو منتصف الوتر".
بما أن $ABC$ قائم في $A$، فإن وتره هو $[BC]$. وبما أن $O$ هو منتصف $[BC]$، فإن $O$ هو مركز الدائرة المحيطة.

ب. لحساب الطول AO:
نستخدم الخاصية: "في المثلث القائم الزاوية، طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول هذا الوتر".
الموسط هو $[AO]$ والوتر هو $[BC]$. إذن: $AO = \frac{1}{2} BC$.

✅ الحل الكامل

أ. مركز الدائرة:
بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$، فإن مركز دائرته المحيطة هو منتصف وتره $[BC]$. بما أن $O$ هو منتصف $[BC]$، فإن $O$ هو مركز الدائرة.

ب. طول الموسط [AO]:
بما أن $[AO]$ هو الموسط المتعلق بالوتر في مثلث قائم، فإن طوله يساوي نصف طول الوتر.
$$AO = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 5 = 2,5 \text{ cm}$$

تطبيق خاصية الموسط

تمرين 2

ليكن $DEC$ مثلث قائم الزاوية في $D$. النقطة $F$ هي منتصف الوتر $[EC]$. نعلم أن $EC = 10$ سم.

احسب طول الموسط $[DF]$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نفس الخاصية المستخدمة في التمرين 1 تنطبق هنا. القطعة $[DF]$ تصل بين رأس الزاوية القائمة ومنتصف الوتر. ماذا نسمي هذه القطعة وما هي خاصيتها؟

📝 الطريقة

1. حدد طبيعة المثلث: $DEC$ مثلث قائم الزاوية في $D$.
2. حدد الوتر: الوتر هو $[EC]$.
3. حدد طبيعة القطعة $[DF]$: بما أن $F$ منتصف الوتر $[EC]$، فإن $[DF]$ هو الموسط المتعلق بالوتر.
4. طبق الخاصية: طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.
$$DF = \frac{1}{2} EC$$

✅ الحل الكامل

في المثلث القائم $DEC$، $[DF]$ هو الموسط المتعلق بالوتر $[EC]$.
إذن، طوله يساوي نصف طول الوتر.
$$DF = \frac{1}{2} \times EC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm}$$

إثبات أن مثلثًا قائم الزاوية

تمرين 3

لدينا $O$, $D$, $E$ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. $F$ هي نظيرة $D$ بالنسبة إلى $O$.

أ. بين أن النقاط $D, E, F$ تنتمي إلى نفس الدائرة التي مركزها $O$.
ب. استنتج طبيعة المثلث $DEF$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أ. ما معنى أن $F$ نظيرة $D$ بالنسبة لـ $O$؟ وما علاقة ذلك بالمسافتين $OD$ و $OF$؟
ب. إذا كان أحد أضلاع المثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فما هي الخاصية العكسية التي يمكن تطبيقها؟

📝 الطريقة

أ. إثبات الانتماء للدائرة:
1. بما أن $F$ نظيرة $D$ بالنسبة لـ $O$، فإن $O$ هي منتصف $[DF]$، وبالتالي $OD = OF$.
2. في المعطيات، $O$, $D$, $E$ ليست على استقامة واحدة، ونفترض أن $OD = OE$ (باعتبارها نقاط على دائرة افتراضية).
3. من (1) و (2)، نستنتج أن $OD = OE = OF$، مما يعني أن النقاط $D, E, F$ تبعد نفس المسافة عن $O$. إذن هي تنتمي لنفس الدائرة التي مركزها $O$.

ب. استنتاج طبيعة المثلث:
1. بما أن النقاط تنتمي لدائرة مركزها $O$ و $O$ هي منتصف $[DF]$، فإن $[DF]$ هو قطر في هذه الدائرة.
2. نطبق الخاصية العكسية: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فإن هذا المثلث قائم الزاوية".
3. الوتر هو القطر $[DF]$، إذن الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة له، أي $\angle DEF$.

✅ الحل الكامل

أ. الانتماء للدائرة:
نعلم أن $F$ هي نظيرة $D$ بالنسبة لـ $O$، وهذا يعني أن $O$ منتصف $[DF]$ وبالتالي $OD = OF$. إذا افترضنا أن $E$ تقع على دائرة مركزها $O$ تمر من $D$، فهذا يعني أن $OD = OE$. من هذا نستنتج أن $OD = OE = OF$. إذن، النقاط $D, E, F$ تقع على نفس الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $OD$.

ب. طبيعة المثلث DEF:
المثلث $DEF$ محاط بدائرة أحد أضلاعها، وهو $[DF]$، يمثل قطراً في هذه الدائرة (لأن مركزها $O$ هو منتصف $[DF]$).
وفقًا للخاصية العكسية للدائرة المحيطة بالمثلث القائم، فإن المثلث $DEF$ قائم الزاوية في $E$.

خصائص الدائرة والوتر

تمرين 4

لدينا دائرة $(C)$ ونقطتان $A, B$ عليها.

أ. بين أنه لكي تكون $O$ منتصف $[AB]$، يجب أن تكون $O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ANB$.
ب. بين أنه لكي يكون المثلث $ANB$ قائم الزاوية في $N$، يجب أن يكون الوتر $[AB]$ قطراً للدائرة.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين يعتمد على ذكر الخواص بشكل مباشر. اربط بين مفهوم "مركز الدائرة المحيطة" و "منتصف الوتر" للمثلث القائم، وبين مفهوم "المثلث القائم" و "القطر".

📝 الطريقة

أ. البرهان الأول:
نستخدم الخاصية: "في المثلث القائم الزاوية، مركز دائرته المحيطة هو منتصف الوتر."
لكي تكون $O$ (مركز الدائرة) هي نفسها منتصف $[AB]$، يجب أن يكون المثلث $ANB$ قائم الزاوية وأن يكون $[AB]$ هو وتره.

ب. البرهان الثاني:
نستخدم الخاصية العكسية: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً لدائرته المحيطة، فإن هذا المثلث قائم الزاوية."
لكي يكون المثلث $ANB$ قائم الزاوية في $N$، يجب أن يكون الضلع المقابل للزاوية $N$، وهو $[AB]$، قطراً للدائرة $(C)$ التي تمر منها النقاط $A, N, B$.

✅ الحل الكامل

أ. إثبات أن O مركز الدائرة:
خاصية: في المثلث القائم، منتصف الوتر هو مركز دائرته المحيطة.
وبالتالي، إذا كان المثلث $ANB$ قائم الزاوية، فإن منتصف وتره $[AB]$ هو مركز دائرته المحيطة. لكي يكون $O$ هو هذا المركز، يجب أن تكون $O$ منتصف $[AB]$.

ب. إثبات أن المثلث قائم:
خاصية: إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً لدائرته المحيطة، فإن هذا المثلث قائم الزاوية.
إذن، لكي يكون المثلث $ANB$ قائم الزاوية في $N$، يجب أن يكون ضلعه $[AB]$ قطراً للدائرة $(C)$ المحيطة به.