التمرين - مثلث قائم الزاوية والدائرة المحيطة

تمرين 1

مثلث قائم الزاوية في A

المعطيات:

ليكن $ ABC $ مثلث قائم الزاوية في $ A $ حيث:

$ BC = 6 \text{ cm} $ و $ AB = 3 \text{ cm} $.

النقطة $ D $ هي نظيرة $ B $ بالنسبة إلى $ (AC) $.

1) ليكن $ I $ منتصف القطعة $ [DC] $ و $ O $ منتصف $ [BC] $.

النقطة $ I $ تقاطع $ (AC) $ و $ (BI) $.

2) بيّن أن $ O $ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ BCD $.

ثم بيّن أن $ (OJ) ⟂ (BC) $.

3) المستقيم $ (BI) $ يقطع الدائرة $ (𝒞) $ في النقطة الثانية $ F $، وليكن $ K $ منتصف $ [DF] $.

إذا كان $ \widehat{ODB} = y $ و $ \widehat{ODF} = x $، بيّن أن:

$$x + y = 90^\circ$$

واستنتج أن الرباعي $ OKDB $ شبه منحرف قائم.

لم تبدأ بعد

• استعمل خاصية نظيرة نقطة بالنسبة إلى مستقيم.

• حدّد موقع النقطة $ D $ بالنسبة إلى المثلث.

• تذكّر أن مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف وتره.

1️⃣ لتحديد $ D $: بما أن $ D $ نظيرة $ B $ بالنسبة إلى $ (AC) $، فإن $ (AC) $ هو منصف للقطعة $ [BD] $.

2️⃣ لتحديد مركز الدائرة المحيطة بـ $ BCD $: لاحظ أن المثلث $ BCD $ متساوي الساقين في $ O $ لأن $ OB = OC $ (نصف قطر الدائرة).

3️⃣ باستعمال العلاقة بين الزاويتين $ \widehat{ODB} $ و $ \widehat{ODF} $، نبرهن أن $ x + y = 90° $.

1️⃣ بما أن $ D $ نظيرة $ B $ بالنسبة إلى $ (AC) $، فإن المستقيم $ (AC) $ منصف عمودي لـ $ [BD] $.

إذن النقطة $ I $ تنتمي إلى $ (AC) $ وهي منتصف $ [DC] $.

2️⃣ بما أن $ O $ منتصف $ [BC] $، والمثلث $ ABC $ قائم في $ A $، فإن $ O $ هو مركز الدائرة المحيطة بـ $ ABC $ ومنه أيضًا $ BCD $.

3️⃣ من الدائرة، تكون الزاويتان القوسيتان متتامتين، أي:

$$x + y = 90^\circ$$

إذن الرباعي $ OKDB $ شبه منحرف قائم الزاوية.