تمارين تطبيقية لنظرية طالس على شبه المنحرف

دفواراتي
حساب طول القطعة الموسطة
تمرين 1

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]. I منتصف [AD] و J منتصف [BC]. لدينا \(AB = 18 \text{ cm}\) و \(CD = 12 \text{ cm}\). احسب طول القطعة [IJ].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الخاصية الأساسية للقطعة الموسطة في شبه المنحرف: طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

📝 الطريقة

1. تحديد الخاصية: القطعة [IJ] تصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين، فهي القطعة الموسطة.

2. كتابة الصيغة: \(IJ = \frac{AB + CD}{2}\).

3. التعويض والحساب: عوض بقيم AB و CD ثم احسب الناتج.

✅ الحل الكامل

حسب خاصية القطعة الموسطة في شبه المنحرف، فإن طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين:

\[IJ = \frac{AB + CD}{2}\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[IJ = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}\]
إيجاد طول القاعدة الكبرى
تمرين 2

ABCD شبه منحرف. M منتصف [AD] و N منتصف [BC]. طول القطعة الموسطة [MN] هو 15 cm وطول القاعدة الصغرى CD هو 11 cm. احسب طول القاعدة الكبرى [AB].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نفس صيغة التمرين السابق، ولكن هذه المرة المجهول هو AB. ستحتاج إلى حل معادلة بسيطة.

📝 الطريقة

1. كتابة الصيغة: \(MN = \frac{AB + CD}{2}\).

2. التعويض بالمعطيات: \(15 = \frac{AB + 11}{2}\).

3. حل المعادلة: اضرب الطرفين في 2، ثم اطرح 11 من الناتج لإيجاد AB.

✅ الحل الكامل

لدينا صيغة القطعة الموسطة في شبه المنحرف:

\[MN = \frac{AB + CD}{2}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[15 = \frac{AB + 11}{2}\]

نضرب طرفي المعادلة في 2:

\[30 = AB + 11\]

ننقل 11 إلى الطرف الآخر:

\[AB = 30 - 11 = 19 \text{ cm}\]
طالس وتقاطع القطرين
تمرين 3

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] حيث \((AB) // (CD)\). يتقاطع قطراه [AC] و [BD] في النقطة O. لدينا \(OA = 4 \text{ cm}\), \(OC = 6 \text{ cm}\), و \(DB = 15 \text{ cm}\). احسب الطولين OB و OD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المستقيمان المتوازيان (AB) و (CD) والمستقيمان المتقاطعان (AC) و (BD) يشكلان وضعية طالس على شكل "فراشة" (أو ساعة رملية) حول النقطة O.

📝 الطريقة

1. تطبيق طالس: في المثلثين OAB و OCD، لدينا \((AB) // (CD)\). إذن: \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\).

2. استخدام النسبة: احسب النسبة \(\frac{OA}{OC}\). ستجد أن \(\frac{OB}{OD}\) تساوي نفس القيمة. هذا يعطيك علاقة بين OB و OD.

3. استخدام الطول الإجمالي: لديك \(OB + OD = DB = 15\). لديك الآن نظام معادلتين بمجهولين.

4. حل النظام: عوض إحدى المعادلتين في الأخرى لإيجاد أحد المجهولين، ثم استنتج الآخر.

✅ الحل الكامل

بما أن \((AB) // (CD)\) والمستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{4}{6} = \frac{OB}{OD} \Rightarrow \frac{OB}{OD} = \frac{2}{3}\]

من هذه النسبة، نستنتج أن: \(OB = \frac{2}{3} OD\).

نعلم أيضاً أن:

\[OB + OD = DB = 15\]

نعوض \(OB\) في المعادلة الثانية:

\[\frac{2}{3} OD + OD = 15\]
\[(\frac{2}{3} + 1) OD = 15 \Rightarrow \frac{5}{3} OD = 15\]
\[OD = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \text{ cm}\]

الآن نحسب OB:

\[OB = 15 - OD = 15 - 9 = 6 \text{ cm}\]
القطعة الموسطة والقطران
تمرين 4

ABCD شبه منحرف حيث \((AB) // (DC)\). I منتصف [AD] و J منتصف [BC]. يقطع المستقيم (IJ) القطر [AC] في M ويقطع القطر [BD] في N. لدينا \(AB = 12 \text{ cm}\) و \(DC = 8 \text{ cm}\). احسب الأطوال IM, JN, و MN.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم مبرهنة مستقيم المنتصفين في المثلثين ADC و BCD لحساب IM و JN. لحساب MN، احسب أولاً الطول الكامل IJ ثم اطرح منه IM و JN.

📝 الطريقة

1. حساب IM: في المثلث ADC، I منتصف [AD] و (IM) يوازي (DC). طبق مبرهنة المنتصفين.

2. حساب JN: في المثلث BCD، J منتصف [BC] و (JN) يوازي (DC). طبق مبرهنة المنتصفين. (ملاحظة: يمكنك استخدام المثلث ABD أيضاً).

3. حساب IJ: استخدم صيغة القطعة الموسطة لشبه المنحرف.

4. حساب MN: استخدم العلاقة \(IJ = IM + MN + NJ\).

✅ الحل الكامل

1. حساب IM:

في المثلث ADC، I منتصف [AD] و (IM) يوازي (DC). حسب مبرهنة المنتصفين، M منتصف [AC] و:

\[IM = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\]

2. حساب JN:

في المثلث BCD، J منتصف [BC] و (JN) يوازي (DC). حسب مبرهنة المنتصفين، N منتصف [BD] و:

\[JN = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\]

3. حساب IJ و MN:

أولاً، نحسب طول القطعة الموسطة IJ:

\[IJ = \frac{AB + DC}{2} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}\]

لدينا \(IJ = IM + MN + NJ\). نعوض بالقيم المحسوبة:

\[10 = 4 + MN + 4 \Rightarrow 10 = 8 + MN\]
\[MN = 10 - 8 = 2 \text{ cm}\]
تلاقي الأضلاع
تمرين 5

ABCD شبه منحرف حيث \((AB) // (DC)\). يتقاطع المستقيمان (AD) و (BC) في نقطة S. لدينا \(SD = 5 \text{ cm}\), \(SA = 8 \text{ cm}\), \(DC = 6 \text{ cm}\). احسب طول القاعدة AB.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

انظر إلى المثلث الكبير SAB. المستقيم (DC) يقطع ضلعيه. بما أن \((DC) // (AB)\)، يمكنك تطبيق مبرهنة طالس.

📝 الطريقة

1. تحديد المثلث ووضعية طالس: المثلث هو SAB. D نقطة على [SA] و C نقطة على [SB]. لدينا \((DC) // (AB)\).

2. كتابة النسب: \(\frac{SD}{SA} = \frac{SC}{SB} = \frac{DC}{AB}\).

3. حل المعادلة: استخدم النسبة \(\frac{SD}{SA} = \frac{DC}{AB}\) لإيجاد AB.

✅ الحل الكامل

في المثلث SAB، لدينا D تنتمي إلى [SA] و C تنتمي إلى [SB] و \((DC) // (AB)\). حسب مبرهنة طالس:

\[\frac{SD}{SA} = \frac{DC}{AB}\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[\frac{5}{8} = \frac{6}{AB}\]

نحل المعادلة:

\[5 \times AB = 8 \times 6 \Rightarrow 5 \times AB = 48\]
\[AB = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ cm}\]
حل نظام معادلات
تمرين 10

في شبه منحرف، طول القطعة الموسطة [IJ] هو 14 cm. وطول القطعة [MN] التي تربط بين منتصفي القطرين هو 4 cm. احسب طولي القاعدتين الكبرى (AB) والصغرى (CD).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الخاصيتين: \(IJ = \frac{AB+CD}{2}\) و \(MN = \frac{AB-CD}{2}\). ستحصل على نظام من معادلتين بمجهولين.

📝 الطريقة

1. كتابة المعادلتين:

  • \(14 = \frac{AB + CD}{2} \Rightarrow AB + CD = 28\) (المعادلة 1)
  • \(4 = \frac{AB - CD}{2} \Rightarrow AB - CD = 8\) (المعادلة 2)

2. حل النظام: اجمع المعادلتين (1) و (2) طرفاً بطرف لإلغاء CD وإيجاد AB.

3. إيجاد CD: عوض بقيمة AB في إحدى المعادلتين لإيجاد CD.

✅ الحل الكامل

لدينا نظام المعادلتين التالي:

1) \(AB + CD = 2 \times 14 = 28\)

2) \(AB - CD = 2 \times 4 = 8\)

بجمع المعادلتين (1) و (2):

\[(AB + CD) + (AB - CD) = 28 + 8\]
\[2 \times AB = 36 \Rightarrow AB = 18 \text{ cm}\]

نعوض بقيمة AB في المعادلة الأولى:

\[18 + CD = 28 \Rightarrow CD = 28 - 18 = 10 \text{ cm}\]

إذن، طول القاعدة الكبرى هو 18 cm وطول القاعدة الصغرى هو 10 cm.