مبرهنة طاليس

(التصميم 55 / التصميم الأنيق)

I. مبرهنة طاليس المباشرة

مقدمة: طاليس Thalès هو فيلسوف ورياضي يوناني، ولد في ميليتوس من عائلة فينيقية. وهو أول الحكماء السبعة لدى الإغريق. اشتهر باكتشافاته الهندسية. توفي نحو 548 قبل الميلاد. تستعمل نظريته للبرهنة على التوازي وقياس الأطوال والمسافات الكبيرة كطول برج إيفل وطول الهرم المصري وذلك باستخدام قياسات غير مباشرة.

نعتبر الأشكال التالية بحيث : $$(MN) // (BC)$$ والنقط $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط $A$ و $N$ و $C$

خاصية: $ABC$ مثلث و $M$ نقطة من المستقيم $$(AB)$$ و $N$ نقطة من المستقيم $$(AC)$$ فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

مثال: نعتبر الشكل التالي بحيث : $$(MN) // (BC)$$

  1. أوجد $d$ طول البركة ؟
  2. إذا كان $$AN = 255 \text{ m}$$ ، فأوجد $$AC$$

الحل:

1) لدينا $M \in [AB)$ و $N \in [AC)$ و $$(MN) // (BC)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

إذن $\frac{150}{360} = \frac{MN}{240}$

إذن $MN \times 360 = 150 \times 240$

$$MN = \frac{150 \times 240}{360} = 100 \text{ m}$$

إذن $d = 100 \text{ m}$

2) لدينا $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

إذن $\frac{150}{360} = \frac{255}{AC}$

إذن $150 \times AC = 255 \times 360$

$$AC = \frac{255 \times 360}{150} = 612 \text{ m}$$

ملاحظة: تستعمل خاصية طاليس المباشرة لحساب الأطوال.

II. مبرهنة طاليس العكسية:

خاصية: $ABC$ مثلث و $M$ نقطة من المستقيم $$(AB)$$ و $N$ نقطة من المستقيم $$(AC)$$ .

إذا كان : $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$ والنقط المستقيمة $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط المستقيمة $A$ و $N$ و $C$ فإن : $$(MN) // (BC)$$

مثال 1: هل $$(MN) // (BC)$$ ؟

الحل:

لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

نحسب: $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

و $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

إذن $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

وبما أن النقط المستقيمة $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط المستقيمة $A$ و $N$ و $C$

إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن: $$(MN) // (BC)$$

مثال 2: هل $$(MN) // (BC)$$ ؟

الحل:

لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

نحسب: $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$

و $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

إذن $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$

ومع ذلك $$(MN)$$ لا يوازي $$(BC)$$

ملاحظة: تستعمل خاصية طاليس العكسية للبرهنة على التوازي.

تمارين من فروض مبرهنة طاليس

تمرين 1:

$ABC$ مثلث بحيث : $$AB = 8$$ و $$AC = 4$$ و $$BC = 5$$

$$M \in [AB)$$ بحيث $$AM = 2$$ و $$N \in [AC)$$ بحيث $$AN = 1$$

  1. أنشئ شكلاً مناسبًا.
  2. قارن $$\frac{AM}{AB}$$ و $$\frac{AN}{AC}$$
  3. استنتج أن $$(MN) // (BC)$$ ثم احسب $MN$

حل تمرين 1:

1) إنشاء الشكل (غير موجود في النص لكن مطلوب)

2) المقارنة:

لدينا:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$
و
$$\frac{AN}{AC} = \frac{1}{4}$$
إذن :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

3) الاستنتاج وحساب $MN$:

في المثلث $ABC$ لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

وبما أن النقط المستقيمة $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط المستقيمة $A$ و $N$ و $C$ (حسب الشكل)

إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن: $$(MN) // (BC)$$

نحسب $MN$ (باستخدام مبرهنة طاليس المباشرة):

لدينا $$(MN) // (BC)$$ و $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

إذن: $\frac{2}{8} = \frac{MN}{5}$

ومنه: $8 \times MN = 2 \times 5$

$$MN = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$$

تمرين 2:

$ABC$ مثلث بحيث : $$(MN) // (BC)$$ و $$AB = 6$$ و $$BC = 12$$ و $$AC = 9$$ و $$AM = 4$$

  1. احسب $AN$ و $MN$
  2. لتكن $E$ نقطة من القطعة $[BC]$ بحيث $$BE = 4$$ بين أن $$(AB) // (NE)$$

حل تمرين 2:

1) حساب $AN$ و $MN$:

في المثلث $ABC$ لدينا $$(MN) // (BC)$$ و $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

لدينا $\frac{4}{6} = \frac{AN}{9} = \frac{MN}{12}$

نحسب $AN$ :

$\frac{4}{6} = \frac{AN}{9}$

إذن $6 \times AN = 4 \times 9 = 36$

$$AN = \frac{36}{6} = 6$$

نحسب $MN$ :

$\frac{4}{6} = \frac{MN}{12}$

إذن $6 \times MN = 4 \times 12 = 48$

$$MN = \frac{48}{6} = 8$$

2) تبيان أن $$(AB) // (NE)$$ :

في المثلث $ABC$ لدينا $E \in [BC)$ و $N \in (AC)$

ونقط التقاطع هي $C$

لدينا $$CE = BC - BE = 12 - 4 = 8$$

نحسب النسب:

$$\frac{CE}{CB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$
و
$$\frac{CN}{CA}$$
لدينا $$CN = AC - AN = 9 - 6 = 3$$
$$\frac{CN}{CA} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

إذن $\frac{CE}{CB} \neq \frac{CN}{CA}$

وبما أن النقط المستقيمة $C$ و $E$ و $B$ في نفس ترتيب النقط المستقيمة $C$ و $N$ و $A$ (حسب الشكل)

لكن النسبتين ليستا متساويتين، إذن: $$(NE)$$ لا يوازي $$(AB)$$

ملاحظة: هناك خطأ في استنتاج التوازي في الحل الأصلي المرفق بالصور. الحل الصحيح هو أن المستقيمين ليسا متوازيين لأن النسبتين غير متساويتين. إذا كان السؤال يطلب البرهان على التوازي، قد يكون هناك خطأ في معطيات التمرين الأصلي.

تمرين 3:

نعتبر الشكل التالي بحيث : $$(MN) // (BC)$$

$$AB = 16$$ و $$AC = 8$$ و $$BM = 4$$ و $$AE = 4$$ و $$AF = 2$$

  1. بين أن $$AN = 6$$
  2. احسب $NC$
  3. بين أن $$(BC) // (EF)$$

حل تمرين 3:

1) تبيان أن $AN = 6$ :

لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$ و $$(MN) // (BC)$$

في المثلث $ABC$ لدينا حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

لدينا $$AM = AB - BM = 16 - 4 = 12$$

إذن $\frac{12}{16} = \frac{AN}{8}$

إذن $16 \times AN = 12 \times 8 = 96$

$$AN = \frac{96}{16} = 6$$

2) حساب $NC$:

لدينا $$NC = AC - AN = 8 - 6 = 2$$

3) تبيان أن $$(BC) // (EF)$$ :

في المثلث $AFE$ والنقاط $B \in (AF)$ و $C \in (AE)$ (حسب الشكل: التكوين المتقاطع)

نحسب النسب:

$$\frac{AC}{AE} = \frac{8}{4} = 2$$
و
$$\frac{AB}{AF} = \frac{16}{2} = 8$$

إذن $\frac{AC}{AE} \neq \frac{AB}{AF}$

ومنه $$(BC)$$ لا يوازي $$(EF)$$

ملاحظة: هناك خطأ في استنتاج التوازي في الحل الأصلي المرفق بالصور. الحل الصحيح هو أن المستقيمين ليسا متوازيين لأن النسبتين غير متساويتين. إذا كان السؤال يطلب البرهان على التوازي، قد يكون هناك خطأ في معطيات التمرين الأصلي.

تمرين 4 : (صعب)

نعتبر الشكل التالي بحيث : $AB = 2\sqrt{5}$ و $BC = 4\sqrt{5}$ و $AC = 10$

$$AN = 2$$ و $AM = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

  1. بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية؟
  2. احسب $BN$
  3. بين أن $AM = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
  4. بين أن $$(MN) // (BC)$$
  5. احسب $MN$ بأربع طرق مختلفة؟

حل تمرين 4:

1) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية:

لدينا:

$$AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$$
$$BC^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$$
$$AC^2 = 10^2 = 100$$

نلاحظ أن: $$AB^2 + BC^2 = 20 + 80 = 100$$

وبما أن: $$AC^2 = 100$$

إذن: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

إذن حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية فإن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $B$ (الوتر هو $AC$ لأنه أكبر ضلع في المثلث $ABC$).

2) حساب $BN$:

في المثلث $ABN$ القائم الزاوية في $N$ (لدينا $N \in (AC)$ و $BN \perp AC$ غير مذكور صراحةً لكن مفترض من الشكل والحل)

لدينا $$AC = AN + NC$$

إذن: $$10 = 2 + NC$$

$$NC = 10 - 2 = 8$$

في المثلث $ABN$ القائم في $N$ (باستخدام مبرهنة فيثاغورس المباشرة):

$$AB^2 = AN^2 + BN^2$$
$$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 + BN^2$$
$$20 = 4 + BN^2$$
$$BN^2 = 20 - 4 = 16$$
$$BN = \sqrt{16} = 4$$

3) تبيان أن $AM = \frac{2\sqrt{5}}{5}$:

في المثلث $ABC$ القائم الزاوية في $B$، $BN$ هو الارتفاع المتعلق بالوتر $AC$ (مفترض من الحل الأصلي).

نستخدم العلاقات المترية في المثلث القائم (في $B$):

$$AB^2 = AN \times AC$$
(هذه العلاقة تخص الارتفاع من $B$ على $AC$، وهي العلاقة الصحيحة للعلاقات المترية. $N$ هو المسقط العمودي لـ $B$ على $AC$)

لكن المطلوب هو $AM$. الحل الأصلي يستخدم علاقة أخرى تفترض أن $M$ هو المسقط العمودي لـ $N$ على $AB$ أو $M \in (AB)$ و $N$ مسقط $M$ على $AC$ أو $M$ مسقط $N$ على $AB$ (هذه العلاقة غير واضحة من الشكل والمعطيات).

لنفترض أن $M$ هو المسقط العمودي لـ $N$ على $AB$ كما في الحل الأصلي:

في المثلث $ABN$ القائم في $N$ (افتراض من الحل)، $M$ هو المسقط العمودي لـ $N$ على $AB$. هذه العلاقة خاطئة لأن $BN$ عمودي على $AC$ وليس $AB$.

تفسير من الحل الأصلي (باستخدام علاقة غير واضحة):

لتبيان أن $AM = \frac{2\sqrt{5}}{5}$:

لدينا $\frac{AM}{AN} = \frac{AN}{AC}$ غير صحيحة. ربما $\frac{AM}{AB}$ هي $\frac{AN}{AC}$؟

في المثلث $ABN$ القائم الزاوية في $N$ و $M$ مسقط $N$ على $AB$ (افتراض غير منطقي):

$$AN^2 = AM \times AB$$
$$2^2 = AM \times 2\sqrt{5}$$
$$4 = AM \times 2\sqrt{5}$$
$$AM = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

(هذا الافتراض (أن $N$ هي الزاوية القائمة و $M$ المسقط) هو ما يتوافق مع الحل الأصلي)

4) تبيان أن $$(MN) // (BC)$$ :

لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

نحسب النسب:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{5}$$
و
$$\frac{AN}{AC} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

إذن $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

وبما أن النقط $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط $A$ و $N$ و $C$

إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن: $$(MN) // (BC)$$

5) حساب $MN$ بأربع طرق مختلفة:

الطريقة 1: مبرهنة طاليس المباشرة

في المثلث $ABC$ لدينا $$(MN) // (BC)$$ و $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$

$$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$$
$$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{MN}{4\sqrt{5}}$$
$$\frac{1}{5} = \frac{MN}{4\sqrt{5}}$$
$$MN = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$

الطريقة 2: فيثاغورس المباشرة

في المثلث $AMN$ القائم الزاوية في $M$ (افتراض من الحل الأصلي):

$$AN^2 = AM^2 + MN^2$$
$$2^2 = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 + MN^2$$
$$4 = \frac{20}{25} + MN^2$$
$$4 = \frac{4}{5} + MN^2$$
$$MN^2 = 4 - \frac{4}{5} = \frac{20-4}{5} = \frac{16}{5}$$
$$MN = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$

الطريقة 3: مساحة مثلث (غير واضحة وغير موجودة في الحل الأصلي)

الطريقة 4: (غير واضحة وغير موجودة في الحل الأصلي)

ملاحظة: الحل الأصلي لا يقدم سوى طريقتين مختلفتين بشكل واضح ويفترض أن المثلث $AMN$ قائم في $M$ (وهو ما تم استخدامه في الطريقة 2). يرجى الانتباه للافتراضات الهندسية.

تمرين 5:

نعتبر الشكل الجانبي بحيث $$(EF) // (AB)$$

$$AB = 24$$ و $$BC = 4$$ و $$BD = 8$$ و $$OE = 12$$ و $$OF = 14$$ و $$OA = 21$$

  1. احسب المسافة $OA$ و $EF$
  2. هل $$(DC) // (AO)$$ ؟ علل جوابك

حل تمرين 5:

1) حساب $OA$ و $EF$:

في المثلث $OAB$ لدينا $E \in (OA)$ و $F \in (OB)$ و $$(EF) // (AB)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB} = \frac{EF}{AB}$$

إذن: $\frac{12}{21} = \frac{14}{OB} = \frac{EF}{24}$

نحسب $OB$ :

$\frac{12}{21} = \frac{14}{OB}$

إذن $12 \times OB = 14 \times 21$

$$OB = \frac{14 \times 21}{12} = 24.5$$

نحسب $EF$ :

$\frac{12}{21} = \frac{EF}{24}$

إذن $21 \times EF = 12 \times 24$

$$EF = \frac{12 \times 24}{21} = \frac{96}{7} \approx 13.71$$

2) هل $$(DC) // (AO)$$ ؟ علل جوابك:

في المثلث $OAB$ لدينا $D \in (OB)$ و $C \in (AB)$ (افتراض أن $D$ و $C$ هما النقطتان على الشكل)

نحسب النسب في المثلث $BDA$ (لإثبات توازي $DC$ و $AO$ الذي يمر بـ $O$ و $A$) غير واضحة من الشكل.

لنفترض أن $O$ هي نقطة التقاطع، وأن $D \in (OB)$ و $C \in (OA)$ كما في الشكل المتقاطع الأوسط.

نحسب النسب في المثلث $OAD$ (افتراض من الحل الأصلي):

$$\frac{BC}{OB}$$
و
$$\frac{BD}{BA}$$
هذه النسب لا تتطابق مع $$(DC) // (AO)$$ .

الحل الأصلي يتبع هذه الخطوات:

في المثلث $OAB$ لدينا $D \in (OB)$ و $C \in (OA)$ (المفروض أن $C$ و $D$ هما نقطتان على $AB$ و $OB$)

نحسب:

$$\frac{BC}{BD}$$
و
$$\frac{BA}{BO}$$
(هذه النسب لا علاقة لها بالتوازي المطلوب) - خطأ في الحل الأصلي.

لنفترض أن $C \in (AB)$ و $D \in (AB)$ كما في الشكل السفلي الأيمن، وهذا غير منطقي.

لنحاول مع الشكل الأيسر (المتقاطع): نحسب النسب في المثلث $OBC$ و $ODA$ (لتوازي $DC$ و $AB$ ) :

في المثلث $OAB$ لدينا $D \in (OB)$ و $C \in (OA)$ (غير موجود $C$ في الشكل الأيسر)

لنتبع الافتراض الأكثر منطقية: أن التوازي المطلوب هو $$(DC) // (AB)$$ في الشكل المتقاطع.

في المثلثين $ODC$ و $OAB$ (إذا كان $AB // CD$):

$$\frac{OD}{OB} = \frac{OC}{OA} = \frac{DC}{AB}$$

البيانات المتوفرة هي: $BC=4$ و $BD=8$ و $OA=21$ و $OB=24.5$

لدينا $D \in (OB)$ و $C \in (OA)$

$$OD = OB - BD = 24.5 - 8 = 16.5$$

$$OC = OA - AC$$ (لا نعرف $AC$)

لنتبع الحل الأصلي (النسبة التي استخدمها):

$$\frac{BC}{BD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{BO}{BA} = \frac{24.5}{24}$$
إذن النسب غير متساوية، و $$(DC)$$ لا يوازي $$(AO)$$

الاحتمال الأقوى هو أن السؤال الأصلي كان يطلب $$(DC) // (AB)$$ .

تمرين 6:

نعتبر الشكل الجانبي بحيث $$(BC) // (MN)$$

$$BC = 5$$ و $$AC = 10$$ و $$AB = 8$$ و $$AM = 4$$ و $$BF = 1.5$$ و $$BE = 2.4$$

  1. احسب المسافتين $AN$ و $MN$
  2. هل المستقيم $$(AC)$$ يوازي المستقيم $$(FE)$$ ؟ علل جوابك

حل تمرين 6:

1) حساب $AN$ و $MN$:

في المثلث $ABC$ لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$ و $$(MN) // (BC)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

لدينا $\frac{4}{8} = \frac{AN}{10} = \frac{MN}{5}$

نحسب $AN$ :

$\frac{4}{8} = \frac{AN}{10}$

إذن $8 \times AN = 4 \times 10 = 40$

$$AN = \frac{40}{8} = 5$$

نحسب $MN$ :

$\frac{4}{8} = \frac{MN}{5}$

إذن $8 \times MN = 4 \times 5 = 20$

$$MN = \frac{20}{8} = 2.5$$

2) هل $$(AC)$$ يوازي $$(FE)$$ ؟ علل جوابك:

في المثلث $ABE$ لدينا $F \in (BE)$ و $C \in (AE)$ (افتراض حسب الشكل)

نحسب النسب في المثلث $ABF$ والنقاط $E \in (AF)$ و $C \in (AB)$ (افتراض حسب الشكل)

الحل الأصلي يستخدم المثلث $ABE$ ونقطة التقاطع $B$:

في المثلث $BAE$ لدينا $F \in (BE)$ و $C \in (AE)$

نحسب النسب:

$$\frac{BF}{BE} = \frac{1.5}{2.4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$$
ولدينا $$BC = 5$$ و $$AB = 8$$ (هذه النسب لا علاقة لها بالتوازي المطلوب)

لنتبع الافتراض الأكثر منطقية: استخدام مبرهنة طاليس العكسية في المثلث $AEB$ مع النقطتين $F$ و $C$ (مع افتراض أن $C$ نقطة على $AE$ و $F$ نقطة على $AB$).

في المثلث $AEB$ : $F \in (AB)$ و $C \in (AE)$

$$AF = AB - BF = 8 - 1.5 = 6.5$$

$$AC = 10$$ (طول الضلع) و $$AE$$ غير معروف.

لنعد إلى الحل الأصلي (باستخدام النسب المعكوسة):

لدينا $F \in (BE)$ و $C \in (AE)$ (افتراض من الحل الأصلي)

نحسب النسب:

$$\frac{BF}{BE} = \frac{1.5}{2.4} = \frac{3 \times 0.5}{3 \times 0.8} = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$$
(لدينا في التمرين $BC = 5$ و $AB = 8$ غير مستخدمة هنا)

إذا كانت $C$ نقطة على $AB$ (غير معطاة) :

$$\frac{BC}{BA} = \frac{5}{8}$$

وبما أن النقط $B$ و $F$ و $E$ في نفس ترتيب النقط $B$ و $C$ و $A$ (افتراض)

إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن: $$(AC) // (FE)$$

(البرهان غير كامل أو المعطيات غير واضحة للتوازي)

تمرين 7:

في الشكل الجانبي بحيث $$(AB) // (MN)$$

$$OA = 6$$ و $$OM = 8$$ و $$OB = 10$$ و $$MN = 8$$

  1. احسب $AB$
  2. علماً أن $$MF = 12.8$$ بين أن $$(ON) // (BF)$$

حل تمرين 7:

1) حساب $AB$:

في المثلث $OMN$ لدينا $A \in (OM)$ و $B \in (ON)$ (افتراض أن $O$ هي نقطة التقاطع)

لدينا $$(AB) // (MN)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{OA}{OM} = \frac{OB}{ON} = \frac{AB}{MN}$$

لدينا $\frac{6}{8} = \frac{10}{ON} = \frac{AB}{8}$

نحسب $AB$ :

$\frac{6}{8} = \frac{AB}{8}$

إذن: $8 \times AB = 6 \times 8$

$$AB = 6$$

2) تبيان أن $$(ON) // (BF)$$:

في المثلث $OMF$ لدينا $B \in (OF)$ و $N \in (OM)$ (افتراض من الشكل) - **خطأ في التسمية في الحل الأصلي.**

لدينا $B \in (ON)$ و $F \in (OM)$

نحسب $ON$ أولاً:

$$\frac{OA}{OM} = \frac{OB}{ON}$$
$$\frac{6}{8} = \frac{10}{ON}$$
$$ON = \frac{8 \times 10}{6} = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}$$

لنتبع الحل الأصلي (باستخدام $MBF$):

في المثلث $MBF$ لدينا $O \in (MB)$ و $N \in (MF)$ (افتراض من الشكل)

نحسب النسب:

$$\frac{MO}{MB}$$
و
$$\frac{MN}{MF} = \frac{8}{12.8} = \frac{80}{128}$$
لدينا $$MB = OM - OB$$ (إذا كانت $O$ بين $M$ و $B$) وهذا غير صحيح.

لنتبع الافتراض الأكثر منطقية (في المثلث $ONF$ مع $B$ و $M$):

لدينا $M \in (OF)$ و $B \in (ON)$

نحسب: $$OF$$ غير معروف.

لنعد إلى الحل الأصلي (باستخدام النسب المعكوسة):

في المثلث $MBF$ لدينا $O \in (MB)$ و $N \in (MF)$

لدينا $MB = 10 - 8 = 2$ (إذا كانت $B$ بين $O$ و $M$ وهذا غير صحيح)

لدينا $MB = 10 + 8 = 18$ (إذا كانت $M$ بين $O$ و $B$) غير صحيح.

لنتبع الحل الأصلي حرفياً (مع افتراض أن $M \in (OB)$ و $N \in (OF)$):

لدينا $M \in (OB)$ و $F \in (OM)$ (هذا الافتراض خاطئ)

لنستخدم المعطيات الموجودة في الحل الأصلي:

لدينا $$MB = 10 - 8 = 2$$ (افتراض $O$ بين $M$ و $B$ غير صحيح)

لدينا $MB = 16$ و $MF = 12.8$

$$\frac{MB}{MO} = \frac{16}{10} = 1.6$$
$$\frac{MN}{MF}$$
(النسبة في الحل الأصلي هي $\frac{MB}{MN}$ و $\frac{MF}{MO}$ وهي $\frac{12.8}{10} = 1.28$)

الحل الأصلي يفترض: $\frac{MB}{MO} = \frac{NF}{NO}$ (غير موجود) أو $\frac{MB}{MO} = \frac{BF}{ON}$ (غير موجود)

النسب الصحيحة في الحل الأصلي هي:

لدينا $M \in (OB)$ و $F \in (ON)$

$$\frac{OB}{OM} = \frac{10}{8} = 1.25$$
$$\frac{ON}{OF}$$
غير معروف.

ملاحظة: الحل الأصلي لهذا الجزء غير واضح ويحتوي على أخطاء في تحديد النقط والأضلاع. تم استنتاج النتائج من الصور المرفقة فقط.

تمرين 8:

نعتبر الشكل الجانبي بحيث $$(EF) // (BC)$$

$$AB = 6$$ و $$BC = 4$$ و $$AC = 8$$ و $$AE = 1.5$$ و $$EF = 1$$

  1. بين أن $$AF = 2$$ و $$ED = 3$$ (لنفترض أن $D$ نقطة من $$(AF)$$ بحيث $$(BD) // (AF)$$ )
  2. ليكن $D$ نقطة من $$(EF)$$ بحيث $$ED = 3$$ بين أن $$(BD) // (AF)$$

حل تمرين 8:

1) تبيان أن $AF = 2$ و $EF = 1$ :

في المثلث $ABC$ لدينا $E \in (AB)$ و $F \in (AC)$ و $$(EF) // (BC)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}$$

لدينا $\frac{1.5}{6} = \frac{AF}{8} = \frac{EF}{4}$

نحسب $AF$ :

$\frac{1.5}{6} = \frac{AF}{8}$

$$AF = \frac{1.5 \times 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

نحسب $EF$ :

$\frac{1.5}{6} = \frac{EF}{4}$

$$EF = \frac{1.5 \times 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

2) تبيان أن $$(BD) // (AF)$$ (افتراض أن $D \in (EF)$ بحيث $ED=3$):

في المثلث $ABE$ لدينا $D \in (EF)$ و $B \in (AB)$

لنتبع الحل الأصلي (باستخدام المثلث $OAB$):

في المثلث $OAB$ لدينا $E \in (AB)$ و $D \in (AB)$ (افتراض أن $D$ و $E$ على $AB$ غير صحيح)

لنستخدم افتراض أن $D$ نقطة على $EB$ (غير مذكور):

لدينا $E \in (AB)$ و $F \in (AC)$ (من السؤال 1)

نعرف $EB = AB - AE = 6 - 1.5 = 4.5$

نعرف $FC = AC - AF = 8 - 2 = 6$

الحل الأصلي يستخدم المثلث $DFE$ (افتراض أن $D \in (EB)$):

لدينا $E \in (DF)$ و $B \in (AF)$ (غير صحيح)

لنتبع الافتراض الأكثر منطقية (في المثلث $ABF$ مع $D$ و $E$):

لدينا $E \in (AB)$ و $D \in (FB)$ (افتراض أن $D \in (FB)$)

نحسب $AD$ و $BD$ و $AF$ و $BF$ (غير معروف)

الحل الأصلي يستخدم:

$$\frac{EA}{EB} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{EF}{ED} = \frac{1}{3}$$
(افتراض أن $D \in (FB)$ غير صحيح)

إذا كانت $\frac{EA}{EB} = \frac{EF}{ED}$ و $E$ و $A$ و $B$ في نفس ترتيب $E$ و $F$ و $D$ فإن $$(AF) // (BD)$$

النسبة الأولى: $\frac{EA}{EB} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$

النسبة الثانية: $D$ نقطة من $$(EF)$$ بحيث $ED = 3$

$$\frac{EF}{ED} = \frac{1}{3}$$
إذن النسبتان متساويتان. وبما أن النقط $E$ و $A$ و $B$ في نفس ترتيب النقط $E$ و $F$ و $D$ (افتراض من الشكل) فإن: $$(BD) // (AF)$$

تمرين 9:

$ABC$ مثلث بحيث $$(MN) // (BC)$$

  1. احسب $AC$ و $MD$ (لنفترض أن $AD \perp BC$ و $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$)
  2. بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية
  3. احسب و قارن النسبتين $$\frac{AM}{AB}$$ و $$\frac{AN}{AC}$$
  4. استنتج أن $$(MD) // (BN)$$

حل تمرين 9:

1) حساب $AC$ و $MD$:

حساب $AC$ :

في المثلث $ABC$ لدينا $N \in (AC)$ و $M \in (AB)$ و $$(MN) // (BC)$$

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

لدينا $\frac{10}{15} = \frac{12}{AC} = \frac{3\sqrt{11}}{BC}$

نحسب $AC$ :

$\frac{10}{15} = \frac{12}{AC}$

إذن $10 \times AC = 15 \times 12$

$$AC = \frac{180}{10} = 18$$

حساب $MD$ :

في المثلث $AMD$ القائم الزاوية في $D$ (افتراض من الشكل)

حسب مبرهنة فيثاغورس المباشرة:

$$AM^2 = AD^2 + MD^2$$
$$10^2 = 8^2 + MD^2$$
$$100 = 64 + MD^2$$
$$MD^2 = 100 - 64 = 36$$
$$MD = \sqrt{36} = 6$$

2) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية:

نحسب $BC$ :

لدينا $\frac{10}{15} = \frac{MN}{BC}$

إذن $\frac{2}{3} = \frac{3\sqrt{11}}{BC}$

إذن $2 \times BC = 9\sqrt{11}$

$$BC = \frac{9\sqrt{11}}{2}$$
(الحل الأصلي يعطي $BC^2 = (3\sqrt{11})^2 \times (\frac{3}{2})^2 = 324$ غير صحيح)

لنستخدم الحل الأصلي (القائم في $B$):

لدينا:

$$AB^2 = 15^2 = 225$$
$$AC^2 = 18^2 = 324$$
$$BC^2 = (3\sqrt{11})^2 \times (\frac{3}{2})^2$$
(هذه القيم غير متطابقة مع فيثاغورس)

افتراض أن المثلث $ABC$ قائم في $B$ (من الحل الأصلي):

نحسب:

$$AB^2 + BC^2 = 225 + (99 \times \frac{9}{4}) \neq AC^2$$

3) حساب و مقارنة النسبتين $$\frac{AM}{AB}$$ و $$\frac{AN}{AC}$$ :

$$\frac{AM}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$
$$\frac{AN}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$
إذن:
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

4) استنتاج أن $$(MD) // (BN)$$:

في المثلث $ABN$ لدينا $D \in (BN)$ و $M \in (AB)$ (افتراض أن $D$ نقطة على $BN$ غير صحيح).

لنتبع الحل الأصلي (باستخدام المثلث $ADB$):

في المثلث $ADB$ لدينا $M \in (AB)$ و $D$ نقطة على $AB$ غير صحيح.

لنتبع الافتراض الأكثر منطقية (في المثلث $ABC$):

في المثلث $ABN$ لدينا $M \in (AB)$ و $D \in (BN)$ (افتراض أن $D$ نقطة على $BN$)

نحسب $BN$ أولاً (غير مطلوب في السؤال 1)

الحل الأصلي يستخدم:

$$\frac{AD}{AB} = \frac{8}{15}$$
$$\frac{AM}{AN} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$

الحل الأصلي يتبع هذه الخطوات: في المثلث $ABN$ لدينا $D \in (AN)$ و $M \in (AB)$

$$\frac{AD}{AN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$
$$\frac{AM}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

إذن: $\frac{AD}{AN} = \frac{AM}{AB}$

وبما أن النقط $A$ و $M$ و $B$ في نفس ترتيب النقط $A$ و $D$ و $N$

إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن: $$(MD) // (BN)$$