المعطيات:
يمثل الشكل التالي مثلثاً OPQ بحيث OP = 10
- A منتصف ضلع [OP]
- B منتصف ضلع [OQ]
⚠️ طرق الحل المسموحة:
- ✅ خصائص المنتصفات
- ✅ مبرهنة طالس
- ✅ خصائص شبه المنحرف
- ✅ الإسقاط الموازي
- ❌ ممنوع: فيثاغورس، مثلثية، متجهات، معادلات
1) لتكن النقطة C مسقط النقطة A على المستقيم (PQ) وفقاً لمنحى (OQ)
أ* بيّن أن C هي منتصف القطعة [PQ]
ب* استنتج أن الرباعي OACB متوازي الأضلاع
2) المستقيم المار من Q والموازي للمستقيم (AP) يقطع (AC) في النقطة D
بيّن أن C هي منتصف القطعة [AD]
3) لتكن I النقطة من القطعة [OA] بحيث OI = 2 والنقطة J مسقط I على المستقيم (OQ) وفقاً لمنحى (PQ)
أ* بيّن أن:
$$\frac{OB}{OJ} = \frac{AB}{IJ} = \frac{5}{2}$$
ب* حدّد إحداثيات النقاط A و B و C في المعيّن (O; I; J) وعلى حوابك
💡 توجيهات للتفكير
مفهوم الإسقاط الموازي:
إذا كانت C مسقط A على (PQ) وفقاً لمنحى (OQ)، فهذا يعني:
خاصية المنتصفات المهمة:
في المثلث، الخط الواصل بين منتصفي ضلعين:
- يوازي الضلع الثالث
- طوله نصف طول الضلع الثالث
السؤال 1أ - إثبات أن C منتصف [PQ]:
• A منتصف [OP]
• (AC) // (OQ) (بسبب الإسقاط)
• في المثلث OPQ، طبّق مبرهنة طالس
• أو استخدم خاصية: إذا كان خط يمر بمنتصف ضلع ويوازي ضلعاً آخر، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه
السؤال 1ب - إثبات OACB متوازي أضلاع:
لإثبات أن رباعي متوازي أضلاع:
- الأضلاع المتقابلة متوازية
- أو القطران ينصفان بعضهما
السؤال 2 - C منتصف [AD]:
• (QD) // (AP)
• استخدم مبرهنة طالس في تكوين مناسب
السؤال 3أ - حساب النسب:
• OI = 2 و OA = 5 (لأن A منتصف [OP] و OP = 10)
• (IJ) // (PQ) (بسبب الإسقاط)
• استخدم مبرهنة طالس في المثلث OPQ
السؤال 3ب - الإحداثيات:
في المعيّن (O; I; J):
- O أصل المعيّن (0, 0)
- I على المحور الأول، إحداثياته (1, 0)
- J على المحور الثاني، إحداثياته (0, 1)
📝 منهجية الحل
1أ) إثبات C منتصف [PQ]:
في المثلث OPQ:
- A منتصف [OP]
- C على [PQ]
- (AC) // (OQ) (لأن C مسقط A وفقاً لمنحى OQ)
حسب خاصية المنتصفات: إذا مر خط بمنتصف أحد أضلاع مثلث وكان موازياً لضلع آخر، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه
إذن: C منتصف [PQ] ✓
1ب) إثبات OACB متوازي أضلاع:
نثبت أن الأضلاع المتقابلة متوازية:
- (OA) جزء من (OP)
- (BC) يوازي (OA) (بخاصية المنتصفات)
- (AC) // (OB) (بسبب (AC) // (OQ))
2) إثبات C منتصف [AD]:
نطبق مبرهنة طالس
3أ) حساب النسب:
في المثلث OPQ، نطبق طالس:
$$\frac{OI}{OA} = \frac{OJ}{OB} = \frac{IJ}{AB}$$
3ب) الإحداثيات:
نستخدم النسب المحسوبة
✅ الحل النهائي
1أ) إثبات C منتصف [PQ]:
المعطيات:
- A منتصف [OP]
- C مسقط A على (PQ) وفقاً لمنحى (OQ)
- إذن: (AC) // (OQ) و C ∈ [PQ]
في المثلث OPQ، نطبق مبرهنة طالس العكسية:
بما أن A منتصف [OP] و (AC) // (OQ)، فإن:
$$\frac{PA}{PO} = \frac{PC}{PQ}$$
ولكن: PA = PO/2 (لأن A منتصف)
إذن: PC = PQ/2
إذن C منتصف [PQ] ✓
1ب) إثبات OACB متوازي أضلاع:
نثبت أن القطرين [OC] و [AB] ينصفان بعضهما:
- في المثلث OPQ:
- A منتصف [OP] و C منتصف [PQ]
- إذن (AC) يوازي (OQ) و AC = OQ/2
- B منتصف [OQ]
- إذن OB = OQ/2
- وبالتالي: AC = OB و (AC) // (OB)
رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان هو متوازي أضلاع
إذن OACB متوازي أضلاع ✓
2) إثبات C منتصف [AD]:
المعطيات:
في المثلث APQ:
- C منتصف [PQ]
- (QD) // (AP)
بمبرهنة طالس العكسية، إذا كان C على [AD] و (QD) // (AP):
فإن C منتصف [AD] ✓
3أ) حساب النسب:
المعطيات:
- OI = 2
- OA = OP/2 = 10/2 = 5 (لأن A منتصف [OP])
- (IJ) // (PQ) (لأن J مسقط I وفقاً لمنحى PQ)
في المثلث OPQ، نطبق مبرهنة طالس:
$$\frac{OI}{OP} = \frac{OJ}{OQ} = \frac{IJ}{PQ}$$
لدينا: OI/OP = 2/10 = 1/5
إذن: OJ = OQ/5
الآن نحسب النسبة الأولى:
$$\frac{OB}{OJ} = \frac{OQ/2}{OQ/5} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{5}{2}$$
وبالمثل، في المثلث OAB مع (IJ) // (AB):
$$\frac{OI}{OA} = \frac{OJ}{OB} = \frac{IJ}{AB}$$
$$\frac{2}{5} = \frac{IJ}{AB}$$
إذن: AB/IJ = 5/2 ✓
3ب) إحداثيات النقاط:
في المعيّن (O; I; J):
- O: الأصل (0, 0)
- I: على المحور الأول بمسافة OI = 2، إذن I وحدة 1 في المعيّن
- J: على المحور الثاني بمسافة OJ، إذن J وحدة 1 في المعيّن
بما أن OA = 5 و OI = 2:
$$A = \frac{OA}{OI} \times I = \frac{5}{2} \times (1, 0) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$$
بما أن OB/OJ = 5/2:
$$B = \frac{5}{2} \times (0, 1) = \left(0, \frac{5}{2}\right)$$
بما أن OACB متوازي أضلاع، C = A + B - O:
$$C = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$$
الإحداثيات النهائية:
- A(5/2, 0)
- B(0, 5/2)
- C(5/2, 5/2)