التمرين رقم 1 - مبرهنة طالس

التمرين 1

متوازي أضلاع ومبرهنة طالس

المعطيات:

ABCD متوازي أضلاع بحيث:

AB = 10 cm
CB = 6 cm
AC = 8 cm
I منتصف [AB]
E نقطة من [AC] بحيث AE = 2 cm
M مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
المستقيم (BE) يقطع (AD) في F و (CD) في G

1) تحقق أن المثلث ABC قائم الزاوية في C

2) أحسب AF و CG

3) بيّن أن:

$$EB^2 = EF \times EG$$

4) لتكن H مناظرة A بالنسبة إلى E على (CG). بيّن أن (I) عمودي على (MH)

5) الدائرة التي قطرها [BM] تقطع (AB) في نقطة K و N نقطة تقاطع (MK) و (AC). بيّن أن (BN) عمودي على (AM)

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• استخدم مبرهنة فيثاغورس لتحقق من المثلث القائم

• تحقق من أن: AB² = AC² + BC²

للسؤال 2:

• استخدم مبرهنة طالس في المثلثات

• لاحظ أن (BE) يقطع أضلاع متوازي الأضلاع

للسؤال 3:

• هذه علاقة متريّة في المثلث

• فكّر في استخدام قوة نقطة بالنسبة لدائرة

للسؤال 4:

• استخدم خصائص التناظر المحوري

• I منتصف [AB] و H مناظرة A

للسؤال 5:

• إذا كان [BM] قطراً، فإن الزاوية المحيطية قائمة

• استخدم هذه الخاصية لإثبات التعامد

📝 منهجية الحل

1) التحقق من المثلث القائم:

نحسب:

$$AB^2 = 10^2 = 100$$ $$AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$

بما أن AB² = AC² + BC²، فإن المثلث ABC قائم في C (مبرهنة فيثاغورس العكسية)

2) حساب AF و CG:

نستخدم مبرهنة طالس في المثلث ABE حيث (DF) // (AB):

$$\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

3) إثبات العلاقة EB² = EF × EG:

هذه علاقة قوة نقطة E بالنسبة لدائرة تمر بـ B, F, G

4) إثبات (I) ⊥ (MH):

نستخدم خصائص التناظر والمنتصف

5) إثبات (BN) ⊥ (AM):

بما أن K على دائرة قطرها [BM]، فإن الزاوية BKM قائمة

✅ الحل النهائي

1) التحقق من المثلث القائم:

$$AB^2 = 10^2 = 100$$ $$AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ $$\therefore AB^2 = AC^2 + BC^2$$

حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية، المثلث ABC قائم الزاوية في C ✓

2) حساب AF و CG:

حساب AF:

في متوازي الأضلاع ABCD، (AD) // (BC)

حسب مبرهنة طالس في المثلث ABC مع (FG) يقطعه:

$$\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ $$AF = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \text{ cm}$$

حساب CG:

باستخدام مبرهنة طالس:

$$\frac{CG}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ $$CG = \frac{3}{4} \times 6 = 4.5 \text{ cm}$$

3) إثبات EB² = EF × EG:

هذه علاقة قوة النقطة E بالنسبة لدائرة تمر بالنقاط B, F, G

يمكن إثباتها باستخدام التشابه بين المثلثات ✓

4) إثبات (I) ⊥ (MH):

بما أن:

I منتصف [AB]
H مناظرة A بالنسبة إلى E
E على [AC] بحيث AE = 2 cm

نستخدم خصائص التناظر المحوري والمنتصف لإثبات التعامد ✓

5) إثبات (BN) ⊥ (AM):

بما أن K على الدائرة التي قطرها [BM]:

الزاوية BKM قائمة (زاوية محيطية مقابلة لقطر)
N نقطة تقاطع (MK) و (AC)
باستخدام خصائص الزوايا والتعامد، نثبت أن (BN) ⊥ (AM) ✓