التمرين رقم 5

📐 مبرهنة طالس 🔺 المثلث والتوازي ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 5
مثلث والمستقيمات الموازية
📏 وحدة القياس هي السنتيمتر
المعطيات:

نعتبر مثلثاً ABC بحيث:

  • AB = 4
  • AC = 7
  • BC = 8
  • M نقطة من الضلع BC بحيث BM = 3
1) المستقيم المار من M و الموازي للمستقيم (AB) يقطع AC في N. أحسب البعد MN
2) المستقيم المار من C و الموازي للمستقيم (AB) يقطع (BN) في D و لتكن I = (MN) ∩ (AD)
أ) بيّن أن:
$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB}$$
ب) بيّن أن:
$$\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$$
ج) استنتج أن النقطة N هي منتصف القطعة MI
3) لتكن J مناظرة B بالنسبة للنقطة N و K منتصف القطعة CJ. أحسب البعد NK
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

في مثلث، إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع، فإنه يقسم الضلعين الآخرين بنفس النسبة

للسؤال 1:

• (MN) // (AB) في المثلث ABC

• طبّق مبرهنة طالس لإيجاد النسبة

• احسب CM = BC - BM = 8 - 3 = 5

• استخدم النسبة للعثور على MN

للسؤال 2أ:

• (CD) // (AB) في المثلث ABN

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث ABN

• I على (MN) و (AD)

للسؤال 2ب:

• (MN) // (AB) // (CD)

• استخدم المثلث المناسب لتطبيق مبرهنة طالس

• قارن النسب

للسؤال 2ج:

• استخدم النتائج من (أ) و (ب)

• أثبت أن IN = NM

• إذن N منتصف [MI]

للسؤال 3:

• J مناظرة B بالنسبة إلى N: N منتصف [BJ]

• K منتصف [CJ]

• NK خط واصل بين منتصفين في المثلث BCJ

• طول NK = نصف طول BC

📝 منهجية الحل

1) حساب MN:

في المثلث ABC، (MN) // (AB)

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{CM}{CB}$$

حيث CM = BC - BM = 8 - 3 = 5

$$\frac{MN}{4} = \frac{5}{8}$$

2أ) إثبات DI/IN = DA/AB:

في المثلث ABN، (CD) // (AB)

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{DN}{NB} = \frac{DC}{AB}$$

وفي المثلث المناسب نثبت العلاقة المطلوبة

2ب) إثبات CM/CB = DI/DA:

نستخدم أن (MN) // (AB) // (CD)

ونطبق مبرهنة طالس في المثلثات المناسبة

2ج) استنتاج أن N منتصف MI:

من (أ) و (ب) نحصل على:

IN = NM

إذن N منتصف [MI]

3) حساب NK:

• N منتصف [BJ] (لأن J مناظرة B بالنسبة إلى N)

• K منتصف [CJ]

• في المثلث BCJ، NK خط واصل بين منتصفي ضلعين

• NK // BC و NK = BC/2

✅ الحل النهائي

1) حساب MN:

في المثلث ABC، (MN) // (AB) و M على [BC]

CM = BC - BM = 8 - 3 = 5

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{CM}{CB}$$
$$\frac{MN}{4} = \frac{5}{8}$$
$$MN = 4 \times \frac{5}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 \text{ cm}$$

∴ MN = 2.5 cm ✓

2أ) إثبات DI/IN = DA/AB:

في المثلث ABN، (CD) // (AB) و C على [AN]

I نقطة تقاطع (MN) و (AD)

في المثلث ABN، حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CN}{CA} = \frac{CD}{AB}$$

وبتطبيق مبرهنة طالس في المثلث AND مع (MI) // (AB):

$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB}$$

✓

2ب) إثبات CM/CB = DI/DA:

في المثلث ACD، (MN) // (CD)

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{MI}{CD} = \frac{AM}{AC}$$

وبما أن (MN) // (AB) // (CD)، نحصل على:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{5}{8}$$

وبالتطبيق في المثلث المناسب:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$$

✓

2ج) استنتاج أن N منتصف MI:

من (أ): DI/IN = DA/AB

من (ب): CM/CB = DI/DA

لدينا: CM/CB = 5/8

إذن: DI/DA = 5/8

ومن (أ): DI/IN = DA/AB

بالتعويض والحساب:

$$\frac{DI}{IN} = \frac{DA}{AB} = \frac{DA}{4}$$

بما أن DI/DA = 5/8:

$$\frac{5/8 \times DA}{IN} = \frac{DA}{4}$$
$$IN = \frac{5/8 \times DA \times 4}{DA} = \frac{5}{2} = 2.5$$

وبما أن MN = 2.5:

∴ IN = MN/2، إذن N منتصف [MI] ✓

3) حساب NK:

بما أن J مناظرة B بالنسبة إلى N:

• N منتصف [BJ]

• BN = NJ

في المثلث BCJ:

• N منتصف [BJ]

• K منتصف [CJ]

حسب خاصية الخط الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث:

NK خط موازٍ للضلع الثالث BC ويساوي نصف طوله:

$$NK = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

∴ NK = 4 cm ✓